Groupes abéliens de type fini, polynômes, extensions

Université Lille I Année 2016-2017
Master 1 Devoir n◦1
Groupes abéliens de type fini, polynômes, extensions
Exercice 1 1. Soit Aun groupe abélien et pour i= 1,2soit φ:Li→Aun épimorphisme,
où Liest un groupe abélien libre de rang fini. On pose
L3={(x1, x2)∈L1×L2/φ1(x1) = φ2(x2)}
(a) Montrer que si p1:L3→L1est la première projection, (x1, x2)7→ x1, alors p1est un
épimorphisme.
(b) Montrer que L3est un groupe abélien libre de rang fini.
2. Soit Aun groupe abélien, Lun groupe abélien libre de rang fini, φ:A→Lun mor-
phisme. Soit (l1,··· , lr)une base de Let (a1,··· , ar)des antécédents arbitraires par φ,
i.e. pour i= 1,··· , r on a φ(ai) = li.
(a) Montrer que la famille (a1,··· , ar)est libre.
(b) Si A0=Za1⊕ ··· ⊕ Zar, montrer que ker φ⊕A0=A.
3. Soit p:L0→Lun épimorphisme, où Let L0sont des groupes abéliens libres de rang
fini. Soit M < L et M0=p−1M. On note K0= ker pet (e0
1,··· , e0
k)une base de K0.
(a) Montrer que ker p|M0=K0.
(b) Soit (e1,··· , er)une base de Let (e0
k+1,··· , e0 k+r)des pré-images arbitraires par p
(i.e. p(e0
k+i) = eipour i= 1,··· , r). Montrer que (e0
1,··· , e0
k+r)est une base de L0
(on pourra appliquer la question 2. au morphisme p).
(c) On impose à présent à (e1,··· , er)d’être adaptée à M: il existe s6ret d1|d2|···|ds
des entiers >1tels que (d1e1,··· , dses)soit une base de M. Montrer que
(e0
1,··· , e0 k, d1e0 k+1,··· , dse0 k+s)
est une base de M0.
(d) En déduire, si rg désigne le rang, que rg L0−rg M0= rg L−rg Met que les invariants
>1de M0< L0sont les mêmes que ceux de M < L.
4. Soit Aun groupe abélien de type fini, on sait qu’il existe un isomorphisme
A'Z
δ1Z× ··· × Z δtZ×Zα
avec δi>2,δ1|δ2|···|δtet α>0. Montrer, à l’aide des questions précédentes, que ces
invariants, y compris α, ne dépendent pas de l’isomorphisme choisi.
Exercice 2 Les polynômes suivants sont-ils irréductibles ?
Y2−X3+X∈Z[X, Y ],
P(X)−Y Q(X)∈k(X)[Y]où kest un corps,
P(X)−Y Q(X)∈k[X, Y ]où kest un corps.
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Exercice 3 Soit E=Q[α], où α3−α2+α+ 2 = 0. Exprimer (α2+α+ 1)(α2−α)et (α−1)−1
sous la forme a+bα +cα2, où (a, b, c)∈Q3.
Exercice 4 Montrer que les deux corps Q(√7) et Q(√11) ne sont pas isomorphes.
Exercice 5 Soient a > 0et n > 0deux entiers avec anon divisible par un carré. Le polynôme
Xn−aest alors irréductible dans Q[X](par exemple d’après le critère d’Eisenstein). Soit K/Q
une extension de degré fini d, et αla racine réelle positive de Xn−a.
1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Xn−aest irréductible dans K[X]
(ii) [K(α) : K]=[Q(α) : Q]
(iii) [K(α) : Q(α)] = [K:Q]
2. Montrer que si net dsont premiers entre eux, Xn−aest irréductible dans K[X].
3. Montrer que Xn−aest irréductible dans Q(i)[X].
Exercice 6 1. Déterminer le degré du corps de décomposition de X5−2sur Q(c’est à
dire la plus petite extension de Qcontenant toutes les racines).
2. Soit ζ∈Ctel que ζ5= 1,ζ6= 1, on pose z=ζ5
√2et t=z2+z3. Montrer que
Q(t) = Q(z).
3. Montrer que le polynôme minimal Pde tsur Qest le polynôme caractéristique de
l’application Q-linéaire “multiplication par t” dans Q(t).
4. Déduire des deux questions précédentes une expression explicite de P.
5. Déterminer toutes les racines de P.
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Correction 1 1. (a) Si on fixe x1dans L1, ses antécédents par p1sont les couples (x1, x2)
tels que φ1(x1) = φ2(x2). Comme φ2est un épimorphisme, cet ensemble est non vide.
(b) L1×L2est libre de rang fini (son rang est la somme des rangs de L1et de L2) ; on
en déduit que L3, qui est sous-groupe de L1×L2, est aussi libre de rang fini.
2. (a) Soient (ni)16i6rune famille d’entiers relatifs telle que Pr
i=1 niai= 0. En prenant
l’image par φ, on trouve que Pr
i=1 nili= 0 ; comme (li)16i6rest une base de L, on
en déduit que pour i= 1,··· , r on a ni= 0.
(b) Montrons que ker φ∩A0= 0. Soit x=Pr
i=1 niaiun élément de ker φ∩A0, alors
en prenant l’image par φon obtient que chacun des niest nul, pour i= 1,··· , r,
et donc x= 0. On montre à présent que ker φ+A0=A: si x∈A, on peut écrire
φ(x) = Pr
i=1 nili, mais alors x= (x−Pr i=1 niai) + Pr i=1 niaioù le premier terme est
dans ker φet le second dans A0.
3. (a) En général, on a toujours que ker p|M0= ker p∩M0. Mais comme ici ker p=p−1(0) <
p−1(M) = M0, on conclut que ker p|M0= ker p=K0.
(b) C’est une conséquence de la question 2. et du fait qu’on obtient une base d’une somme
directe en concaténant une base de chacun des facteurs directs.
(c) On a p(die0
i) = dip(e0 i) = dieipour i= 1,··· , s, donc les (die0 i)16i6ssont dans M0et
forment une famille de pré-images de la base (diei)16i6sde M. Compte tenu de (a),
on peut conclure comme à la question précédente en appliquant 2. à p|M0.
(d) D’après les questions précédentes, la famille (e0
1,··· , e0
k+r)est une base de L0adaptée
àM0, avec pour invariants 1|1|···|1|d1|d2|···|ds(où il y a kinvariants égaux à 1
pour commencer) ce qui montre la propriété pour les invariants. Pour les rangs, on a
vu que rg L0=k+ret rg M0=k+s, avec r= rg Let s= rg M, d’où la conclusion.
4. L’isomorphisme A'Z
δ1Z× ··· × Z δtZ×Zαpermet de définir un épimorphisme de L1:=
Zt×Zα→Adont le noyau est M1:= Zt, où le morphisme M1→L1est donné par
multiplication par δisur chaque composante. Un deuxième isomorphisme A'Z
δ0
1Z×
··· × Z
δ0
t0Z×Zα0définit de manière similaire un épimorphisme L2:= Zt0×Zα0→Adont
le noyau est M2:= Zt0. On définit alors L3comme à la question 1. et M3comme le
noyau de l’application composée L3→A. En appliquant la question 3., on voit que les
invariants >1de M1< L1, qui sont les δi, sont aussi les invariants >1de M3< L3, qui
sont aussi les invariants >1de M2< L2, qui sont les δ0
i0. On raisonne de même pour les
rangs.
Correction 2 Comme Z[X]est factoriel, de corps des fractions Q(X), et Z[X, Y ]'Z[X][Y],
on peut appliquer le critère d’Eisenstein à P=Y2−X3+Xvu comme polynôme en Yà
coefficients dans Z[X], pour l’irréductible Xde Z[X],Pest donc irréductible dans Q(X)[Y].
Comme il est de contenu 1, il est donc irréductible dans Z[X][Y].
Comme P(X)−Y Q(X)est de degré 1, il est irréductible dans k(X)[Y].
On en déduit que P(X)−Y Q(X)est irréductible dans k[X, Y ] = k[X][Y]si et seulement s’il
est de contenu 1, i.e. si et seulement P∧Q= 1.
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Correction 3 La division euclidienne de (X2+X+ 1)(X2−X)par X3−X2+X+ 2 a pour
reste −4X−2, on en déduit que (α2+α+ 1)(α2−α) = −4α−2.
En appliquant l’algorithme de Bezout à X−1et X3−X2+X+ 2, on trouve
(X−1)(−1
3−1 3X2)+(X3−X2+X+ 2)1 3= 1
En évaluant en αil vient : (α−1)−1=−1
3−1 3α2.
Correction 4 Si ces corps étaient isomorphes, 7serait un carré dans Q(√11), et on aurait
donc (a, b)∈Q2tels que (a+b√11)2= 7. Comme (1,√11) est une base de Q(√11), ceci donne,
au vu de a2+ 11b2+ 2ab√11 = 7, que ab = 0. On a donc soit 11b2= 7, soit a2= 7, ce qui est
absurde, car d’après Eisenstein avec p= 7 les polynômes 11X2−7et X2−7sont irréductibles
sur Q.
Correction 5 1. Comme les degrés sont multiplicatifs dans les tours, les deux dernières
conditions équivalent au fait que [K(α) : Q] = nd, donc sont équivalentes. Comme
Pα,K |Pα,Q, et [K(α) : K] = deg Pα,K ,[Q(α) : Q] = deg Pα,Q, le (ii) équivaut à Pα,K =
Pα,Q, i.e. Pα,K =Xn−a, ce qui équivaut encore à Xn−airréductible dans K[X].
2. Si net dsont premiers entre eux, on sait que Ket Q(α)sont linéairement disjointes,
d’où [K(α) : Q] = nd, et donc d’après la première question Xn−aest irréductible dans
K[X].
3. Comme αest réelle Q(α)⊂R, donc i6∈ Q(α). On en déduit que [Q(α, i) : Q]=2n, et
donc d’après la première question Xn−aest irréductible dans Q(i)[X].
Correction 6 1. Soit ζ6= 1 une racine 5-ième de l’unité. Le corps de décomposition de
X5−2sur Qest Q(5
√2ζk,06k64). Ce corps est clairement contenu dans Q(5 √2, ζ),
mais comme il contient 5
√2ζk/5 √2ζk−1=ζ, et donc 5 √2ζ/ζ =5 √2, on a égalité. Or
Q(5
√2, ζ)est le compositum des extensions Q(5 √2) et Q(ζ), dont les degrés, 4et 5, sont
premiers entre eux ; donc le degré de Q(5
√2, ζ)est 20.
2. On a clairement Q⊂Q(t)⊂Q(z). Le polynôme minimal de zsur Qest X5−2, donc
[Q(z) : Q]=5. Comme ce degré est premier on a soit Q(t) = Qsoit Q(t) = Q(z). Or la
première égalité est exclue car la partie (1, z2, z3)est Q-libre.
3. La matrice de l’application Q-linéaire “multiplication par t” dans Q(t), exprimée dans la
base (1, t, t2, t3, t4)est la matrice compagnon associée au polynôme minimal Pde tsur
Q. Son polynôme caractéristique est donc P.
4. La matrice de l’application Q-linéaire “multiplication par t” dans Q(t), exprimée dans la
base (1, z, z2, z3, z4)est :
00220
00022
10002
11000
01100
et un pivot de Gauss montre que son polynôme caractéristique vaut X5−10X3+20X−12.
5. Les racines de Psont les conjugués de tsur Q. Ce sont aussi les images de tpar les
5plongements distincts de Q(t)dans C, or comme Q(t) = Q(z)ceux-ci correspondent
aussi aux conjugués de z, qui sont les racines de X5−2, à savoir ζkzpour k∈ {0,4}.
On en déduit que les racines de Psont exactement ζ2kz2+ζ3kz3pour k∈ {0,4}.
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