dirichlet emeline

Développement+:+103+–+104+–+106+–+143+–+167+–+302+–+304+–+305+–+309+-+357+
+
Th#de#la#progression#arithmétique#de#Dirichlet#(version#faible)+:+
Pour+𝑛≥1+fixé,+il+existe+une+infinité+de+nombres+premiers+de+la+forme+𝜆𝑛 +1,𝜆∈ℕ.+
+
On+note+le+𝑛−𝑖è𝑚𝑒 polynôme+cyclotomique+:++
𝛷!=𝑋−1 et pour 𝑛≥2,𝛷
!=(𝑋−𝑒
!!"#
!)
!!!!!
!∧!!!
+
1. Montrer+que+𝛷
!+est+à+coefficients+entiers+pour+tout+𝑛∈ℕ∗.++
2. Que+peut-on+dire+d’un+nombre+premier+𝑝+qui+divise+𝛷
!(𝑎),+où+𝑎∈ℤ,+mais+aucun+des+
𝛷!(𝑎),+où+𝑑+décrit+l’ensemble+des+diviseurs+stricts+de+𝑛+?+
3. En+déduire+que+pour+𝑛≥1 fixé,+il+existe+une+infinité+de+nombres+premiers+de+la+forme+
𝜆𝑛 +1+avec+𝜆+entier.++
+
Démonstration+:++
1. Montrons#que#𝑿𝒏−𝟏=𝜱𝒅𝒅|𝒏#
On+sait+que+:++
𝑋!−1=𝑋−𝑒
!!"#
!
!
!!!
+
Notons+pour+𝑑≥1,𝑃
!+l’ensemble+des+racines+primitives+𝑑−𝑖è𝑚𝑒𝑠 de+l’unité+(𝑒
!!"#
!+avec+
𝑘∧𝑛=1)+et+𝑈!+l’ensemble+des+racines+𝑑−𝑖è𝑚𝑒𝑠+de+l’unité.+On+a+par+définition+:++
𝑋!−1=(𝑋−𝜉)
!∈!!
+
Soit+𝜉∈𝑈!,+on+note+𝑑+l’ordre+de+𝜉+,+c’est+un+diviseur+de+𝑛+donc+𝜉∈𝑃
! (simplifier+
𝑘/𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑘,𝑛)).++Par+conséquent,+𝑈!+est+la+réunion+disjointe+des+𝑃
!+pour+𝑑|𝑛.+D’où+il+
résulte+:++
𝑋!−1=𝑋−𝜉
!∈!!
=𝑋−𝜉
!∈!! !|!
=𝛷!
!|!
(⋆)+
Par+égalité+sur+les+degrés+des+polynômes+on+obtient+:++
𝑛=𝜑(𝑑)
!|!
+
Montrons#par#récurrence#sur#𝒏≥𝟏#que#𝜱𝒏#est#à#coefficients#entiers#
#
Lemme+:+Soit+𝐴+et+𝐵+deux+polynômes+à+coefficients+entiers,+𝐵+étant+non+nul+unitaire.+Alors+𝑄+et+
𝑅,+ le+ quotient+ et+ le+ reste+ de+ la+ division+ euclidienne+ de+𝐴+par+𝐵+dans+ℂ[𝑋]+sont+ aussi+ à+
coeffcients+entiers.++
Démonstration+:+Dans+les+opérations+de+l’algorithme+de+divisions+euclidiennes,+seuls+des+
entiers+interviennent.+!
∎+
• Si+𝑛=1,+𝛷!=𝑋−1+:+à+coefficients+entiers.++
• Si+𝑛≥2,+supposons+que+∀𝑘≤𝑛,𝛷!∈ℤ[𝑋],+montrons+que+𝛷!!!∈ℤ[𝑋].+
D’après+(⋆)+on+a+:+
𝑋!!!−1=𝛷!
!|(!!!)
=𝛷!!!𝛷!
!|(!!!)
!!!!!
+

+
on+applique+le+lemme+précédent+à+𝐴=𝑋!!!−1 et+𝐵=𝛷!
!|(!!!)
!!!!!
+donc+le+quotient+
𝛷!!!∈ℤ[𝑋].+
+
2. Soit+𝑝 premier+qui+divise+𝛷
!(𝑎),+où+𝑎∈ℤ,+mais+aucun+des+𝛷!(𝑎),+où+𝑑+décrit+l’ensemble+
des+diviseurs+stricts+de+𝑛.+Comme+𝑝|𝛷
!(𝑎),+il+divise+aussi+𝑎!−1.+Ainsi+l’ordre+de++𝑎+
dans+ℤ!
×+divise+𝑛.++
+
Montrons#que#cet#ordre#est#exactement#𝒏.##
Si+𝑑|𝑛+avec+𝑑<𝑛,+on+a+dans+ℤ!+:++
𝑎!−1=𝛷!!(𝑎)
!!|!
+
Or+si+𝑑!|𝑑,+𝑑!|𝑛+et+par+hypothèse,++𝛷!
!(𝑎)≠0+et+puisque+ℤ!+est+intègre,+le+produit+d’éléments+
non+nuls+est+non+nul+:+𝑎!≠1.+L’orde+de+𝑎+est+donc+𝑛.+Comme+cet+ordre+divise+𝑝−1+d’après+le+
théorème+de+Lagrange+(|ℤ!
×|),+𝑝+est+de+la+forme+𝜆𝑛 +1+avec+𝜆+entier.++
+
3. Montrons#qu’il#existe#alors#une#infinité#de#nombres#premiers#de#cette#forme.#
+
Raisonnons+par+l’absurde+et+supposons+qu’il+n’existe+qu’un+nombre+fini+𝑝!,…,𝑝!+de+nombres+
premiers+de+cette+forme,+c’est-à-dire+congrus+à+1+modulo+𝑛.+
Si+on+arrive+à+trouver+𝑎+et+𝑝+vérifiant+les+conditions+de+la+question+précédente,+on+pourra+
affirmer+que+𝑝≡1 [𝑛]+
Pour+éviter+qu’un+tel+𝑝=𝑝!,1≤𝑖≤𝑞,+ce+qui+ne+nous+donnerait+pas+de+contradcition,+posons+
alors+𝑁=𝑛𝑝!…𝑝!.+
Si+𝑝≡1 [𝑁],+alors+𝑝+ne+peut+être+égal+à+un+des+𝑝!+(sinon,+comme+𝑝!<𝑁,+on+aurait+𝑝≡𝑝! [𝑁])+
et+pourtant+on+a+bien+𝑝≡1 [𝑛].++
Il+faut+donc+trouver+𝑎∈ℤ+et+𝑝+premier+tel+que+𝑝 divise 𝛷!(𝑎)+et+ne+divise+pas+
𝛷!𝑎,∀𝑑|𝑁,𝑑<𝑁.+
On+note+:+
𝐵=𝛷!
!|!
!!!
+
On+doit+donc+trouver+𝑎∈ℤ+et+𝑝+premier+tel+que+𝑝|𝛷!𝑎+et+𝑝∤ 𝐵(𝑎).++
Le+polynôme+𝐵+est+donc+premier+avec+𝛷!+dans+ℂ[𝑋]+:+en+effet+ils+sont+scindés+sur+ℂ+et+n’ont+
aucune+racine+en+commun.+Ils+sont+donc+aussi+premier+entre+eux+dans+ℚ[𝑋].+
D’après+le+théorème+de+Bézout,+il+existe+donc+𝑈,𝑉∈ℚ[𝑋]+tels+que+:+
𝑈𝛷!+𝑉𝐵 =1+
De+plus,+∃ 𝑎∈ℤ+tel+que+𝑎𝑈 ∈ℤ𝑋+et+𝑎𝑉 ∈ℤ[𝑋].+Comme+𝛷!∉{−1,0,1},+on+peut+même+choisir+
𝑎∈ℤ+tel+que+𝛷!𝑎∉{−1,0,1}.+On+a+donc+:++
𝑎𝑈(𝑎)𝛷!𝑎+𝑎𝑉(𝑎)𝐵(𝑎)=𝑎+
Soit+𝑝+un+nombre+premier+divisant+𝛷!𝑎.+Alors+𝑝| (𝑎!−1).++
Dans+ℤ!,𝑎!=1+et+donc+𝑎+est+inversible+ce+qui+signifie+que+𝑎+est+premier+avec+𝑝.++
Si+𝑝+divisait+𝐵(𝑎),+il+diviserait+𝑎𝑈(𝑎)𝛷!𝑎+𝑎𝑉(𝑎)𝐵(𝑎)=𝑎+ce+qui+est+exclu+car+𝑎+et+𝑝+sont+
premiers.+On+est+donc+dans+les+hypothèses+de+la+question+préédente,+et+on+a+trouvé+𝑝+premier+
(différent+des+𝑝!)+congru++à+1+modulo+𝑛,+d’où+la+contradiction.+