Exercice - Alain Camanes

Intégrale sur un segment
Stanislas
Exercices
MPSI 1
Chapitre XIX
2015/2016
I - Continuité uniforme
Exercice 1. (-) Soient a < b deux réels et f ∈ F (]a, b[, R) une fonction uniformément continue.
Montrer que f est bornée. Ce résultat est-il encore vrai si a = −∞ ?
Exercice 2. (-) Soit f ∈ F (R+ , R) une fonction continue et périodique. Montrer que f est
uniformément continue sur R.
Exercice 3. (-) Soit f ∈ F (R, R) continue telle que lim f = ` et lim f = `0 . Montrer que f est
−∞
+∞
uniformément continue sur R.
n
1 P
(−1)k f
n
n→+∞ k=1
Exercice 4. ( !) Soit f ∈ C ([0, 1], R). Déterminer lim
k
n
.
II - Intégration
Exercice 5. Étudier la fonction x 7→
Z
x
btc dt.
0
Exercice 6. (-) Soient a ∈ [1, +∞[ et f ∈ C 1 ([1, +∞[, R). Montrer que
Z
a
btc f 0 (t) dt = bac f (a) −
1
bac
X
f (k).
k=1
Exercice 7. (♥) Pour tous entiers p, q , on note Ip,q =
1. Déterminer une relation entre Ip,q et Ip+1,q−1 .
Z
0
1
xp (1 − x)q dx.
2. En déduire la valeur de Ip,q .
Exercice
f ∈ C ([a, b], R). Déterminer une condition nécessaire et susante sur f pour
Z 8. (♥)
Soit
Z
que f =
|f |.
[a,b] [a,b]
Exercice 9. (Point fixe) Soit f ∈ C ([0, 1], R).
Z
1. On suppose que
f = 0. Montrer que f s'annule sur ]0, 1[.
[0,1]
2. On suppose que
Z
1
f = . Montrer que f admet un point xe dans ]0, 1[.
2
[0,1]
Exercice 10. Soient f ∈ C ([a, b], R) et n ∈ N tels que pour tout k ∈ J0, nK,
1. Montrer que pour tout P ∈ Rn [X],
Z
a
b
Z
a
b
tk f (t) dt = 0.
P (t)f (t) dt = 0.
2. En déduire, en raisonnant par l'absurde, que f s'annule au moins n + 1 fois sur [a, b].
Stanislas
A. Camanes
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MPSI 1
Exercice 11. (π est irrationnel, ♥) Soient a, b, n ∈ N? et Pn =
1
n
n
n! X (bX − a) .
et en ab des valeurs
1. Montrer que Pn et ses dérivées successives prennent en 0
Z π
2. On note In =
Pn (x) sin(x) dx. Montrer que lim In = 0.
entières.
n
0
3. En supposant que π est rationnel et en choisissant a et b, montrer que In ∈ Z.
4. En déduire que π est irrationnel.
Exercice 12. Soient a ∈ R?+ et f ∈ C 1 ([0, a], R) telle que f (0)
0. On suppose que la fonction f
Z=
x
|f 0 (t)| dt.
est la primitive d'une fonction continue. On pose g : x 7→
0
1. Montrer que
1
a
g(a)2 6
2
2
Z
a
g 0 (t)2 dt.
0
2. Montrer que pour tout x ∈ [0, a], |f (x)| 6 g(x).
Z a
Z
a a 0 2
0
3. En déduire que
|f (t)f (t)| dt 6
|f (t)| dt. Que dire du cas d'égalité ?
2 0
0
III - Calculs de limites
Exercice 13. (Un air de Cesaro, ♥) Soient f ∈ C (R+ , R) et F :
R?+
→ R, x 7→
1. Montrer que F peut être prolongée en une fonction continue en 0.
1
x
Z
0
x
f (t) dt.
2. On suppose que f admet une limite réelle ` en +∞. Montrer que F tend vers ` en +∞.
Z 1
Exercice 14. Soit f ∈ C ([0, 1], R). Pour tout entier naturel n, on note un =
f (tn ) dt.
0
1. Montrer que la suite u converge vers f (0).
2. On suppose f dérivable en 0. Étudier la limite de la suite v dénie pour tout entier naturel n
par vn = n(un − f (0)).
Exercice 15.ZSoit a > 0 et f
x
1
I(x) = xa+1
ta f (t) dt.
: R → R une fonction continue. Pour tout x > 0, on note
0
1. Déterminer lim I(x).
x→0
2. En supposant que f est dérivable en 0, montrer que I est dérivable en 0 et calculer I 0 (0).
Exercice 16. ( !) Soit f ∈ C ([a, b], R+ ). Montrer que lim
n→∞
Z
a
b
f (x)n dx
n1
= sup f .
[a,b]
Exercice 17. ( !) Soit f : [0, 1] → R une fonction de classe C 1 telle que f (1) = f 0 (1) = 0.
Z 1
2
Déterminer lim n
xn f (x) dx.
n
Stanislas
0
A. Camanes
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IV - Sommes de Riemann
Exercice 18. (Sommes de Riemann, -) Calculer la limite des suites de terme général
n
n−1
k2
P
(3)
1 P 2 − n2
(1)
k
e
.
3.
S
n = nα
1. Sn = n1
cos2 kπ
.
n
k=1
k=0
(2)
2. Sn =
1
√
n n
n √
P
b kc.
(4)
4. Sn =
n Q
1+
k=1
k=1
Exercice 19. (Intégrale de Poisson) Soit x ∈]1, +∞[. On note I(x) =
f son intégrande.
k2
n2
Z
0
1
n
π
.
ln(1 − 2x cos t + x2 ) dt et
1. Montrer que I est bien dénie.
2. Soit n ∈ N? . Déterminer une expression simple de
π
n
·
n−1
P
k=0
f
kπ
n
.
3. En déduire la valeur de I .
V - Contre-exemples
Exercice 20. Soit g ∈ C ([−1, 1], R)
Z. On dénit la fonction f sur [−1, 1] par f (x) = g(x) si x 6= 0
et f (0) = g(0) + 1. Montrer que
x
0
f (t) dt est dérivable en 0 mais que F 0 (0) 6= f (0).
Exercice 21. (Fonction de Thomae) On dénit sur [0, 1] la fonction f par f (x) =
s'écrit sous forme irréductible pq et f (x) = 0 sinon.
1
q
si x ∈ Q ∩ [0, 1]
1. Montrer que Aε = {x ∈ [0, 1] ; f (x) > ε} est ni.
2. Montrer que f est continue sur [0, 1]\Q ainsi qu'en 0.
3. Montrer que f est discontinue sur ]0, 1] ∩ Q.
4. Soit ε > 0. On dénit ϕε par ϕε (x) = ε si x 6∈ Aε , ϕε (x) = f (x) sinon. Montrer que ϕε est en
Z 1
ϕε (t) dt = ε. Montrer que 0 6 f 6 ϕε . En déduire que f est intégrable et que
escalier et que
0
Z 1
f (t) dt = 0.
0
Stanislas
A. Camanes