MECA0003-2 - M´ECANIQUE RATIONNELLE Durée de l`épreuve

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Prof. ´ Eric J.M.DELHEZ
MECA0003-2 - M ´ ECANIQUE RATIONNELLE
Aoˆut 2012
Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h.
R´ epondez aux diff´ erentes questions sur des feuilles s´ epar´ ees.
Indiquez sur chacune de vos feuilles vos nom, pr´ enom et num´ ero d’ordre.
Question I
On consid`ere le mouvement plan d’un disque homog`ene de masse met de rayon Rsur un plan
inclin´e d’un angle α. Le coefficient de frottement entre le disque et le plan est µ. Le contact est ponctuel.
Le moment central d’inertie du disque pour la rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan du
mouvement est mR2/2.
En consid´erant que le disque peut rouler et glisser sur le
plan inclin´e,
i. d´eterminez le nombre de degr´es de libert´e du
disque et introduisez les coordonn´ees g´en´era-
lis´ees permettant d’en d´ecrire compl`etement le
mouvement ;
ii. relevez toutes les forces agissant sur le disque et
pr´ecisez-en les caract´eristiques principales (force
appliqu´ee/force de liaison, force conservative, point
d’application, direction) ;
v0
ω0
α
iii. ´ecrivez le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement en explicitant tous les termes (en faisant
apparaˆıtre les coordonn´ees g´en´eralis´ees) ;
iv. ´ecrivez le th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un syst`eme d’axes d’orientation fixe plac´e
au centre d’inertie du disque en explicitant tous les termes ;
v. ´ecrivez le th´eor`eme de l’´energie cin´etique par rapport `a un syst`eme d’axes inertiaux en explicitant
tous les termes.
`
A l’instant initial, on communique une vitesse v0au centre d’inertie du disque et une vitesse de
rotation ω0(voir figure) telles que le disque remonte la pente par un mouvement de roulement sans
glissement. Dans ce cas,
vi. ´ecrivez la condition de roulement sans glissement et d´eterminez la relation entre v0et ω0;
vii. en utilisant les ´equations g´en´erales ´ecrites plus haut particularis´ees au cas ´etudi´e, donnez un
ensemble d’´equations en nombre n´ecessaire et suffisant pour d´ecrire compl`etement le mouvement
du disque sur le plan ;
viii. d´eterminez la hauteur maximale atteinte par le disque sur le plan (On supposera que les conditions
sont remplies pour que le disque roule sans glisser durant toute cette ascension.).
Dans une seconde exp´erience, v0=0 et le mouvement initial communiqu´e au disque est uniquement
une rotation `a la vitesse ω0autour de son centre d’inertie (dans le sens indiqu´e sur la figure). Dans ce cas,
ix. montrez que, dans une premi`ere phase, le mouvement du disque est un mouvement de roulement
avec glissement ;

x. en utilisant les ´equations g´en´erales ´ecrites plus haut particularis´ees au cas ´etudi´e, donnez un
ensemble d’´equations en nombre n´ecessaire et suffisant pour d´ecrire compl`etement le mouvement
du disque sur le plan ;
xi. d´eterminez la condition sur les param`etres du probl`eme pour que le mouvement initial du disque
soit dirig´e vers le haut du plan inclin´e ;
xii. montrez que le glissement du disque sur le plan prend fin apr`es un temps
tgl =ω0R
g(3µcos α−sin α)
Question II
On consid`ere le mouvement plan d’un solide homog`ene constitu´e d’un demi-disque de rayon R
accol´e `a un bloc prismatique de largeur 2Ret de hauteur 2h(voir figure).
On note respectivement C1, C2et C les centres d’inertie du demi-disque, du bloc prismatique et du
solide total. On a
kAC1k=4R
3π,kAC2k=h
On note zCla distance du centre d’inertie du solide au centre A du demi-disque : zCest compt´e
positivement si le point C est situ´e entre A et C2et n´egativement s’il est situ´e entre A et C1. On
d´esigne par m1et m2les masses du demi-
disque et du bloc prismatique (suppos´es
homog`enes et constitu´es du mˆeme mat´eriau).
Le moment d’inertie du demi-disque par
rapport `a son centre A (pour la rotation
autour d’un axe perpendiculaire au plan du
mouvement) est donn´e par
JA=1
2m1R2
Le moment d’inertie du bloc prismatique par
rapport `a C2est
JC2=1
3m2(h2+R2)
On appelle JCle moment central d’inertie du
solide total.
2h
2R
A
C1
C2
C
θ
x
Le roulement sans glissement du solide sur un plan horizontal est d´ecrit par
˙x−R˙ θ=0
1
2(m1+m2)˙x2+z2
C˙
θ2+2zC˙ θ˙xcos θ+1
2JC˙
θ2+ (m1+m2)g(R+zCcos θ) = E
o`u Ed´esigne l’´energie totale du syst`eme.
i. Calculez zCen fonction de R,h,m1et m2.
ii. Calculez JCen fonction de R,h,zC,m1,m2,JAet JC2.
iii. D´eterminez la(les) position(s) d’´equilibre du solide.
iv. ´ Etudiez la stabilit´e de la(des) position(s) d’´equilibre en fonction des param`etres du probl`eme.
v. D´eterminez en fonction de Rla hauteur 2hdu bloc prismatique `a partir de laquelle l’´equilibre du
syst`eme en position verticale devient instable.
vi. Dans le cas o`u la position verticale correspond `a un ´equilibre stable, d´eterminez la fr´equence des
oscillations du syst`eme autour de cette position.

SOLUTION
Question I
x
α
P
K
θ
C
Ey
Ex
Ez
O
eθ
er
R
mg
i. Un solide en mouvement plan poss`ede au maximum trois degr´es de libert´e. Cependant, le disque
est soumis `a une liaison puisqu’il est astreint `a se d´eplacer sur le plan inclin´e. Il reste donc deux
degr´es de libert´e.
Nous choisissons comme coordonn´ees g´en´eralis´ees l’abscisse xdu centre d’inertie du disque le
long du plan inclin´e et l’angle θmesurant la rotation autour de Ez(voir dessin).
ii. Les forces agissant sur le disque sont
•mg: la r´esultante des forces de pesanteur, force appliqu´ee conservative agissant au centre
d’inertie C du disque et dirig´ee verticalement vers le bas ;
•R=NEy+TEx: la force de liaison exerc´ee par le plan inclin´e sur le disque en K.
iii. Le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement pour le disque, rapport´e `a des axes inertiaux centr´es en
O, s’´ecrit
dNO
dt =mg+R
o`u
NO=m˙ sC=m˙xEx
soit
m¨xEx=−mgsin αEx−mg cos αEy+TEx+NEy
et donc, apr`es projection sur les axes absolus,
m¨x=−mgsin α+T(1)
N=mgcos α(2)
iv. Le th´eor`eme du moment cin´etique, rapport´e `a des axes parall`eles aux axes inertiaux centr´es en C,
s’´ecrit dHC
dt =−REy∧(NEy+TEx) = RT Ez
o`u
HC=JC·ω=JC·˙ θEz=JCz˙ θEz=mR2
2
˙
θEz
On a donc
mR2
2
¨
θ=RT (3)
3

v. Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique, rapport´e `a des axes inertiaux centr´es en O, s’´ecrit
dTO
dt =PO=−dVmg dt +R·˙
sK
o`u on a tenu compte du caract`ere conservatif de la force de pesanteur et o`u
Vmg=mgx sin α
et
TO=1
2mk˙
sCk2+TC
avec
TC=1
2ω·JC·ω=1 2
˙
θEz·JC·˙ θEz=1
2JCz˙
θ2=1
2
mR2
2
˙
θ2
La vitesse du point K du disque est obtenue en particularisant celle d’un point P quelconque du
pourtour de disque :
sP=xEx+Rer
˙
sP=˙xEx+R˙ θeθ
˙
sK=˙xEx+R˙ θEx
Finalement,
d
dt m 2˙x2+mR2 4
˙
θ2=−d
dt (mgxsin α) + T(˙x+R˙
θ)(4)
vi. Le roulement sans glissement du disque sur le plan inclin´e se traduit par l’´egalit´e de leurs vitesses
au niveau du point de contact K, soit
˙
sK=0
ou encore
˙x+R˙ θ=0 (5)
Les conditions initiales (˙x=v0et ˙ θ=−ω0) doivent donc v´erifier la condition
v0=Rω0
pour que le roulement sans glissement soit possible `a l’instant initial.
vii. Dans le cas particulier du roulement sans glissement du disque sur le plan inclin´e, les ´equations
(1), (2) et (3) ne sont pas modifi´ees et (4) s’´ecrit
d
dt m 2˙x2+mR2 4
˙
θ2=−d
dt (mgxsin α)
qui, apr`es int´egration temporelle, donne
m
2˙x2+mR2 4
˙
θ2+mgxsin α=E
o`u Eest l’´energie totale du disque. Cette ´equation repr´esente la conservation de l’´energie. Les
conditions initiales (˙x=v0,˙ θ=−ω0et x=0, si on place l’origine O des axes `a la position initiale
de C) permettent de d´eterminer la constante. On a
m
2˙x2+mR2 4
˙
θ2+mgxsin α=m
2v2
0+mR2
4ω2
0=3
4mv2
0(6)
Les ´equations (5) et (6) suffisent `a d´eterminer le mouvement du disque dans ce cas. Les ´equations
(1) et (2) permettent, si n´ecessaire, de d´eterminer les composantes de la force de liaison.
Il est aussi possible de d´eterminer toutes les inconnues (x,θ,Net T) en r´esolvant le syst`eme
constitu´e des ´equations (1), (2), (3) et (5).
4

viii. La hauteur maximale atteinte sur le plan inclin´e correspond `a la valeur de xsin αau moment o`u la
vitesse ˙xs’annule (en consid´erant que x(t=0) = 0).
Repartant de (6) en y injectant la condition de roulement sans glissement (5), il vient
3
4m˙x2+mgxsin α=3 4mv2
0
Posant ˙x=0 dans cette ´equation, on obtient la distance maximale parcourue
xmax =3
4
v2
0
gsin α
ce qui correspond `a la hauteur maximale
hmax =xmax sin α=3
4
v2
0
g
De fac¸on alternative, on peut calculer la hauteur maximale atteinte en r´esolvant les ´equations (1),
(2), (3) et (5). On obtient d’abord
m¨x=−mgsin α+T=−mgsin α+mR
2
¨
θ=−mgsin α−m
2¨x
qui permet d’obtenir l’´equation diff´erentielle pour x
¨x=−2
3gsin α
Par int´egration, il vient successivement
˙x=−2
3gsin αt+v0
et
x=−1
3gsin αt2+v0t
en utilisant les conditions initiales x=0 et ˙x=v0.
La vitesse s’annule donc en
t∗=3v0
2gsin α
`a la distance
xmax =−1
3gsin α(t∗)2+v0t∗=3 4
v2
0
gsin α
ce qui donne une hauteur maximale
hmax =3
4
v2
0
g
ix. Les nouvelles conditions initiales ( ˙x=0 et ˙ θ=−ω0) ne v´erifient pas la condition de roulement
sans glissement (5). Le mouvement d´ebute donc n´ecessairement par du glissement.
x. Dans le cas du roulement avec glissement, il faut utiliser la loi du frottement
T=−µ|N|˙
sK
k˙ sKk
qui peut encore s’´ecrire ici, en utilisant (2),
T=−µ mgcos αsigne(˙x+R˙ θ)(7)
Les ´equations (1), (2), (3) et (7) constituent un syst`eme de 4 ´equations pour les 4 inconnues x,θ,
Net Tpermettant de d´ecrire le mouvement du disque sur le plan inclin´e.
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