Présentation d`un groupe fini

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan
Vincent Beck
Présentation d’un groupe fini
Proposition 1 Présentation d’un groupe fini. Soit hx1,...,xm|r1,...,rniune présentation d’un groupe
fini G. On a n>m.
Preuve. L’idée de la démonstration est de se ramener au cas commutatif pour utiliser les théorèmes sur les
groupes abéliens libres de type fini. Soient Fmle groupe libre à mgénérateurs (x1,...,xm)et
Fmab = Fm/[Fm,Fm] = Zm
l’abélianisé de Fm. On note π: Fm→Fmab la surjection canonique.
Par définition, Gest le quotient de Fmpar Hle plus petit sous-groupe distingué de Fmcontenant ripour
tout i∈[[ 1 , n ]]. Or
H = hgrig−1, i ∈[[ 1 , n ]], g ∈Fmigroupe ,
ainsi, comme Fmab est un groupe abélien, on a
π(H) = hπ(ri), i ∈[[ 1 , n ]]i.
On en déduit, par composition un morphisme surjectif de Fm→Fmab/π(H) dont le noyau contient Het donc,
par passage au quotient un morphisme surjectif de Gdans Fmab/π(H). Ainsi π(H) est un sous-groupe d’indice
fini d’un groupe abélien libre de type fini. Il est donc de même rang et toute partie génératrice de π(H) a au
moins mgénérateurs.