l`examen partiel du deuxième groupe

Examen partiel (2M216)
Les exercices sont classés par ordre de difficulté. Le barème est indicatif.
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Exercice 1 (3 points).a. Énoncer le théorème du point fixe de Picard.
b. Montrer que chaque hypothèse du théorème du point fixe est nécessaire.
c. Donner la définition de la différentiabilité d’une fonction en un point.
Exercice 2 (3 points).a. Donner l’ensemble de définition de la fonction (x,y)7→ xy2−x2y
x2+y2.
Est-il ouvert ? Fermé ? Compact ?
b. On pose
f(x,y) = (0 si (x,y) = (0, 0)
xy2−x2y
x2+y2sinon.
Montrer que fest continue sur R2.
Exercice 3 (4 points).On définit une fonction fpar
f(x,y) = 1
ex2−ey2
a. Quel est son ensemble de définition ? Est-il ouvert ? Fermé ? Borné ? Compact ?
Dorénavant, on notera D(f)l’ensemble de définition de f.
b. Justifier la différentiabilité de fsur D(f).
c. Calculer ∇f(a)en tout point a∈D(f).
Exercice 4 (5 points).Soit f:]0, 1[→Rune fonction dérivable, supposée non constante pour
éviter les trivialités. Soit Ω={(x,y)∈]0, 1[×]0, 1[,y<x}. Pour tout (x,y)∈Ω, on pose
F(x,y) = f(x)−f(y)
x−y.
a. Montrer que Fest une fonction continue.
b. (a) Rappeler la définition d’un ensemble connexe.
(b) Montrer que Ωest un ouvert connexe.
(c) Montrer que l’image d’une partie connexe par une fonction continue est connexe.
(d) Qui sont les ensembles connexes de R? Que dire de l’image de F?
c. Soit x,ydans ]0, 1[. On suppose que f0(x)<f0(y). Soit cun nombre réel tel que f0(x)<
c<f0(y). Montrer qu’il existe θdans ]0, 1[tel que f0(θ) = c(indice : on pourra utiliser les
résultats précédents et le théorème des accroissements finis).
Nous venons de démontrer le célèbre théorème de Darboux.
Exercice 5 (3 points).Soit A∈M3,3(R)une matrice 3 ×3 à coefficients réels. On définit une
application φ:R3→R3par
φ(v) = Av.
a. Montrer que φest différentiable et calculer sa matrice jacobienne.
b. Montrer que φest de rotationnel nul si et seulement si Aest symétrique.
c. Dans ce cas, trouver une fonction f:R3→R, différentiable, telle que pour tout v∈R3
on ait φ(v) = ∇f(v).