Sur les sommes de carrés - Gilles Auriol

Sur les sommes de carr´ es
Gilles Auriol
[email protected] — http ://auriolg.free.fr
Table des mati`eres
1 Somme de deux carr´es 1
1.1 Version´el´ementaire................................... 1
1.1.1 Th´eor`emedeWilson .............................. 1
1.1.2 Cas d’un nombre premier impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Versionlicence ..................................... 4
1.2.1 Th´eor`emedeWilson .............................. 4
1.2.2 Caract´erisation des carr´es dans Fp....................... 5
1.2.3 Quelques rappels sur les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Pr´esentation de Z[i]............................... 6
1.2.5 Cas d’un nombre premier impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6 Casg´en´eral ................................... 7
1.3 Compl´ements ...................................... 8
2 Somme de trois carr´es 8
3 Somme de quatre carr´es 9
1 Somme de deux carr´es
1.1 Version ´el´ementaire
Dans cette partie nous allons donner des caract´erisations de nombres qui sont sommes de deux
carr´es avec des outils tr`es ´el´ementaires. L’ensemble est accessible `a un ´el`eve de Terminale S.
1.1.1 Th´eor`eme de Wilson
1.1 Proposition. — Soit pun entier premier, alors x2≡1 [p]⇐⇒ (x≡1 [p]ou x≡ −1 [p]).
Preuve. — x2≡1 [p]⇐⇒ ∃k∈Nt.q. x2−1 = kp ⇐⇒ ∃k∈Nt.q. (x−1)(x+ 1) = kp d’o`u
l’on d´eduit, grˆace au th´eor`eme de Gauss puisque pest premier, que pdivise x−1 ou que pdivise
x+ 1. Dans le premier cas il existe k0∈Ntel que x−1 = pk0d’o`u x≡1 [p], dans le second il
existe k00 ∈Ntel que x+ 1 = pk00 d’o`u x≡ −1 [p].
R´eciproquement, si x= 1 + pk0, alors x2= 1 + 2pk0+p2k02≡1 [p]. On v´erifie de mˆeme la solution
x≡ −1 [p].
Si p= 2, on a −1≡1 [2], donc il n’y a qu’une solution, `a savoir x≡1 [p].
1.2 Remarque. — L’´equivalence de la proposition n’est pas une banalit´e. Par exemple pour
p= 8 (qui n’est pas premier), x2≡1 [8] ⇐⇒ (x≡1 [8] ou x≡3 [8] ou x≡5 [8] ou x≡7 [8]).
1.3 D´efinition. — L’entier xet dit inversible modulo ps’il existe un entier ytel que xy ≡1 [p].
1.4 Th´eor`eme (de Wilson). — pest premier ⇐⇒ (p−1)! ≡ −1 [p].
1

Preuve. — (=⇒) Soit A={1,2, . . . , p −1}. Fixons xdans Aet consid´erons l’application fx:
A→Aqui `a tout yde Aassocie le reste rdans la division par pde xy, qui n’est pas 0 puisque
pne divise ni xni y.
L’application fxest bijective. Pour cela il suffit de montrer qu’elle est injective, car fxest une
application entre ensemble de mˆeme cardinal. Si fx(y) = fx(y0) = ralors il existe (k, k0)∈Z2tel
que xy =pk +ret xy0=pk0+r, et par soustraction on obtient que x(y−y0) est divisible par
p. L’entier xn’´etant pas divisible par p, c’est y−y0qui l’est. Or |y−y0|< p (on a facilement
l’encadrement −p+ 2 6y−y06p−2, ´equivalent `a |y−y0|6p−2 et si adivise b, alors −a
divise b), donc |y−y0|= 0 et y=y0.
La bijectivit´e de fxest prouv´ee, en particulier il existe donc un seul r∈Atel que f(r) = 1,
c’est-`a-dire tel qu’il existe k∈Zavec xr = 1 + pk ou xr ≡1 [p].
Maintenant que nous savons que tous les ´el´ements de Asont inversibles modulo pet que leur
inverse est unique, cherchons quels sont ceux qui sont leur propre inverse. Ceci n’a lieu que
si p2≡1 [p] et d’apr`es la proposition pr´ec´edente cela n’a lieu que pour 1 et p−1. Posons
A0={2, . . . , p −2}(et supposons p>5), alors `a chaque a∈A0, on peut associer l’unique a0∈A0
avec a6=a0tel que aa0≡1 [p], on obtient ainsi p−3
2paires {a, a0}distinctes. Le produit des
´el´ements de A0vaut donc 1, d’o`u
(p−1)! = 1 ×(p−1) ×(a1a0
1)× ··· × (a(p−3)/2a0 (p−3)/2)≡p−1≡ −1 [p]
Les cas p= 2 ou p= 3 se v´erifient directement.
(⇐=) Si nest un diviseur strict de palors il est un facteur de (p−1)! et (p−1)! ≡0 [n]. Or
si l’on suppose (p−1)! ≡ −1 [p], on a aussi (p−1)! ≡ −1 [n] d’o`u 0 ≡ −1 [n], ce qui est faux car
n > 1. Ainsi pest premier.
1.1.2 Cas d’un nombre premier impair
1.5 Th´eor`eme. — (Th´eor`eme 1.1.1 p.12 de [Des86])
Pour tout r´eel ξet pour tout r´eel H > 1, il existe un couple (p, q)∈Z×N∗tel que q < H et
|qξ −p|61
H.
Preuve. — Supposons d’abord Hentier. Le nombre 1 et les Hnombres iξ−[iξ], o`u i∈[[0, H −1]]
et o`u [iξ] d´esigne la partie enti`ere de iξ, appartiennent tous `a [0,1]. Deux au moins de ces H+ 1
nombres ont donc une distance mutuelle inf´erieure ou ´egale `a 1
H.
– Si ces deux nombres sont iξ −[iξ] et iξ0−[i0ξ] avec i<i0, le choix q=i0−iet p=i0ξ−[iξ]
conduit `a 0 < q < H et |qξ −p|=|i0ξ−[i0ξ]−(iξ −[iξ]) |61
H.
– Si ces deux nombres sont iξ−[iξ] et 1, le choix q=i<Het p= [iξ]+1 donne |qξ −p|61
H
et q > 0.
Supposons maintenant H > 1 non entier, et posons H0= [H] + 1. La premi`ere partie de la
d´emonstration ´etablit l’existence de (p, q)∈Z×N∗tel que 0 < q < H0et |qξ −p|61
H0<1 H
avec, puisque qest un entier et que Hne l’est pas, q < H.
1.6 Lemme. — Soit ppremier impair congru `a 1 modulo 4, alors p−1
2!2
≡ −1 [p].
2

Preuve. — Soit pun nombre premier impair. On a p≡1 [4] ⇐⇒ p−1
2est pair, donc d’apr`es
le th´eor`eme de Wilson,
−1≡(p−1)! ≡1×2× ··· × p−1
2×p+ 1 2× ··· × (p−2) ×(p−1)
≡1×2× ··· × p−1
2×−p−1 2× ··· × (−2) ×(−1)
≡(−1)(p−1)/2p−1
2!p−1 2!
≡p−1
2!2
[p]
1.7 Th´eor`eme. — Un nombre premier impair pest la somme de deux carr´es d’entiers si et
seulement s’il est congru `a 1 modulo 4.
Preuve. — (=⇒) Si p=a2+b2, alors a2et b2sont de parit´es diff´erentes (puisque ”impair +
impair = pair + pair = pair”). Par ailleurs un nombre et son carr´e ont mˆeme parit´e, puisque
(2k)2= 4k2et (2k+ 1)2= 2(2k2+ 2k) + 1. Donc aet bont une parit´e diff´erente et pour fixer
les id´ees, disons apair et bimpair. Il existe donc (k, k0)∈N2tel que a= 2ket a= 2k0+ 1 d’o`u
p=a2+b2= 4(k2+k02+k0)+1≡1 [4].
(⇐=) Preuve 1.Nous suivons [Des86], th´eor`eme 1.1.4 p. 13.
Si p≡1 [4], il existe un mtel que m2+ 1 ≡0 [p] d’apr`es le lemme 1.6. Appliquons le th´eor`eme 1.5
en choisissant ξ=m
pet H=√p(>1) ; il existe (s, t)∈Z×N∗tel que t < √pet 
tm
p−s
61
√p.
Le choix r=tm −sp donne, apr`es multiplication de cette in´egalit´e par p > 0, |r|6√pou r26p
[1]. D’autre part t < √p=⇒0< t2< p d’o`u 0 < t2+r2<2pen ajoutant `a [1].
Mais on a aussi t2+r2≡t2+t2m2=t2(1 + m2)≡0 [p] et puisque 0 < t2+r2<2p, on arrive
bien la conclusion voulue, t2+r2=p.
Preuve 2.Nous nous inspirons cette fois-ci du §20.4 p.300 de [HW60].
Soit p≡1 [4]. D’apr`es le lemme 1.6, il existe xtel que x2+ 1 ≡0 [p]. On peut choisir xavec
|x|<p
2(l’´egalit´e pouvant ˆetre strict car pest impair) de sorte que 0 <1 + x2< p2, donc il existe
kavec 0 < k < p tel que x2+ 1 = kp. Il en r´esulte que l’ensemble
{k∈[[1, p −1]]; ∃(a, b)∈N2;a2+b2=kp}
n’est pas vide (il suffit de faire a=xet b= 1 pour voir qu’il contient au moins un ´el´ement), donc
en tant que partie non vide de Nil admet un plus petit ´el´ement not´e m.
Suppons m > 1 (c’est-`a-dire 1 < m 6p−1).
Soient xet yles entiers congrus modulo m`a aet brespectivement, tels que |x|6m
2et |y|6m 2
(cette fois-ci on ne peut pas prendre une in´egalit´e stricte car mpeut ˆetre pair). On a alors
x2+y2≡a2+b2≡0 [m] et x2+y262×m
22< m2. En outre xet yne peuvent pas ˆetre
nuls, car cela traduirait que mdivise aet bet dans ce cas m2diviserait a2+b2=pm, donc m2
diviserait pm ou encore mdiviserait p, ce qui est impossible car 1 < m 6p−1 d’apr`es l’hypoth`ese.
Finalement de 0 < x2+y2< m2et x2+y2≡0 [m] on d´eduit que
x2+y2=um avec 0 < u < m.
3

Comme a2+b2=mp et x2+y2=um, une multiplication membre `a membre donne
m2up = (a2+b2)(x2+y2) = A2+B2
avec, en vertu de l’identit´e de Euler1
A=ax +by
B=ay −bx
Or modulo m, les entiers Aet Bdeviennent
A≡x2+y2≡0 [m]
B≡xy −yx = 0 [m]
Il existe donc (α, β)∈Z2tel que A=mα et B=mβ d’o`u
m2up =m2α2+m2β2
ou encore up =α2+β2apr`es simplification par m2, ce qui contredit le caract`ere minimal de m,
puisque 0 < u < m. Ainsi m= 1.
1.2 Version licence
Maintenant nous allons red´emontrer le th´eor`eme 1.7 en utilisant l’alg`ebre enseign´ee en licence.
Nous pourrons ensuite caract´eriser tous les nombres qui sont sommes de deux carr´es.
1.2.1 Th´eor`eme de Wilson
Red´emontrons le th´eor`eme 1.4 en utilisant les corps finis. Soit pun entier premier. On note
Fple corps `a p´el´ements.
Preuve. — (=⇒) L’ensemble G=F∗
pest un groupe pour la multiplication. Etant donn´e que
card(G) = p−1, le th´eor`eme de Lagrange permet d’´ecrire ∀x∈G, xp−1= 1, c’est-`a-dire que le
polynˆome P(X) = Xp−1−1 admet comme racines 1,2, . . . , p −1. Son degr´e ´etant p−1 il admet
au plus p−1 racines. Donc les racines de Psont exactement les ´el´ements de G. Ainsi
P(X) = Xp−1−1 = (X−1)(X−2) . . . (X−(p−1))
d’o`u en d´eveloppant et en comparant les termes constants
−1=(−1)p−1×1×2× ··· × (p−1) = (−1)p−1(p−1)!
Si p= 2, un calcul direct montre que l’´enonc´e est vrai. Si p>3, alors p−1 est pair, et on a
−1 = (p−1)!.
(⇐=) Soit C∈(Z/pZ)− {0},aun ´el´ement de Zrepr´esentant de C. On peut supposer que
16a6p−1, quitte `a remplacer apar son reste dans la division euclidienne par p. Par hypoth`ese
p−1
Y
i=1
i=−1 d’o`u −a
p−1
Y
i=1
i6=a
i= 1
ce qui prouve que Cest inversible dans (Z/pZ), d’inverse −
p−1
Y
i=1
i6=a
i, donc Z/pZest un corps, donc
pest premier.
1Pour tout entier a, b, c, d, on a (a2+b2)(c2+d2) = (ac +bd)2+ (ad −bc)2, voir remarque 1.18
4

1.2.2 Caract´erisation des carr´es dans Fp
On note F2
p={x2, x ∈Fp}et F∗2 p=F∗ p∩F2 p.
1.8 Proposition. — (Il s’agit de la proposition VII.52 de [Goz97] p.93)
IF∗2
pest un sous-groupe d’indice 2 de F∗ p; donc Card(F∗2 p) = p−1
2.
IF∗2
pest le noyau de l’endormorphisme x7→ xp−1
2de F∗
p.
Preuve. — IClairement f:x7→ x2est un endomorphisme de groupe de F∗
p, donc F∗2 p= Im(f)
est un sous-groupe de Fp, et est par d´ecomposition canonique isomorphe `a F∗
p/ker(f). Or ker(f) =
{x∈Fp/x2= 1}={−1,1}et −16= 1 car p6= 2. Donc F∗2
pest un sous-groupe d’indice 2 de F∗ p.
D’o`u Card(F∗2
p) = Card(F∗
p)
2=p−1 2.
IClairement u:x7→ xp−1
2est un endormorphisme de groupe de F∗
p. Du th´eor`eme de Lagrange,
il r´esulte que ∀x∈F∗
p,(u(x))2=xq−1= 1, donc Im(u)⊆ {−1,1}. Si Im(u) = {1}, on aurait
∀x∈F∗
p, u(x) = xp−1
2= 1 et le polynˆome Xp−1 2−1 de Fp[X] aurait p−1 racines : impossible. Donc
Im(u) = {−1,1}. D’o`u Card(ker(u)) = p−1
2. Comme F∗2
p⊆ker(u) et comme Card(F∗2 p) = p−1
2,
il vient F∗2
p= ker(u).
1.9 Corollaire. — −1est un carr´e dans Fp⇐⇒ p≡1 [4].
Preuve. — D’apr`es la proposition, −1 est un carr´e dans Fp⇐⇒ (−1)p−1
2= 1 ⇐⇒ p−1
2est
pair ⇐⇒ p≡1 [4].
1.10 Remarque. — Ceci g´en´eralise le lemme 1.6 qui ne d´emontre que (⇐=) mais qui explicite
une solution de x2=−1, ce qui n’est pas le cas ici. De toutes fa¸cons, pour ce qu’on veut faire, il
suffit de savoir qu’une solution existe.
1.2.3 Quelques rappels sur les anneaux
1.11 D´efinition. — Un anneau Aest dit principal s’il est int`egre et si tous ses id´eaux sont
principaux, c’est-`a-dire que chaque id´eal est de la forme {ba, a ∈A}avec b∈A.
1.12 D´efinition. — Un anneau est dit euclidien s’il est int`egre et s’il est muni d’un stathme
euclidien, c’est-`a-dire une application f:A− {0} → Ntelle que
∀(a, b)∈A×(A− {0}),∃(a, b)∈A2, a =bq +ret (r= 0 ou f(r)< f(b)) .
Par exemple Zest euclidien en prenant pour fle stathme x7→ |x|.
1.13 Th´eor`eme. — Tout anneau euclidien est principal.
Preuve. — Soient Aun anneau euclidien, fle stathme euclidien associ´e et Iun id´eal de A. Si
Iest l’id´eal nul, alors 0 engendre Iqui est donc principal. Sinon il existe x0∈Anon nul tel que
x0∈I. En posant E={f(x) ; x∈I− {0}} on constate que Eest une partie non vide Ndonc
admet un plus petit ´el´ement f(a) o`u a∈I− {0}. Consid´erons b∈I. Il existe donc (a, b)∈A2
tel que b=aq +ravec r= 0 ou f(r)< f(a). Or r=b−aq ∈I, donc le caract`ere minimal de
f(a) impose que r= 0 c’est-`a-dire que b=aq. Ainsi I⊆aA. L’inclusion inverse ´etant ´evidente,
I=aA.
5