Corrigé Interrogation n 6 de Mathématiques MAT112, groupe PHG-S1

Corrigé
Interrogation n◦6 de Mathématiques
MAT112, groupe PHG-S1
(1) Voir figure ci dessous.
FIGURE 1. Représentation de Cf
(2) L’application fn’est pas injective. En effet, l’élément 1 a au moins deux antécé-
dents par fqui sont 1 et −1 ( f(1) = 12=1= (−1)2=f(−1)).
(3) L’application fest surjective. Soit y∈R+, construisons un antécédent xde ypar
l’application f.
Si xexiste, alors f(x) = y, c’est à dire x2=y. Comme y>0, les nombres √y
et −√ysont bien définis, et on a alors deux possibilités pour x. Maintenant, on
n’est pas libre de choisir car l’ensemble de départ est ]−∞,1], on ne peut donc pas
prendre x=√yquand y>1 sinon on aura x>1 et x/∈]−∞,1].
Pour être sur que x∈]−∞,1], choisissons x=−√y. Alors xest bien défini,
appartient à ]−∞,1]et vérifie f(x) = y.
(4) On a f−1([0,1]) = [−1,1]. En effet,
x∈f−1([0,1]) ⇔f(x)∈[0,1]⇔06x261⇔ −16x61.
(5) On a f([−2,1]) = [0,4]. Montrons tout d’abord que f([−2,1]) ⊂[0,4]. Soit y∈
f([−2,1]), il existe x∈[−2,1]tel que y=f(x), c’est à dire y=x2. Distinguons
deux cas sur x.
Si −26x60, alors 4 >x2>0 car x7→ x2est décroissante sur ]−∞,0]. On a
donc y∈[0,4].
Si 0 6x61, alors 0 6x261 car x7→ x2est croissante sur [0,+∞[. On a donc
y∈[0,4]. L’inclusion est démontrée.
Montrons à présent que [0,4]⊂f([−2,1]). Soit y∈[0,4], on doit construire un
antécédent xde ydans [−2,1]. Le dessin nous dit que l’on peut prendre xdans
[−2,0]avec pour valeur −√y. Vérifions le.
1

2
Comme 0 6y64, on a 0 6√y62 car y7→ √yest croissante sur [0,+∞[. On
a alors 0 >−√y>−2. En prenant x=−√y, on a bien un nombre qui vit dans
[−2,0]et qui vérifie f(x) = y. Ceci entraîne que y∈f([−2,1]).