Série 6

Introduction ` a la th´ eorie des nombres Bachelor Semestre 6
Prof. E. Bayer Fl¨ uckiger 24.3.2014
S´erie 6
Exercice 1. Montrez qu’il y a un isomorphisme de Q–alg`ebres −2,−3
Q∼
=−1,−1
Q. Puis
montrez qu’il n’y a pas d’isomorphisme de Q–alg`ebres entre −2,−5
Qet −1,−1 Q.
Exercice 2. Soit Fqun corps fini avec q´el´ements, soient f1, . . . , fm∈Fq[X1, . . . , Xn] des
polynˆomes satisfaisant m
X
i=1
deg fi< n
et notons S⊆Fn
ql’ensemble des z´eros communs de f1, . . . , fm.
(1) Soient e1, . . . , endes entiers positifs ou nuls avec e1+· · · +en< n(q−1) et posons
f(X1, . . . , Xn) = Xe1
1· · · Xen
n. Montrer :
X
x∈Fn
f(x)=0
(2) Posons f:= (1 −fq−1
1)(1 −fq−1 2)· · · (1 −fq−1
m). Montrer que pour tout x∈Fn qon a
f(x) = 1 si x∈Set f(x) = 0 autrement.
(3) D´eduire de (1) et (2) que #S≡0 mod p, o`u pest la caract´eristique de Fq.
(4) Montrer que toute forme quadratique en ≥3 variables sur un corps fini est isotrope.
Exercice 3. Soit kun corps. D´efinissons pour a,b∈k∗le symbole de Hilbert [a, b] par
[a, b] = 
+1 si aX2+bY 2−Z2est une forme quadratique isotrope
−1 sinon.
V´erifier les propri´et´es suivantes de ce symbole (pour a,b,cdes ´el´ements de k∗, en supposant
que a6= 1 si a−1 apparaˆıt dans une formule):
(1) [a, b] = [b, a] et [a, c2] = 1.
(2) [a, −a] = 1 et [a, 1−a] = 1.
(3) Si [a, b] = 1, alors [ca, b] = [c, b].
(4) [a, b]=[a, −ab] et [a, b] = [a, (1 −a)b].
Remarque. En ´etudiant certaines ´equations diff´erentielles et int´egrales, le math´ematicien
allemand David Hilbert (1862–1943) fut amen´e `a introduire des espaces quadratiques de
dimension infinie. On les connait aujourd’hui sous le nom d’espaces de Hilbert.

Pour le dernier exercice nous allons utiliser le r´esultat suivant, du `a Legendre. Sa preuve
est tout `a fait accessible, mais peu instructive et trop longue pour la faire en exercice.
Th´eor`eme. Soient a,bet cdes entiers non nuls, tels que abc soit sans facteur carr´e, et
posons q(X, Y, Z) = aX2+bY 2+cZ2. La forme quadratique qest isotrope si et seulement
si les deux conditions suivantes sont satisfaites:
(1) Les entiers a,bet cn’ont pas tous le mˆeme signe, et
(2) −bc est un carr´e modulo |a|,−ac un carr´e modulo |b|et −ab un carr´e modulo |c|.
C’est un r´esultat remarquable : les conditions (1) et (2) sont faciles `a v´erifier, ils ne font
intervenir que les signes de a,b,c, et l’arithm´etique modulo |a|,|b|et |c|(c.f. exercice 4.2 de
la s´erie 3). D’autre part, on a une affirmation sur l’existence d’une solution nontriviale d’une
´equation Diophantienne aX2+bY 2+cZ2= 0, qui en r`egle g´en´erale sont tr`es difficiles `a
v´erifier. Le th´eor`eme est un pr´ecurseur de ce qu’on appelle aujourd’hui le principe de Hasse.
C’est un sujet de recherche actif.
Exercice 4. Parmi les ´equations,
5X2−2Y2−3Z2= 0 22X2−2323Y2+ 33Z2= 0
quelles sont celles qui ont une solution nontriviale dans Q3?