Ch2: Groupes - IMJ-PRG

Chapitre 2
Groupes
Introduction :lois de composition
Une loi de composition interne sur un ensemble Gest une application G×G→G.
L’image du couple (x, y)est not´ee avec un symbole :suivantle contexte x+y,x×y,x⋆y...
D´efinition 2.0.1. a) La loi de composition ⋆est commutativesur Gsi et seulementsi :
∀x∈G, ∀y∈G, x⋆y=y⋆x.
b) La loi de composition ⋆est associativesur Gsi et seulementsi :
∀x∈G, ∀y∈G, ∀z∈G, ((x⋆y)⋆z)=(x⋆(y⋆z)) .
c) eest ´el´ementneutre pour ⋆dans Gsi et seulementsi :
∀x∈G, x⋆e=e⋆x=x.
d) x′est sym´etrique de xpour la loi de composition ⋆de neutre e,si et seulementsi :
x⋆x′=x′⋆x=e
Remarque 2.0.2.Il yaunicit´edu neutre et du sym´etrique.
2.1 Structure de groupe
D´efinition 2.1.1. a) Une loi de composition ⋆sur Gd´efinit une structure de groupesi
et seulementsi elle associative, admet un ´el´ementneutre, et si tout ´el´ementde Gadmet
un ´el´ementsym´etrique.
Le groupe(G, ⋆)est commutatif (ou ab´elien) si et seulementsila loi de composition
⋆est commutative.
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En notation additive, l’´el´ementsym´etrique est appel´eoppos´eet not´e−x;en
notation multiplicativel’´el´ementsym´etrique est appel´einverse et not´ex−1.
Exemples 2.1.2.(Z,+) est un groupe.
Le groupemultiplicatif des racines complexes n-i`emes de 1:(Un,×).
Le groupedes bijections de Xnot´e(B(X),◦).
Le groupesym´etrique Sn=B({1,...,n}).
2.2 Sous-groupe
D´efinition 2.2.1. Une partie Hd’un groupe(G, ∗)est une groupesi et seulementsi
elle est non vide et stable pour l’op´eration ∗et la sym´etrisation.
On peut reformuler la d´efinition :
a) Le neutre eest dans H;
b) pour tous xet ydans H,x∗yest dans H;
c) pourtout xdans H,le sym´etrique x′est dans H.
2.3 Ordre d’un ´el´ement
D´efinition 2.3.1. Soit xun ´el´ementd’un groupeG.Le sous-groupeengendr´epar x,
not´e<x>est le plus petit sous-groupequi contientx;on dit alors que xest un
g´en´erateur usous-groupe<x>.
Justification de l’existence du sous-groupeengendr´epar x,et plus g´en´eralementdu
sous-groupeengendr´epar une partie Ad’un groupeG:l’intersection de plusieurs sous-
groupeest un sous-groupe;l’intersection de tous les sous-groupes qui contiennentx
(resp. A)est le plus petit sous-groupequi contientx(resp. A).
D´efinition 2.3.2. Un ´el´ementxd’un groupeGest d’ordre fini si et seulementsi le sous-
groupe<x>est fini. Dans ce cas l’ordre de xest le nombre d’´el´ements du sous-groupe
<x>.
Proposition 2.3.3. Un ´el´ement xd’un groupeGest fini si et seulement s’il existe un
entier n>0tel qu’en composant nexemplaires de xon retrouve le neutre, et l’ordrede
xest le plus petit parmi ces entiers n.
En notation additive, la composition de nfois xs’´ecrit nx,et pour n=−m<0, nx
est l’´el´ementsym´etrique de mx (l’oppos´e).
En notation multiplicative, la composition de nfois xs’´ecrit xn,et pour n=−m<0,
xnest l’´el´ementsym´etrique de xm.
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Lemme 2.3.4. Soit Gun groupenot´emultiplicativement. Lesous-groupeengendr´epar
xest l’ensemble des xn,n∈Z.
Exemple 2.3.5.Dans le groupe(C∗,×), eiπ
3est d’ordre 6.
2.4 Morphisme de groupe
D´efinition 2.4.1. Soient (G, ∗)et (G′,⊤)deux groupes. Une application f:G→G′
est un morphisme de groupesi et seulementsi :
∀x∈G,∀y∈G, , f(x∗y)=f(x)⊤f(y).
Exemple 2.4.2.L’application logarithme est un morphisme du groupe(]0,+∞[,×)vers
le groupe(R,+).
Exemple 2.4.3.Soit xun ´el´ementdans un groupeGnot´emulticativement. L’application
gx:Z→Gqui `a nassocie xnest un morphisme de groupe.
D´efinition 2.4.4. Le noyau d’unmorphisme de groupef:G→G′est l’ensemble des
´el´ements dontl’image est le neutre e′de G′.
Proposition 2.4.5. Soit f:G→G′un morphisme de groupe.
a) Lenoyau de fest un sous-groupede G.
b) fest injective si et seulement si son noyau ne contient que le neutreede G.
D´efinition 2.4.6. L’image d’un morphisme de groupef:G→G′est l’ensemble :
Im(f)=f(G)={f(x),x∈G}.
Proposition 2.4.7. Soit f:G→G′un morphisme de groupe.
a) L’image de fest un sous-groupede G′.
b) fest surjective si et seulement si son image est ´egale `a G′.
2.5 Groupequotient
2.5.1 Cas de Z
D´efinition 2.5.1. Soit nun entier. On dit que deux entiers xet ysontcongrus modulo
n,et on ´ecrit :
x≡y(modn)
si et seulementsi x−yest multiple de n.
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La relation de congruence modulo nest une relationd’´equivalence. Pour x∈Z,la
classe d’´equivalence de xest :x+nZ.
D´efinition 2.5.2. On appelle ensemble quotientde Zpar le sous-groupenZl’ensemble
des classes d’´equivalence ;on note ce quotientZ/nZ.
Remarque 2.5.3.La classe de x,qui est un sous-ensemble de Zet un ´el´ementde Z/nZ
est habituellementnot´ex.
On d´efinit une addition desclasses en additionnantlesrepr´esentants :
x+y=x+y.
Proposition 2.5.4. L’addition des classes est bien d´efinie et (Z/nZ,+) est un groupe.
Ce groupeest engendr´epar la classe 1qui est d’ordren.
2.5.2 Cas ab´elien
Soit (G, +) un groupecommutatif et Hun sous-groupe. Les classes modulo Hsont
les x+H={x+h, h∈H};la classe dexest habituellementnot´ee x.On note
G/H l’ensemble des classes, et on d´efinit une addition des classes en additionnantles
repr´esentants :
x+y=x+y.
Proposition 2.5.5. L’addition des classes est bien d´efinie et (G/H,+) est un groupe.
2.5.3 Cas g´en´eral
Soit Gun groupedontla loi de groupeest not´ee comme un produit, et Hun sous-
groupe. Pour x∈G,on aune classe `a droite modulo H:
xH ={xh, h∈G},
et une classe `a gauche modulo H:
Hx={hx, h∈G}.
En g´en´eral les classes `a droite ne sontpas les mˆemes que les classes `a gauche, et ne
formentpas un groupe.
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2.6 Le th´eor`eme de Lagrange
Soit Hun sous-grouped’un groupefini G.
Th´eor`eme 2.6.1. Le cardinal du sous-groupeHdivise le cardinal de G.Enparticulier,
l’ordrede tout ´el´ement de Gdivise le cardinal de G.
La preuverepose sur le fait que toutes les classes `a droite ontle mˆeme nombre
d’´el´ements.
D´efinition 2.6.2. On appelle indice de Hdans G,et on note [G:H]le nombre de
classes `a droite modulo H,aussi ´egal au quotientdu cardinal de Gpar le cardinal de H.
Exercice2.6.3.D´emontrer que tout groupeGdontle cardinal est un nombre premier p
est isomorphe `a Z/pZ.
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