La loi de r´eciprocit´e quadratique
F´evrier 2005
1 Carr´es dans un corps fini
On note, pour tout entier premier p,Fp=Z/pZ.
On rappelle qu’il s’agit d’un corps `a p´el´ements. D’autre part, F
p=Fp\ {0}
est un groupe cyclique d’ordre p1.
On dit qu’un ´el´ement aFpest un carr´e s’il existe bFptel que a=b2.
D´efinition 1 Pour nNet pun nombre premier sup´erieur ou ´egal `a 3, le
symbole de Legendre n
pest d´efini par :
n
p=
0si pdivise n
+1 si la classe de nmodulo pest un carr´e dans Fp
1si la classe de nmodulo pn’est pas un carr´e dans Fp
On dispose alors le r´esultat suivant dˆu `a Euler :
Proposition 2 Soit pun nombre premier 3. Il y a autant de carr´es que de
non carr´es dans F
p. Pour tout nN, on a la formule
n
pnp1
2[p].
DEMONSTRATION : L’application ψ:F
pF
pd´efini par ψ(x) = x2est
morphisme de groupe multiplicatif, dont le noyau est {−1,1}(de cardinal 2
car p3) et dont l’image est l’ensemble F2
pdes carr´es de F
p. Par un th´eor`eme
d’isomorphisme, il vient |F2
p|=|F
p|
2=p1
2, ce qui prouve la premi`ere asser-
tion.
1
2
Pour tout xF
p, le th´eor`eme de Fermat nous donne xp1= 1 et donc
x(p1)/2=±1. Chacune des ´equations X(q1)/2=±1 a au plus (q1)/2
racines donc exactement (p1)/2 racines.
Si n=x2est un carr´e, on a n(p1)/2=xp1=1=n
p. Sinon, c’est que
n(p1)/2=1 = n
p.2
On en d´eduit imm´ediatement le
Corollaire 1 Pour n, n0Net ppremier 3,
nn0
p=n
pn0
p.
2 Sommes de Gauss
Proposition 3 Soit qun nombre premier 3, soit Aun anneau et soit αA
tel que
1 + α+... +αq1= 0.
On d´efinit la somme de Gauss
τ=X
iFq
i
qαi=
q1
X
i=1 i
qαi.
1. On a τ2=ε(q)qo`u ε(q) = 1
q.
2. Si pest la caract´eristique de A, et est telle que p3et p6=q, alors
τp=p
qτ.
DEMONSTRATION : Notons tout d’abord que αp= 1 ; en effet, αp1 =
(α1)(1 + α+... +αq1) = 0.
D’autre part, on calcule
ε(q)τ2=ε(q)X
i,jFq
i
qj
qαiαj=X
i,jFq
ij
qαi+j
=X
kFq
X
iFq
i(ik)
qαk=X
kFq
skαk
o`u skesigne X
iFq
i(ik)
q.
Si k6= 0 et i6= 0, alors i(ik)
q=i2
q=i
q2= 1 et on en d´eduit
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3
s0=q1.
Supposons k6= 0. Alors en notant i1l’inverse de idans F
q,
i(ik)
q=i2(1 ki1
q=1ki1
q.
Or, l’application F
qFq\ {1},i7−1ki1´etant clairement bijective, il
vient
sk=X
iFq\{1}
i
q=X
iFq
i
q1
q=1,
la derni`ere in´egalit´e ´etant une cons´equence de la proposition 2.
On a donc trouv´e
ε(q)τ2=q1X
kF
p
αk=q,
ce qui prouve la premi`ere partie de la proposition.
A´etant de caract´eristique p, l’application x7−xpde Fpdans lui-mˆeme est un
morphisme de corps, appel´e morphisme de Frobenius. On peut donc calculer
τp=X
iFq
i
qαip=X
iFq
i
qpαip.
L’entier p´etant impair, i
qp=i
qet donc
p
qτp=X
iFq
ip
qαip =X
jFq
j
qαj=τ.
On a utilis´e le fait que, p´etant inversible dans Fq, l’application i7−ip est
bijective. 2
3 Loi de r´eciprocit´e quadratique
Voici le r´esultat principal de cet article.
Th´eor`eme 4 Soit pet qdeux nombres premiers distincts 3. Alors
p
q= (1)(p1)(q1)
4q
p.
DEMONSTRATION : On se place dans l’anneau A=Fp[X]/q) o`u Φqest
le polynˆome cyclotomique 1 + X+... +Xq1. Dans cet anneau quotient de
caract´eristique p, on note αla classe de X, de sorte que Φq(α) = 0. On d´efinit
τ=X
iFq
i
qαi.
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4
D’apr`es la proposition 2, on a τ2=ε(q)qet donc ε(q)q
p= (τ2)p1
2=τp1.
D’autre part toujours d’apr`es cette proposition, τp=p
qτet on en d´eduit
ε(q)q
pτ=τp=p
qτ.
Puisque τest inversible (car τ2l’est), c’est que
p
q=ε(q)q
p= (ε(q))p1
2q
p= (1)(p1)(q1)
4q
p
comme annonc´e. 2
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