Topologie et Géométrie

L. FLAMINIO
Topologie et Géométrie
A.A. 2014-2015
22 décembre 2014

Table des matières
Partie I Topologie
1 Topologie ......................................................... 3
1.1 Topologie quotient ............................................ 3
1.2 Groupes topologiques ......................................... 7
1.2.1 Groupes topologiques localement compacts ............. 9
1.3 Actions continues de groupes topologiques ..................... 10
1.3.1 Définitions ............................................ 10
1.3.2 Sous-groupe de stabilité ................................ 12
1.3.3 Actions propres......................................... 13
1.4 Annexe : Sommaire de topologie ............................... 15
1.4.1 Définitions fondamentales .............................. 16
1.4.2 Topologie induite ...................................... 17
1.4.3 Topologie produit ...................................... 18
1.4.4 Propriétés fondamentales des espaces topologiques . . . . . . 19
1.4.5 Compacité dans les espaces métriques .................. 26
1.4.6 Filtres, d’après Bourbaki ................................ 27
2 Relèvements ...................................................... 33
2.1 Homotopies, Chemins......................................... 33
2.1.1 Le groupe fondamentale ................................ 34
2.2 Relèvements .................................................. 36
2.2.1 Espaces localement connexes par arcs ................... 36
2.2.2 Définition de revêtement ............................... 36
2.2.3 Relèvements des applications ........................... 38
2.2.4 Revêtements universels ................................. 43
2.2.5 Existence de relèvements ............................... 45
2.2.6 Classification des revêtements .......................... 46
2.2.7 Action du groupe d’automorphismes d’un revêtement . . . . 49
2.2.8 Revêtements galoisiens ................................. 50
v

vi Table des matières
3 Variétés ........................................................... 53
3.1 Notions de géométrie différentielle ............................. 53
3.1.1 Variétés topologiques................................... 53
3.2 Variétés différentielles ......................................... 54
3.2.1 Exemples .............................................. 56
3.2.2 Exemples .............................................. 56
3.3 Applications différentiables .................................... 60
3.4 Variétés différentielles et revêtements .......................... 60
4 Géométrie elliptique ............................................... 61
4.1 Les quotients des sphères de dimension 2n...................... 61
4.2 Pavages de S2................................................. 61
4.2.1 Le groupe Dn.......................................... 62
4.2.2 Le groupe tetraédral T.................................. 63
4.2.3 Le groupe octaédral O.................................. 64
4.2.4 Le groupe icosaédral I.................................. 65
4.3 Annexe : Un peu de théorie des groupes ........................ 69
4.3.1 Produits semi-direct de groupes ......................... 69
4.3.2 Exemples notables de produits semi-directs .............. 71
5 La géométrie au plat pays .......................................... 77
5.1 Préliminaires ................................................. 77
5.2 Sous-groupes d’isométries ..................................... 79
5.3 Réseaux de Rn................................................ 80
5.4 Les théorèmes de Bieberbach .................................. 82
Index .................................................................. 87

Partie I
Topologie