Intégrale d`une fonction - Formation Continue Diplomante

7. INTEGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE.
1. Subdivision.
Etan t donné un int ervalle a,b
[ ]
⊂R, a< b,on appelle subdivision de a, b
[ ]
notéeDtoute famille
croissante finie de nombres réels (ai)vérifiant a =a0<a1<.....<an=b
Par définition le pas de la subdivision Dest le nombre réel σ(D)=max
0≤i≤n−1(ai+1−ai)
2. Fonction en escalier.
Soit D une subdivision de l'intervalle a,b
[ ]
, S=(ai)0
≤i≤n
et ξ = (ξ0,ξ1,...., ξn
−1)
une suite
de réels.
On appelle fonction en escalier sur a,b
[ ]
toute application e définie par
∀i∈0.....n −1
[ ]
,∀x∈ai,ai+1
] [
, e(x) = ξi
Etant donnée une fonction en escalier e sur a,b
[ ]
, on dit que la subdivision D est adaptée à e
si et seulement si la restriction de e à chaque intervalle de la subdivision est constante.
Le nombre (ai+1−ai)ξi
i=0
n−1
∑ ne dépend pas de la subdivision adaptée à e. On appelle ce
nombre intégrale de e sur a,b
[ ]
et on note e(x)dx
a
b
∫
3. Intégration des fonctions continues par morceaux sur a,b
[ ]
.
Soit f une fonction continue par morceaux sur a,b
[ ]
et
ε ∈R+
∗
Il existe deux fonctions en escalier e
1
et e
2
telles que
e1≤f≤e2et ∀x∈a,b
[ ]
, e2(x)−e1(x) ≤ε

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© dpic - inpl - mars 1999
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On note A l'ensemble des fonctions en escalier e
1
sur a,b
[ ]
telles que e
1≤f
et B l'ensemble
des fonctions en escalier e
2
sur a,b
[ ]
telles que e
2≥f
Théorème :
A admet une borne supérieure et B une borne inférieure, ces deux bornes sont égales.
On appelle intégrale de f sur a,b
[ ]
cette borne commune notée f(t)dt
a
b
∫.
4. Propriétés de l'intégrale.
1•La var iable qui int ervient sous le signe est muette
∫
f(x)dx =f(t)dt =f(.)d.
a
b
∫
a
b
∫
a
b
∫
où.représente n'importe quel symbole
2•Relation de Chasles
f(x)dx =f(x)dx +f(x)dx
c
b
∫
a
c
∫
a
b
∫
3•fcontinue sur a, b
[ ]
f(x)dx =0
a
a
∫(par définition)
f(x)dx = − f(x)dx
a
b
∫
b
a
∫
si ∀x∈a, b
[ ]
,f(x) ≥0alors f(x)dx ≥0
a
b
∫
4•Linéarité
f(x)+g(x)
[ ]
a
b
∫dx =f(x)dx
a
b
∫+g(x)dx
a
b
∫
∀k∈Rkf(x)dx =kf(x)dx
a
b
∫
a
b
∫

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5•Relation d'ordre
Si a <b et si ∀x∈a,b
[ ]
f(x) ≤g(x) ,alors
f(x)dx ≤g(x)dx
a
b
∫
a
b
∫
f(x)dx
a
b
∫≤f(x)
a
b
∫dx
6•Majoration de l'int égrale
Si f est continue et bornée sur a, b
[ ]
alors il existe
m et M tels que m ≤f(x) ≤M
et m(b −a) ≤f(x)dx ≤M(b −a)
a
b
∫
4.1. Formules de la moyenne.
Première formule de la moyenne :
fcontinue sur a, b
[ ]
alors il existe c ∈a, b
[ ]
tel que
f(x)dx =(b −a)f(c)
a
b
∫
le réel 1
b−af(x)dx est la valeur moyenne de f sur a,b
[ ]
a
b
∫
Deuxième formule de la moyenne :
fet g continues sur a, b
[ ]
;
on suppose de plus que g garde un signe constant sur a, b
[ ]
alors il existe c ∈a,b
[ ]
tel que
f(x)g(x)dx =f(c) g(x)dx
a
b
∫
a
b
∫
4.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit f et g deux fonctions continues sur a,b
[ ]
,
alors on a l 'inégalité
f(x)g(x)dx
a
b
∫≤f2(x)dx
a
b
∫
1/2 g2(x)dx
a
b
∫
1/2
9•Soit f continue sur a,b
[ ]
et F une primitive de f sur a, b
[ ]
alors f(t)dt =F(b)−F(a) =F(t) [ ]
a
b
∫a
b

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10 •Si f est continue sur −a,a
[ ]
et f est paire
alors f(x) dx =2f(x) dx
0
a
∫
−a
a
∫
•Si f est continue sur −a,a
[ ]
et f est impaire
alors f(x) dx =0
−a
a
∫
•Si f est continue sur Ret f est T −périodique
alors quel que soit le nombre réel α:f(x) dx =f(x) dx
0
T
∫
α
α+T
∫
5. Sommes de Riemann.
(Allemand 1826-1866)
5.1. Définition.
On considère une fonction f continue sur a,b
[ ]
, D=(ai)1
≤i≤n
une subdivision de a,b
[ ]
et
ξ une famille de réels avec ξi∈ai
−1, ai
[ ]
La somme de Riemann associée à (f, D,ξ) est le nombre réel défini par
S=(ai−ai−1)f(ξi)
i
=1
n
∑
5.2. Théorème
Toutes les sommes de Riemann associées à f convergent vers f(x)dx
a
b
∫ lorsque le pas de la
subdivision tend vers 0.
Dans le cas particulier d'une fonction continue f et d'une subdivision équipartie :
pour tout i, ai−ai−1=h=b−a
n
Le pas de la subdivision tend vers zéro si et seulement si h tend vers zéro donc lorsque n tend
vers l'infini. On obtient :
Somme de Riemann de la fonction
xaf(x)
sur l'intervalle a,b
[ ]
avec le choix de la borne
droite ξi=aipour i =1,....,n pour chacun des n intervalles égaux de longueur b−a
n

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f(x)dx =lim
n→+∞
a
b
∫b−a
nf(a +ib−a n
i
=1
n
∑)
Illustration : f x
( ) =x+1 ( ) sinx
sur 0,2
π [ ]
avec n = 15.
Somme de Riemann de la fonction
xaf(x)
sur l'intervalle a,b
[ ]
avec le choix de la borne
gauche ξi=ai
−1pour i =1,....,n
pour chacun des n intervalles égaux de longueur b−a
n
f(x)dx =lim
n→+∞
a
b
∫b−a
nf(a +ib−a n
i=0
n−1
∑)=lim
n→+∞
b−a
nf(a +(i −1)b−a n
i=1
n
∑)