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UNIVERSIT´ E DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS 2016/2017
Facult´e des Sciences Pr´eparation `a l’agr´egation
D´epartement de Math´ematiques T. D. Arithm´etique
Exercice 1. (Fonction indicatrice d’Euler)
Pour n≥1, notons ϕ(n) le nombre d’entiers ktels que 1 ≤k≤nqui sont premiers avec n, et par
(Z/nZ)∗le groupe multiplicative des inversibles de Z/nZ.
a) Montrez que ϕ(n) = |(Z/nZ)∗|.
b) Montrer que si net msont premiers entre eux, alors ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).
c) Calculez ϕ(pk) si pest un nombre premier et k≥1.
d) Si n∈N,n≥2 et si n=Qr
i=1 pαi
iest sa d´ecomposition en produit de facteurs premiers,
montrer que
ϕ(n) = n
r
Y
i=1
(1 −1
pi
)
e) Soit n≥2. Montrer que n=Pd|nϕ(d).
f) D´emontrer le petit th´eor`eme de Fermat : Si pest premier et a∈Zalors ap≡amod p.
Exercice 2.(Inversibles de Z/nZ, R´ef´erence : D. Perrin, Cours d’alg`ebre)
Soit n≥2 avec n=Qr
i=1 pαi
ila d´ecomposition de nen produit de facteurs premiers.
a) Montrer que les anneaux Z/nZet Z/pα1
1Z×· · ·×Z/pαr
rZsont isomorphes (th´eor`eme chinois).
En d´eduire que (Z/nZ)∗et (Z/pα1
1Z)∗× · · · × (Z/pαr
rZ)∗sont isomorphes
b) Si pest un nombre premier, montrez que (Z/pZ)∗'Z/(p−1)Z.
c) Si p6= 2 est un nombre premier et k≥2, montrez que (Z/pkZ)∗est un groupe cyclique.
d) Calculez (Z/nZ)∗pour n= 2,4,8.
e) Pour k≥3, montrez que (Z/2kZ)∗=Z/2Z×Z/2k−2Z.
f) (i) Soit Het Kdeux groupes finis, h∈Het k∈K. Montrer que lordre de (h, k) dans le
produit direct H×Gest le ppcm des ordres de het k.
(ii) montrer que le produit direct de deux groupes cycliques est cyclique si et seulement si,
leurs ordres sont premiers entre eux.
(iii) Montrer que pour n≥2, (Z/nZ)∗est cyclique si et seulement si n= 2,4, pα,2pα, o`u p
d´esigne un nombre premier impair.
Exercice 3.
a) Soit pun nombre premier impair r≥1. Soit xun entier non multiple de pet soit tun ´el´ement
de Z/prZtel que t2≡x[pr]. Montrer qu’il existe un unique ´el´ement t0∈Z/(pr+1Ztel que
t0≡t[pr] et t02≡x[pr+1].
b) Soit pun nombre premier et soit pr,r > 1 une puissance de p. Soit xun entier non multiple
de p. Montrer que xest un carr´e modulo prsi et seulement si xest un carr´e modulo p.
c) D´eterminer les ´el´ements de Z/125Zdont le carr´e est ´egal `a −1.
d) Montrer qu’un entier impair xest un carr´e modulo 2r(r≥3) si et seulement si x≡1 [8].
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Exercice 4.
(Un test de primalit´e). [Demazure]
a) Soit nun nombre entier n≥2. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(a) nest sans facteur multiple et p−1 divise n−1 pour tout facteur premier pde n.
(b) an≡a[n] pour tout entier a.
(c) an−1≡1 [n] pour tout entier apremier `a n.
b) Soit nun entier impair tel que a(n−1)/2≡ ±1 [n] pour apremier `a n. Montrer que, s’il existe
un atel que a(n−1)/2≡ −1 [n], alors nest premier.
Exercice 5.
(Cryptographie : le syst`eme RSA, Rivest-Shamir-Adelman 1978). [Gourdon p.34 et Hindry p.39-
40], [Demazure]
Soient pet qdeux nombres premiers distincts ; on pose n=pq. Soient cet ddeux entiers tels que
cd ≡1[ϕ(n)].
a) (1) Montrer que tcd ≡t[n].
Supposons que net csoient connus (clef publique). Tout le monde peut alors coder un message
t∈Zen appliquant la fonction t→tc∈Z/nZ.
b) Expliquer comment on d´ecode ce message.
c) Expliquer en quoi ce syst`eme de cryptage est particuli´erement difficile `a attaquer.
Exercice 6. [Gourdon]
a) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 6k−1.
b) Soit p > 3 un nombre premier. Montrer que −3 est un carr´e dans Fpsi et seulement si
p≡1 [6]. [On pourra utiliser la loi de r´eciprocit´e quadratique.]
c) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 6k+ 1.
d) Soit p > 5 un nombre premier. Montrer que 5 est un carr´e dans Fpsi et seulement si p≡
±1 [10]. [On pourra utiliser la loi de r´eciprocit´e quadratique.]
e) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 10k−1.
f) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4k+ 3.
g) Soit pun nombre premier impair divisant a2+b2, o`u a∧b= 1.
(a) Montrer que p≡1 [4].
(b) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 8k+ 5.
Tous ces exemples se g´en´eralisent dans le th´eor`eme de Dirichlet [1838] : Pour toute paire n∧m= 1
de nombres entiers premiers entre eux, il existe infinit´e de nombres premiers de la forme n+km,
o`u kest un entier positif.
Exercice 7.
(Repartition des nombres premiers). [Francinou-Gianella]
On note pnle n-i`eme nombre premier et π(x) le nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux
`a x. Montrer que pn+1 ≤p1...pn+ 1 et que pn<22n.
En deduire que, pour xsuffisement grand, on a ln ln x≤π(x)≤x.
Cet encadrement est tr`es grossier. Le theor`eme des nombres premiers [Hadamard et de la Vall´ee
Poussin, 1896] affirme que π(x)≈x
ln x.
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