Ch5: Résidus quadratiques - IMJ-PRG

Chapitre 4
Groupedes inversibles de Z/nZ et
applications
4.1 Rappels et exemples
U(Z/nZ)={k,PGCD(k,n)=1}
est le groupedes ´el´ements inversibles de Z/nZ ;c’est aussi l’ensemble des g´en´erareurs
du groupeadditif Z/nZ.
Exemples.
4.2 Structure de U(Z/pZ)pour ppremier
Th´eor`eme 4.2.1. LegroupeU(Z/pZ)=(Z/pZ)∗est engendr´epar un seul ´el´ement ;on
dit qu’il est cyclique.
Cela revient`a dire qu’il existe un ´el´ementd’ordre p−1. Pour la preuve, on va
consid´erer les polynˆomes `a coefficientdans Z/pZ.
Th´eor`eme 4.2.2. Un polynˆome de degr´em`a coefficients dans un corps (par exemple
Z/pZ,avecppremier) aau plus nracines.
Corollaire 4.2.3. LePPCM des ordres des ´el´ements du groupe(Z/pZ)∗est ´egal `a p−1.
Proposition 4.2.4. Si un groupe commutatif contient un ´el´ement xd’ordrea,et un
´el´ement yd’ordreb,alors il contient un ´el´ement zd’ordreP P CM(a, b).
On obtientla preuvedu th´eor`eme comme corollaire :(Z/pZ)∗contientun ´el´ement
d’ordre p−1qui est le PPCM des ordres de tous les ´el´ements.
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4.3 Structure de U(Z/p2Z)pour ppremier
Th´eor`eme 4.3.1. LegroupeU(Z/pZ)=(Z/p2Z)∗est cyclique.
Cela revient`a dire qu’il existe un ´el´ementd’ordre φ(p)=p(p−1).
4.4 Application `al’´etude de la primalit´e
D´efinition 4.4.1. a) Un nombre non premier (compos´e) est pseudo-premier pour la
base asi et seulementsi :an−1≡1(modn).
b) Un nombre non premier nest de Carmichael si et seulements’il est pseudo-premier
pour toute base premi`ere avec n.
Th´eor`eme 4.4.2. Un nombrenon premier nest de Carmichael si et seulement si pour
tout diviseur premier de n:
a) p−1divise n−1,
b) p2ne divise pas n.
Exercice4.4.3.D´emontrer qu’un nombre Carmichael aau moins 3diviseurs premiers.
Test de Miller-Rabin.
Entr´ee :entier impair n`a tester, entier tdonnantle nombre de t´emoins.
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[recherche de la plus grande puissancede 2qui divise n−1]
b←0;r←n−1;
Tantque (rest pair) faire
b←b+1;r←r/2;
Fait
Pour jde 1`atfaire
choisir au hasard dentre 2et n−2;
d←(drmodn);
Si (d6=1et d6=n−1) Alors
k←0;
Tantque (k<b)faire
d←(d2modn);k←k+1;
Si (d=1) Alors
Sortie(“non premier”) ;
Fin Si
Fait
Fin Si
Si (d6=b−1) Alors
Sortie(“non premier”) ;
Fin Si
Sortie(“tr`es probablementpremier”) ;
Fin Pour
Algorithme 7: Test de Miller-Rabin
Le th´eor`eme suivantd´emontre que le test de Miller-Rabin est correct :
Th´eor`eme 4.4.4. Si pest premier impair, et si n−1=2br,avecrimpair, alors pour
tout apremier avecn:
soit ar≡1(modn),
soit il existe k,0≤k<b,tel que :ar2k≡ −1(modn).
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Chapitre 5
R´esidus quadratiques
5.1 R´esidus quadratiques modulo un premier
D´efinition 5.1.1. Soit pun nombre premier. Un ´el´ementa∈(Z/pZ)∗est un r´esidu
quadratique si et seulementsi c’est un carr´e.On dit aussi que l’entier aest un r´esidu
quadratique modulo p.
Th´eor`eme 5.1.2. Soit p=2l+1un nombrepremier impair.
a) Les r´esidus quadratiques modulo pforme un sous-groupede cardinal lde (Z/pZ)∗.
b) a∈Z/pZest un r´esidu quadratique si et seulement si :al=1dans Z/pZ.
c) −1est un r´esidu quadratique modulo psi et seulement si p≡1(mod4).
5.2 Symbole de Legendre
D´efinition 5.2.1. Soit pest nombre premier, et aun entier. Le symbole de Legendre
not´ea
pvaut :
0si pdivise a,
1si a∈(Z/pZ)∗est un carr´e(r´esidu quadratique),
−1si a∈(Z/pZ)∗n’est pas un carr´e(non-r´esidu quadratique).
Remarque 5.2.2.Si a≡b(modp), alors a
p=b p.
Proposition 5.2.3. a) Pour ppremier impair, −1
p=(−1)p−1
2.
b) Pour ppremier impair et apremier avecp,a
p≡ap−1
2(modp).
c) ab
p=a pb p.
Th´eor`eme 5.2.4 (R´eciprocit´equadratique).Pour pet qpremiers impairs, on a:
Çp
qåÇq på=(−1)p−1
4
q−1
4=®−1si pet qsont congrus `a 3modulo 4,
1si pou qest congru `a 1modulo 4.
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On pourra trouver une d´emonstration (d’apr`es Zolotarev) `a l’adresse :
http ://math.unice.fr/∼serman/recip.pdf.
5.3 Symbole de Jacobi
On ´etend le symbole de Legendre au cas de nombres qui ne sontplus n´ecessairement
premiers.
D´efinition 5.3.1. Si best le produit des nombres premiers p1,. . .,pm,alors :
Åa
bã=
m
Y
j=1 Ça
pjå.
Proposition 5.3.2. a)Äa
bä=0si et seulement si PGCD(a, b)>1.
b) 1
p=1,et ab p=a pb p.
c) Si a≡a′(modb), alors Äa
bä=Äa′ bä.
d) Si aet bsont premiers entreeux et impairs, alors :
Åa
bãÇb aå=(−1)a−1
2
b−1
2=®−1si aet bsont congrus `a 3modulo 4,
1si aou best congru `a 1modulo 4.
e) Ä2
bä=(−1)b2−1
4=®1si aest congru `a ±1modulo 8,
−1si best congru `a ±3modulo 8.
5.4 Application aux tests de primalit´e
5.4.1 Nombres de Fermat
Le n-i`eme nombre de Fermat est :Fn=22n+1.
Proposition 5.4.1. Si un nombrepremier pdivise Fn,n≥2,alors il est de la forme
p=k2n+2 +1.
Exercice5.4.2.Soit aun ´el´ementd’un groupeGnot´emultiplicativement, de neutre e.
Montrer que s’il existe un nombre premier pet un entier ktels que :
apk=e,et apk−16=e,
alors aest d’ordre pk.
Th´eor`eme 5.4.3 (Crit`ere de P´epin).Lenombrede Fermat Fn,n≥1,est premier si
et seulement si
3Fn−1
2≡ −1modFn.
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