TD d`Analyse Complexe -III- 1 Aire de l`image du

FIMFA, Mars 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Complexe
-III1
Aire de l’image du disque
P
Soit f holomorphe et injective sur le disque ouvert unité D, de développement f (z) =
cn z n .
Exprimer l’aire de f (D) en fonction des c n . La comparer avec π|f 0 (0)|2 et donner les cas
d’égalité.
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Inégalité de von Neumann
Soit n ≥ 1. Si E est un C-espace vectoriel, on dit d’une application R : C n → E qu’elle est
polynomiale s’il existe e1 , ..., ek ∈ E et des polynômes R1 , ..., Rk ∈ C[X1 , ..., Xn ] tels que
R(z1 , ..., zn ) =
k
X
Ri (z1 , ..., zn )ei .
i=1
1. On note D le disque unité ouvert de C. Montrer que si R : C n → C est polynomiale,
alors
|R(z1 , ..., zn )| ≤ sup |R|
∂D n
pour tout (z1 , ..., zn ) ∈ D̄ n . En déduire que si (E, k.k) est un espace vectoriel normé
complexe et si R : Cn → E est polynomiale, alors
supkRk = supkRk.
∂D n
D̄ n
√
2. Soit M ∈ Mn (C) ; on note λ1 , ..., λn les valeurs propres de la matrice M ∗ M . En
utilisant la décomposition polaire, montrer qu’il existe une application Q : C n → Mn (C)
vérifiant les propriétés

 Q est polynomiale,
Q(λ1 , ..., λn ) = M,

Q(z1 , ..., zn ) est unitaire si |z1 | = ... = |zn | = 1.
3. On note k.k la norme sur Mn (C) subordonnée à la norme hermitienne usuelle sur C n .
Montrer que si M ∈ Mn (C) vérifie kM k ≤ 1, alors pour tout polynôme P ∈ C[X], on a
kP (M )k ≤ sup{|P (z)|; z ∈ D̄}.
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Structure d’espace de Fréchet sur H(Ω)
On considère Ω un ouvert de C et l’on note H(Ω) l’espace vectoriel des fonctions holomorphes
sur Ω. On définit, pour K compact de Ω, p ∈ N, et f ∈ H(Ω),
||f ||K,p := sup |f (p) (z)|.
z∈K
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1. Montrer que la topologie définie par la famille de semi-normes ||.|| K,p (K variant dans
l’ensemble des compacts de Ω, et p variant dans N), ainsi que la topologie définie par la
famille de semi-normes ||.||K,0 (K variant dans l’ensemble des compacts de Ω) sont des
topologies métrisables. Comment se caractérise la convergence de suites relativement à
chacune de ces deux topologies ?
Indication : on pourra montrer d’abord que si E est un C-espace vectoriel muni d’une
famille de semi-normes (Nk )k∈N dénombrable et séparante (i.e. pour tout x ∈ E\{0}, il
existe k ∈ N, Nk (x) 6= 0), alors la topologie définie par la famille de semi-normes est
métrisable.
2. Montrer que ces deux topologies coïncident.
Remarque : ainsi, pour les suites de fonctions holomorphes sur Ω, la convergence uniforme
des fonctions sur tout compact est équivalente à la convergence uniforme des fonctions
ainsi que de toutes leurs dérivées sur tout compact.
3. Montrer que l’on peut métriser cette topologie de façon à faire de H(Ω) un espace
complet.
4. Montrer que de toute suite (fn ) de H(Ω) telle que pour tout K compact de Ω, ||f n ||K,0
est bornée, on peut extraire une sous suite qui converge uniformément sur tout compact.
Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Montel.
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Norme et topologie de la convergence uniforme sur tout compact
Soit U un ouvert connexe de C. Montrer que l’on ne peut pas normer la topologie de la
convergence uniforme sur tout compact sur l’espace H(U ).
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Théorème de Mac Lane
Nous allons montrer qu’il existe une fonction ϕ ∈ H(C) telle que la suite (ϕ (n) )n≥0 de ses
dérivées successives est dense dans H(C).
1. On note T : H(C) → H(C) l’opérateur de dérivation et S : H(C) → H(C) l’application
qui à un élément de H(C) associe son unique primitive sur C qui s’annule en 0. Montrer
les assertions suivantes :
(a) T n S n f = f pour toute f ∈ H(C) et tout n ≥ n.
(b) Il existe une partie dense A ⊂ H(C) telle que T n f et S n f tendent vers 0 dans H(C)
pour toute f ∈ A.
2. (a) Montrer que si u ∈ A et si v ∈ H(C), alors T n (S n v + u) tend vers v dans H(C).
(b) En déduire que si V est un ouvert non vide de H(C), alors l’ensemble
{ϕ ∈ H(C), ∃n ≥ 0 T n ϕ ∈ V}
est un ouvert dense de H(C).
(c) Conclure à l’aide du théorème de Baire.
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