UNIVERSIT´
E DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS 2016/2017
Facult´e des Sciences Pr´eparation `a l’agr´egation
D´epartement de Math´ematiques T. D. Arithm´etique
Exercice 1. (Fonction indicatrice d’Euler)
Pour n1, notons ϕ(n) le nombre d’entiers ktels que 1 knqui sont premiers avec n, et par
(Z/nZ)le groupe multiplicative des inversibles de Z/nZ.
a) Montrez que ϕ(n) = |(Z/nZ)|.
b) Montrer que si net msont premiers entre eux, alors ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).
c) Calculez ϕ(pk) si pest un nombre premier et k1.
d) Si nN,n2 et si n=Qr
i=1 pαi
iest sa d´ecomposition en produit de facteurs premiers,
montrer que
ϕ(n) = n
r
Y
i=1
(1 1
pi
)
e) Soit n2. Montrer que n=Pd|nϕ(d).
f) D´emontrer le petit th´eor`eme de Fermat : Si pest premier et aZalors apamod p.
Exercice 2.(Inversibles de Z/nZ, R´ef´erence : D. Perrin, Cours d’alg`ebre)
Soit n2 avec n=Qr
i=1 pαi
ila d´ecomposition de nen produit de facteurs premiers.
a) Montrer que les anneaux Z/nZet Z/pα1
1Z×· · ·×Z/pαr
rZsont isomorphes (th´eor`eme chinois).
En d´eduire que (Z/nZ)et (Z/pα1
1Z)× · · · × (Z/pαr
rZ)sont isomorphes
b) Si pest un nombre premier, montrez que (Z/pZ)'Z/(p1)Z.
c) Si p6= 2 est un nombre premier et k2, montrez que (Z/pkZ)est un groupe cyclique.
d) Calculez (Z/nZ)pour n= 2,4,8.
e) Pour k3, montrez que (Z/2kZ)=Z/2Z×Z/2k2Z.
f) (i) Soit Het Kdeux groupes finis, hHet kK. Montrer que lordre de (h, k) dans le
produit direct H×Gest le ppcm des ordres de het k.
(ii) montrer que le produit direct de deux groupes cycliques est cyclique si et seulement si,
leurs ordres sont premiers entre eux.
(iii) Montrer que pour n2, (Z/nZ)est cyclique si et seulement si n= 2,4, pα,2pα, o`u p
d´esigne un nombre premier impair.
Exercice 3.
a) Soit pun nombre premier impair r1. Soit xun entier non multiple de pet soit tun ´el´ement
de Z/prZtel que t2x[pr]. Montrer qu’il existe un unique ´el´ement t0Z/(pr+1Ztel que
t0t[pr] et t02x[pr+1].
b) Soit pun nombre premier et soit pr,r > 1 une puissance de p. Soit xun entier non multiple
de p. Montrer que xest un carr´e modulo prsi et seulement si xest un carr´e modulo p.
c) D´eterminer les ´el´ements de Z/125Zdont le carr´e est ´egal `a 1.
d) Montrer qu’un entier impair xest un carr´e modulo 2r(r3) si et seulement si x1 [8].
1
Exercice 4.
(Un test de primalit´e). [Demazure]
a) Soit nun nombre entier n2. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(a) nest sans facteur multiple et p1 divise n1 pour tout facteur premier pde n.
(b) ana[n] pour tout entier a.
(c) an11 [n] pour tout entier apremier `a n.
b) Soit nun entier impair tel que a(n1)/2≡ ±1 [n] pour apremier `a n. Montrer que, s’il existe
un atel que a(n1)/2≡ −1 [n], alors nest premier.
Exercice 5.
(Cryptographie : le syst`eme RSA, Rivest-Shamir-Adelman 1978). [Gourdon p.34 et Hindry p.39-
40], [Demazure]
Soient pet qdeux nombres premiers distincts ; on pose n=pq. Soient cet ddeux entiers tels que
cd 1[ϕ(n)].
a) (1) Montrer que tcd t[n].
Supposons que net csoient connus (clef publique). Tout le monde peut alors coder un message
tZen appliquant la fonction ttcZ/nZ.
b) Expliquer comment on d´ecode ce message.
c) Expliquer en quoi ce syst`eme de cryptage est particuli´erement difficile `a attaquer.
Exercice 6. [Gourdon]
a) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 6k1.
b) Soit p > 3 un nombre premier. Montrer que 3 est un carr´e dans Fpsi et seulement si
p1 [6]. [On pourra utiliser la loi de r´eciprocit´e quadratique.]
c) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 6k+ 1.
d) Soit p > 5 un nombre premier. Montrer que 5 est un carr´e dans Fpsi et seulement si p
±1 [10]. [On pourra utiliser la loi de r´eciprocit´e quadratique.]
e) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 10k1.
f) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4k+ 3.
g) Soit pun nombre premier impair divisant a2+b2, o`u ab= 1.
(a) Montrer que p1 [4].
(b) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 8k+ 5.
Tous ces exemples se g´en´eralisent dans le th´eor`eme de Dirichlet [1838] : Pour toute paire nm= 1
de nombres entiers premiers entre eux, il existe infinit´e de nombres premiers de la forme n+km,
o`u kest un entier positif.
Exercice 7.
(Repartition des nombres premiers). [Francinou-Gianella]
On note pnle n-i`eme nombre premier et π(x) le nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux
`a x. Montrer que pn+1 p1...pn+ 1 et que pn<22n.
En deduire que, pour xsuffisement grand, on a ln ln xπ(x)x.
Cet encadrement est tr`es grossier. Le theor`eme des nombres premiers [Hadamard et de la Vall´ee
Poussin, 1896] affirme que π(x)x
ln x.
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