fonctions puissances

Croissances comparées
Cours
CHAPITRE 15 : PUISSANCES D’EXPOSANTS REELS FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES
COMPAREES
1. Puissances d’exposants réels
1.1. La notation ab
Définition
∀b ∈ R , ∀a ∈ R∗+ , on note a b le réel eb ln a
Propriété
∀b ∈ R , ∀b ' ∈ R ∀a ∈ R∗+ , ∀a ' ∈ R∗+
1b = 1
a b . a b ' = a b+b '
(a ) = a
b
b'
bb '
(a a ')b = (a b ) (a ')b
ab
= a b −b '
b'
a
ab  a 
= 
a 'b  a ' 
b
1.2. Les fonctions exponentielles de base a
Définition
∀a ∈ R∗+ − { 1 } , on appelle exponentielle de base a, la fonction définie sur R par
© Gérard Hirsch – Maths54
1
Croissances comparées
Cours
f : x a exp a ( x) = a x = e x ln a
Théorème
∀a ∈ R∗+ − { 1 } , ∀x ∈ R
(a x ) ' = (ln a ) a x
Sens de variation :
Si a > 1 f : x a a x est strictement croissante sur R
Si 0 < a < 1 f : x a a x est strictement décroissante sur R
Limites usuelles :
∀a ∈ R∗+ − { 1 } , ∀x ∈ R
Si a > 1, alors lim a x = 0
et
x →−∞
Si 0 < a < 1, alors lim a x = +∞
lim a x = +∞
x →+∞
et
x →−∞
lim a x = 0
x →+∞
Démonstration
Appliquons le théorème de limite d’une fonction composée
a > 1, soit ln a > 0, lim ( x ln a ) = −∞ et lim e x = 0 ⇒ lim a x = 0
x →−∞
x →−∞
x →−∞
même raisonnement pour les trois autres assertions
Tableau de variation :
© Gérard Hirsch – Maths54
2
Croissances comparées
Cours
Courbes représentatives :
Toutes les courbes passent par le point (0,1)
Si a > 1 , l’axe des abscisses est asymptote horizontale lorsque x → −∞
Si 0 < a < 1 , l’axe des abscisses est asymptote horizontale lorsque x → + ∞
La fonction exp a est la fonction réciproque de la fonction log a
y = ax
x ∈ ] − ∞, +∞[
et donc ∀x ∈ ] − ∞ , + ∞ [ ,
et
∀x ∈ ] 0, + ∞ [ ,
x = log a y
⇔
y ∈ ]0, + ∞[
log a (a x ) = x
(a l o ga x ) = x
Exemple
Résoudre dans R l’équation : 3x = 9.2 x+1
x
 3
L’équation est définie sur R , elle s’écrit aussi : 3 = 9.2.2 soit   = 18
 2
x
Dont la solution est : x = log 3 (18) =
2
x
ln(2 . 32 ) ln 2 + 2 ln 3
=
3
ln 3 − ln 2
ln
2
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3
Croissances comparées
Cours
Exemple
Déterminer les limites suivantes :
• lim 2 x
2
−2 x
x →+∞
lim ( x 2 − 2 x) = + ∞ et lim 2 x = +∞
x →+∞
x →+∞
La fonction x a 2 x est continue sur R , alors
lim 2 x
2
x →+∞
•
−2 x
= +∞
lim 22− x
x →+∞
lim (2 − x) = − ∞ et lim 2 x = 0
x →+∞
x →−∞
lim 22 − x = 0
x →+∞
•
1
lim  
x →−∞ 2
 
3− 2 x
1
lim (3 − 2 x) = + ∞ et lim ( ) x = 0
x →−∞
x →+∞ 2
1
1
La fonction x a ( ) x est continue sur R , alors lim  
x →−∞ 2
2
 
3− 2 x
=0
2. Fonctions puissances
2.1. Fonction x a x n où n est un entier strictement positif
Définition
Soit n ∈ N∗ et f n la fonction définie sur R par f n : x a x n
Théorème
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4
Croissances comparées
Cours
Si n est pair, la fonction f n est paire, décroissante sur ] − ∞ , 0 ] et croissante sur [ 0, + ∞ [
Si n est impair, la fonction f n est impaire et croissante sur R
Tableau de variation :
Courbes représentatives :
Remarque
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5
Croissances comparées
Cours
Toutes les courbes passent par le point 0 et le point de coordonnées (1,1)
2.2. Fonction x a
1
où n est un entier strictement positif
xn
Définition
Soit n ∈ N∗ et f n la fonction définie sur R∗ par f n : x a
1
xn
Théorème
Si n est pair, la fonction f n est paire, croissante sur ] − ∞ , 0 [ et décroissante sur
] 0, + ∞ [
Si n est impair, la fonction f n est impaire et décroissante sur chacun des intervalles ] − ∞ , 0 [ et
] 0, + ∞ [
Tableau de variation
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6
Croissances comparées
Cours
Courbes représentatives
2.3. Fonction racine n-ième (n ∈ N , n ≥ 2)
Soit f n : x a x n la fonction définie sur [ 0, + ∞ [
La fonction f n est continue et strictement croissante, puisque f n (0) = 0 et lim f n ( x) = + ∞
x →+∞
alors f n est une bijection de
[
0 , + ∞ [ sur
[
0 ,+ ∞ [
La fonction réciproque de la fonction f n est la fonction ( f n )−1 , elle est appelée racine n-ième et
notée
n
y = xn
x ∈ [ 0, + ∞[
⇔
x=
n
y
y ∈ [ 0, + ∞ [
et donc
et
∀x ∈ [ 0 , + ∞ [ ,
( n x )n = x
∀x ∈ [ 0 , + ∞ [ ,
(n xn ) = x
Remarque
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Croissances comparées
on écrit aussi
n
x =x
Cours
1
n
Théorème
∀x ∈ ] 0, + ∞[
La fonction ( f n )
−1
1
(xn ) ' =
1 1n −1
x
n
1
n
: x a x est continue et strictement croissante sur
[
0 ,+ ∞ [
Courbes représentatives :
3. Croissances comparées
Théorème
Soit α un réel. Alors : lim
x →+∞
ex
=+∞
xα
et
Soit α un réel strictement positif . Alors : lim
x →+∞
lim x α e − x = 0
x →+∞
ln x
=0
xα
Exemple
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Croissances comparées
Déterminer les limites de la fonction f ( x) =
Cours
ln x − 1
aux bornes de son ensemble de définition
x−e
La fonction est définie sur D = ] 0 , e [ ∪ ] e , + ∞ [
• Limite en 0
ln x − 1
= +∞
x →0 x − e
x >0
lim (ln x − 1) = −∞ et lim( x − e) = −e alors lim f ( x) = −∞ et lim
x →0
x >0
x →0
x >0
x →0
x >0
• Limite en e
Il s’agit du taux d’accroissement de la fonction ln pour la valeur x = e
ln x − ln e
1
= ( ln x ) x =e =
x →e
x−e
e
lim f ( x) = lim
x →e
• Limite en +∞
1
1−
ln x − 1
ln x
ln x = 0
lim f ( x) = lim
.
= lim
x →+∞
x →+∞ x − e
x →+∞ x
e
1−
x
ln x
1 

 e
= 0 et lim 1 −
= 1 ainsi que lim  1 −  = 1

x →+∞ x
x →+∞
x →+∞
 ln x 
 x
puisque lim
Exemple
Soit f ( x) = e x − x100
Déterminer les limites en − ∞ et en + ∞
La fonction est définie sur R
Lorsque x → − ∞ , alors lim e x = 0 et lim x100 = +∞ et donc
x →−∞
x →−∞
lim f ( x) = lim (e x − x100 ) = −∞
x →−∞
x →−∞
Pour lever l’indétermination en +∞ , il faut factoriser
∀x ≠ 0 ,
f ( x) = e x − x100 = x100 (
ex
− 1)
x100
D’après la croissance comparée de l’exponentielle devant la puissance
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Croissances comparées
ex
= +∞ et
x →+∞ x100
lim
lim (
x →+∞
Cours
ex
− 1) = +∞ et donc
x100
lim f ( x) = lim (e x − x100 ) = +∞
x →+∞
x →+∞
Exemple
Etudier la limite en +∞ de la fonction f : x a x − ln x
La fonction est définie sur ] 0 , + ∞ [
Pour lever l’indétermination en +∞ , il faut factoriser
∀x > 0 ,
f ( x) = x (1 −
ln x
)
x
D’après la croissance comparée de la puissance devant la le logarithme
lim
ln x
x →+∞
x
1
2
= lim
x →+∞
ln x
ln x
= 0 alors lim (1 −
) =1
x
→+∞
x
x
x = +∞ alors
Puisque lim
x →+∞
lim
x →+∞
x (1 −
ln x
) = lim ( x − ln x) = +∞
x →+∞
x
Exemple
Soit f ( x) = x e −
x
Déterminer la limite en + ∞
La fonction est définie sur
[ 0, + ∞ [
Pour lever l’indétermination, effectuons le changement de variable X = x
Ainsi lorsque x → + ∞ alors X → + ∞
Puisque x e −
x
alors lim x e −
x →+∞
= X 2 e− X =
x
X2
X2
et
comme
lim
=0
X →+∞ e X
eX
=0
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