TD d`Analyse Complexe -III- 1 Aire de l`image du

FIMFA, Mars 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Complexe
-III-
1 Aire de l’image du disque
Soit fholomorphe et injective sur le disque ouvert unité D, de développement f(z) = Pcnzn.
Exprimer l’aire de f(D)en fonction des cn. La comparer avec π|f0(0)|2et donner les cas
d’égalité.
2 Inégalité de von Neumann
Soit n≥1. Si Eest un C-espace vectoriel, on dit d’une application R:Cn→Equ’elle est
polynomiale s’il existe e1, ..., ek∈Eet des polynômes R1, ..., Rk∈C[X1, ..., Xn]tels que
R(z1, ..., zn) =
k
X
i=1
Ri(z1, ..., zn)ei.
1. On note Dle disque unité ouvert de C. Montrer que si R:Cn→Cest polynomiale,
alors
|R(z1, ..., zn)| ≤ sup
∂Dn|R|
pour tout (z1, ..., zn)∈¯ Dn. En déduire que si (E, k.k)est un espace vectoriel normé
complexe et si R:Cn→Eest polynomiale, alors
sup
¯
DnkRk= sup
∂DnkRk.
2. Soit M∈ Mn(C); on note λ1, ..., λnles valeurs propres de la matrice √M∗M. En
utilisant la décomposition polaire, montrer qu’il existe une application Q:Cn→ Mn(C)
vérifiant les propriétés
Qest polynomiale,
Q(λ1, ..., λn) = M,
Q(z1, ..., zn)est unitaire si |z1|=... =|zn|= 1.
3. On note k.kla norme sur Mn(C)subordonnée à la norme hermitienne usuelle sur Cn.
Montrer que si M∈ Mn(C)vérifie kMk ≤ 1, alors pour tout polynôme P∈C[X], on a
kP(M)k ≤ sup{|P(z)|;z∈¯ D}.
3 Structure d’espace de Fréchet sur H(Ω)
On considère Ωun ouvert de Cet l’on note H(Ω) l’espace vectoriel des fonctions holomorphes
sur Ω. On définit, pour Kcompact de Ω,p∈N, et f∈ H(Ω),
||f||K,p := sup
z∈K|f(p)(z)|.
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1. Montrer que la topologie définie par la famille de semi-normes ||.||K,p (Kvariant dans
l’ensemble des compacts de Ω, et pvariant dans N), ainsi que la topologie définie par la
famille de semi-normes ||.||K,0(Kvariant dans l’ensemble des compacts de Ω) sont des
topologies métrisables. Comment se caractérise la convergence de suites relativement à
chacune de ces deux topologies ?
Indication : on pourra montrer d’abord que si Eest un C-espace vectoriel muni d’une
famille de semi-normes (Nk)k∈Ndénombrable et séparante (i.e. pour tout x∈E\{0}, il
existe k∈N,Nk(x)6= 0), alors la topologie définie par la famille de semi-normes est
métrisable.
2. Montrer que ces deux topologies coïncident.
Remarque : ainsi, pour les suites de fonctions holomorphes sur Ω, la convergence uniforme
des fonctions sur tout compact est équivalente à la convergence uniforme des fonctions
ainsi que de toutes leurs dérivées sur tout compact.
3. Montrer que l’on peut métriser cette topologie de façon à faire de H(Ω) un espace
complet.
4. Montrer que de toute suite (fn)de H(Ω) telle que pour tout Kcompact de Ω,||fn||K,0
est bornée, on peut extraire une sous suite qui converge uniformément sur tout compact.
Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Montel.
4 Norme et topologie de la convergence uniforme sur tout com-
pact
Soit Uun ouvert connexe de C. Montrer que l’on ne peut pas normer la topologie de la
convergence uniforme sur tout compact sur l’espace H(U).
5 Théorème de Mac Lane
Nous allons montrer qu’il existe une fonction ϕ∈ H(C)telle que la suite (ϕ(n))n≥0de ses
dérivées successives est dense dans H(C).
1. On note T:H(C)→ H(C)l’opérateur de dérivation et S:H(C)→ H(C)l’application
qui à un élément de H(C)associe son unique primitive sur Cqui s’annule en 0. Montrer
les assertions suivantes :
(a) TnSnf=fpour toute f∈ H(C)et tout n≥n.
(b) Il existe une partie dense A ⊂ H(C)telle que Tnfet Snftendent vers 0dans H(C)
pour toute f∈ A.
2. (a) Montrer que si u∈ A et si v∈ H(C), alors Tn(Snv+u)tend vers vdans H(C).
(b) En déduire que si Vest un ouvert non vide de H(C), alors l’ensemble
{ϕ∈ H(C),∃n≥0Tnϕ∈ V}
est un ouvert dense de H(C).
(c) Conclure à l’aide du théorème de Baire.
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