fonctions puissances

Croissances comparées Cours
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CHAPITRE 15 : PUISSANCES D’EXPOSANTS REELS -
FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES
COMPAREES
1. Puissances d’exposants réels
1.1. La notation b
a
Définition
ln , , on note le réel
bba
ba a e
∗
+
∀∈ ∀∈RR
Propriété
,' ,'bb a a
∗∗
++
∀∈ ∀ ∈ ∀∈ ∀ ∈RRR R
11
b=
''
.(')()(')
bb bb b b b
aa a aa a a
+
==
'' '
'
() ''
b
bb
bb bb bb
bb
aaa
aa a
aaa
−
===
1.2. Les fonctions exponentielles de base a
Définition
{
}
1a∗
+
∀∈ −R, on appelle exponentielle de base a, la fonction définie sur R par

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ln
:exp()
xxa
a
f
xxae==a
Théorème
{
}
1, ( )' (ln)
xx
axaaa
∗
+
∀∈ − ∀∈ =RR
Sens de variation :
1: x Si a f x a est strictement croissante sur>aR
01: x
Si a f x a est strictement décroissante sur<< aR
Limites usuelles :
{
}
1,ax
∗
+
∀∈ − ∀∈RR
1, lim 0 lim
xx
xx
Si a alors a et a
→−∞ →+∞
>= =+∞
01, lim lim0
xx
xx
Si a alors a et a
→−∞ →+∞
<< =+∞ =
Démonstration
Appliquons le théorème de limite d’une fonction composée
1, ln 0, lim ( ln ) lim 0 lim 0
xx
xxx
asoita xa et e a
→−∞ →−∞ →−∞
>> =−∞=⇒=
même raisonnement pour les trois autres assertions
Tableau de variation :

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Courbes représentatives :
Toutes les courbes passent par le point (0,1)
Si 1a>, l’axe des abscisses est asymptote horizontale lorsque
x
→−∞
Si 01a<<, l’axe des abscisses est asymptote horizontale lorsque
x
→+∞
La fonction expa est la fonction réciproque de la fonction loga
][
,
x
ya
x
=
∈−∞+∞ ⇔
][
log
0,
a
x
y
y
=
∈
+∞
et donc
]
[
,,log()
x
a
x
ax∀∈−∞+∞ =
et
]
[
0, , ( )
a
log x
x
ax∀∈ +∞ =
Exemple
Résoudre dans R l’équation : 1 39.2
xx
+
=
L’équation est définie sur R, elle s’écrit aussi : 3 9.2.2
xx
= soit 318
2
x
=
Dont la solution est :
2
3
2
ln(2 . 3 ) ln 2 2 ln 3
log (18) 3ln 3 ln 2
ln 2
x+
== =
−

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Exemple
Déterminer les limites suivantes :
22
lim 2xx
x
−
→+∞
•
2
lim ( 2 ) lim 2x
xx
xx et
→+∞ →+∞
−=+∞ =+∞
La fonction
2x xa est continue sur R , alors
22
lim 2xx
x
−
→+∞ =+∞
2
lim 2 x
x
−
→+∞
•
lim (2 ) lim 2 0
x
xx
xet
→+∞ →−∞
−=−∞ =
2
lim 2 0
x
x
−
→+∞ =
32
1
lim 2
x
x
−
→−∞
•
1
lim (3 2 ) lim ( ) 0
2
x
xx
xet
→−∞ →+∞
−=+∞ =
La fonction
1
()
2
x
xa est continue sur R , alors
32
1
lim 0
2
x
x
−
→−∞
=
2. Fonctions puissances
2.1. Fonction n
x
xa où n est un entier strictement positif
Définition
Soit n∗ ∈N et n
f
la fonction définie sur R par :n
n
f
xxa
Théorème

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Si n est pair, la fonction n
f
est paire, décroissante sur
]
]
,0−∞ et croissante sur
[[
0,+∞
Si n est impair, la fonction n
f
est impaire et croissante sur R
Tableau de variation :
Courbes représentatives :
Remarque