fonctions d`une variable complexe

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FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE
Les nombres complexes ont été introduits vers 1535 par les italiens Cardano et Ferrari comme racines des équations du 2ème
degré dont le discriminant est négatif. Descartes (1596 - 1650) utilisa le terme ‘nombre imaginaire’. Les résultats ont été
obtenus successivement par : Euler (1707 - 1783), Lagrange (1736 - 1813), Gauss (1777 - 1855), Cauchy (1789 - 1857),
Weierstrass (1815 - 1897), Riemann (1826 - 1866), Poincaré (1854 - 1912).
I Définitions et notations
C : ensemble des nombres complexes.
Une fonction f de la variable complexe z = x + iy associe à un élément du domaine de définition D une image :
f(z) = Z = X(x, y) + iY(x, y). X et Y sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.
exemple :
Z = z2, D = C, X = (x2 - y2), Y = 2xy, .
II Principales fonctions
II 1 Fonctions uniformes
Une fonction est uniforme si tout élément du domaine de définition a une seule image.
* fonctions polynômes :
n
n10 za....zaaZ !!" D = C
* fonctions rationnelles :
)z(Q
)z(P
Z" où P et Q sont des polynômes D = C - {zéros de Q(z)}.
* fonctions exponentielles :
#! $"!""" ixiyxz e)ysiniy(coseeeZ . D = C.
x
eZ "
%&
'"#" 2y)Z(Arg
)z(Z)i2z(Z "'! . Z est périodique de période 2i'.
De même : (a ( R,a >0) alnzz ea ".
Exemple : ...0158.0i..009157.0)
2
3
i
2
1
...(0183.0)
3
sini
3
(cosee 4
3
i4 !"!"
'
!
'
")
'
!)
* fonctions trigonométriques :
i2
ee
zsin
iziz )
)
" 2
ee
zcos
iziz )
!
". D = C.
Exemple : i..175.1
i2
ee
)isin(
11
"
)
")
* fonctions hyperboliques :
2
ee
shz
zz )
)
" 2
ee
chz
zz )
!
". D = C.
zsini)iz(sh " zcos)iz(ch " ishz)izsin( " chz)izcos( ".
II 2 ‘Fonctions multiformes’
Une fonction est ‘multiforme’ (cette vieille terminologie est très impropre) si au moins un élément du domaine de définition a
au moins deux images.
* fonction racine carrée : 2
1
2
1)e(zZ i*
$"" .
2
i
0e)z(Zz
*
$"+ )
2
(i
1e)z(Zz '!
*
$"+

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Soit 2
5
i
2
i
eeiz
''
""" 4
i
2
i
0e)e(Z
''
" 4
i
4
5
i
2
5
i
0ee)e(Z
'''
)""
4
5
i
2
i
1e)e(Z
''
" 4
i
4
9
i
2
5
i
1ee)e(Z
'''
"" .
Z0 et Z1 sont deux déterminations de la fonction multiforme 2
1
z. Z0 et Z1 sont aussi à priori des fonctions multiformes. Pour
rendre Z0 et Z1 uniformes il suffit de réduire leurs domaines de définition de manière à empêcher de faire le tour de l’origine
sans sortir du domaine de définition.
On effectue une coupure ‘d’origine O’. O est un point critique (ou point de
branchement, ou de ramification)
Par exemple si ',*- 20 alors ',
*
-2 0 et ','!
*
-' 2
2.D’où :
2
i
eiz
'
"" 4
i
2
i
0e)e(Z
''
" 4
5
i
2
i
1e)e(Z
''
".
Z0 et Z1 sont alors uniformes et )z(Z)z(Z 10 )" . D’autres coupures sont possibles.
0x
0
.
0‘x
* fonction logarithme :
Soit )2.k(i
ez '!*
$" alors )2k(ilnLogzZ '!*!$""
La fonction Log possède une infinité de déterminations (correspondant chacune à une valeur de k) qui sont elles mêmes des
fonctions multiformes avant coupure. Une coupure intéressante est : '-*,') .
Alors les différentes déterminations sont uniformes et, pour les nombres réels positifs z, on a $" lnLogz
sur la détermination ‘principale’ (correspondant à k = 0).
Exemples :
)2k
2
(ii Log '!
'
" , )2k(i)1(Log '!'") , )2k
4
(i2ln
2
1
)i1(Log '!
'
!"! .
* fonctions trigonométriques inverses :
Sur la détermination principale :
)z1iz(Log
i
1
zsinArc 2
)!" )1zz(Log
i
1
zcosArc 2)!"
* fonctions hyperboliques inverses :
Sur la détermination principale :
)1zz(LogArgshz 2!!" )1zz(LogArgchz 2)!"
* fonctions puissances :
Logz
ez .. " ( ))2k(i(ln
ez '!*!$.. ")
- . entier : fonction uniforme.
- . non entier : fonction multiforme, O est le point de branchement.
Exemples :
)2k
2
(i
Logi eei '!
'
.
.. "" , )2k
2
(
iei '!
'
)
"(valeur principale de 2.0ei 2
i/"
'
)).
III Dérivées
III 1 Limite et continuité d’une fonction
)L)z(fzz que tel 0)z,(,0(L)z(flim 00
zz 0
0,)12,)30243056"
+
2,) 0
zz veut dire que z appartient à un disque ouvert de centre z0 et de rayon
2
; de même f(z) appartient à un disque
ouvert de centre L et de rayon 0. Quel que soit le chemin pris par z pour aller vers z0 l’image f(z) doit tendre vers le même
nombre complexe L.

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Une fonction est continue en z0 si )z(f)z(flim 0
zz 0
"
+.
Lz0
III 2 Notions intuitives de topologie
* Un ouvert de C est soit l’ensemble vide soit une partie O de C telle
que , ,Ox (5 il existe un disque D(x, R( 70)) inclus dans O.
* Un fermé est le complémentaire d’un ouvert.
* Un ensemble compact est un ensemble fermé et borné.
* Un ouvert O est connexe si deux points quelconques de O peuvent
être joints par une ligne continue entièrement contenue dans O. Il est
simplement connexe s’il est sans trou et multiplement connexe
autrement.
* Une courbe de Jordan est un circuit (chemin fermé) sans point
double (où on passe plusieurs fois) parcouru une fois dans le sens
direct.
x0
x1
simplement connexe multiplement connexe
III 3 Dérivée d’une fonction uniforme
f est dérivable en z0 si le quotient
0
0
zz
)z(f)z(f
)
) admet une limite finie quand z tend vers z0.
L’existence d’une dérivée est une condition de régularité très forte imposée à la fonction.
Une fonction dérivable en tout point d’un ouvert connexe est dite analytique (ou holomorphe ou régulière). Une fonction
dérivable dans tout domaine borné est dite fonction entière.
III 4 Conditions de Cauchy-Riemann
* Si f est dérivable alors les dérivées partielles de X et Y existent et satisfont aux relations de Cauchy :
y
Y
x
X
8
8
"
8
8 et x
Y
y
X
8
8
)"
8
8.
* Si X et Y admettent des dérivées partielles continues satisfaisant les conditions de Cauchy alors la fonction f est
dérivable.
dém :
idydx
dy
y
Y
dx
x
Y
idy
y
X
dx
x
X
idydx
idYdX
dz
dZ
!
9
9
:
;
<
<
=
>
8
8
!
8
8
!
9
9
:
;
<
<
=
>
8
8
!
8
8
"
!
!
"idydx
dy
y
Y
i
y
X
dx
x
Y
i
x
X
!
9
9
:
;
<
<
=
>
8
8
!
8
8
!
9
:
;
<
=
>
8
8
!
8
8
"
dx
dy
i1
dx
dy
i
y
Y
y
X
i
x
Y
i
x
X
dz
dZ
!
9
9
:
;
<
<
=
>
8
8
!
8
8
)!
9
:
;
<
=
>
8
8
!
8
8
"
dx
idy
dz
.Pour que cette expression ne dépende pas de la manière dont dz tend vers 0, il faut et il suffit qu’elle ne dépende pas de dx
dy ,
qui caractérise la direction de dz. Il faut et il suffit que dx
dy
i1! se mette en facteur au numérateur. D’où :
y
Y
y
X
i
x
Y
i
x
X
8
8
!
8
8
)"
8
8
!
8
8 et y
X
x
Y
et
y
Y
x
X
8
8
)"
8
8
8
8
"
8
8.
Exemples :
* Z = z3 = (x + iy)3 , X = x3 - 3xy2 , Y =3x2y-y3.

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y
X
xy6
x
Y
et
y
Y
y3x3
x
X22
8
8
)""
8
8
8
8
")"
8
8
Les dérivées partielles de X et Y sont continues et vérifient les conditions de Cauchy donc z3 est dérivable.
* zZ ", xX ", yY )" .
y
X
0
x
Y
et -1=
y
Y
1
x
X
8
8
)""
8
8
8
8
"
8
8.
Une des conditions de Cauchy n’est pas vérifiée donc la fonction n’est pas dérivable .
Géométriquement :
- pour un déplacement parallèle à l’axe des x
.1
x
X
z
Z"
?
?
"
?
?
- pour un déplacement parallèle à l’axe des y
.1
y
Y
z
Z)"
?
?
"
?
?
z
z0
?@
z
z0
?z
zz0
?z
zz0
?@
III 5 Expression de la dérivée
y
X
i
y
Y
x
Y
i
x
X
)z('f 8
8
)
8
8
"
8
8
!
8
8
"
Exemple :
* Z = z3 .
xy6
x
Y
et y3x3
x
X22 "
8
8
)"
8
8 d’où .z3)ixy2yx(3)z('f 222 "!)"
III 6 Propriété remarquable
Une fonction holomorphe est indéfiniment dérivable.
III 7 Expression d’une fonction dérivable
Si la fonction Z = X(x, y) + iY(x, y) est analytique dans un ouvert O, on peut l’y exprimer au moyen de la seule variable
z = x + iy .
dém :
Z peut être considéré comme une fonction R(y, z) puisque x = z - iy.
9
9
:
;
<
<
=
>
8
8
!
8
8
8
8
!
8
8
!
8
8
8
8
"
8
8
y
Y
y
x
x
Y
i
y
X
y
x
x
X
y
R i
y
x)"
8
8 d’où
0
x
Y
y
X
x
X
y
Y
i
y
R"
9
9
:
;
<
<
=
>
8
8
!
8
8
!
9
9
:
;
<
<
=
>
8
8
)
8
8
"
8
8 d’après les conditions de Cauchy.
R est donc indépendant de y et ne dépend donc que de z.
Exemples :
* .ysinishxycoschxZ !"
ycosshx
x
X"
8
8, ycosshx
y
Y"
8
8, ysinchx
y
X)"
8
8, ysinchx
x
Y"
8
8.
Ces dérivées partielles sont continues et vérifient les conditions de Cauchy donc Z est dérivable et Z peut s’exprimer à l’aide
de z seul.
)y,x(iY)y,x(X)iyx(f)z(f !"!" d’où )0,x(iY)0,x(X)x(f !" .
En remplaçant x par z : )0,z(iY)0,z(X)z(f !" .
d’où l’expression de Z en fonction de z : "!" 0sinishz0coschzZ chz.
On peut aussi partir de la définition et essayer de regrouper :
.chz)izcos()yixcos(ysin)ixsin(ycos)ixcos(ysinishxycoschxZ "")"!"!"
* zZ " ne peut s’exprimer en fonction de z seul et n’est donc pas dérivable.

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III 8 Règle de l’Hospital
Soit f et g deux fonctions analytiques dans un ouvert connexe contenant z0 et telles que 0)z(g)z(f 00 "" avec gz'( ) .
00
7
alors : )z('g
)z('f
)z(g
)z(f
lim
0
0
zz 0
"
+
Exemples :
* 1z
1z
)z(g
)z(f
6
10
!
!
" 0i6i6)i('g,0)i(g,0)i(f 57"""" d’où 3
5
i6
i10
1z
1z
lim 5
9
6
10
iz ""
!
!
+.
* .
2
1
zsinz4zcos2
zcos
lim
zcosz2
zsin
lim
zsin
zcos1
lim 222
0z
2
0z
2
0z "
)
""
)
+++
III 9 Points singuliers (ou singularités)
C’est un point où une fonction n’est pas analytique.
z0 est une singularité isolée s’il existe un disque ouvert de centre z0 ne contenant pas d’autres singularités.
Types de singularités :
* Pôle : z0 est un pôle d’ordre n s’il existe un entier n tel que .0A)z(f)zz(lim n
0
zz 0
7")
+
Exemple :
)4z()1z()iz(
2z3
)z(f 32 )!)
)
" a un pôle double en z = i, un pôle triple en z = -1 et un pôle simple en z = 4.
(0
)4i()1i(
2i3
)z(f)iz(lim 3
2
iz 7
)!
)
")
+, ,0
2
i
)z(f)1z(lim 3
1z 7)"!
)+ )0
)i4(5
10
)z(f)4z(lim 23
4z 7
)
")
+.
* Point critique :
point au voisinage duquel une fonction n’est pas uniforme.
Exemple : 0 pour z)z(f ".
* Point singulier essentiel :
point où f(z) n’est pas bornée et f
1 n’est pas holomorphe.
Exemple : 0 pour z
1
e)z(f ".
* Singularité apparente :
z0 est une singularité apparente si )z(flim
0
zz+ existe.
Exemple : 0 pour z
zsin
)z(f " car .1)z(flim
0z "
+
IV Fonctions harmoniques
*Théorème
Si Z est une fonction holomorphe dans un ouvert connexe O et si X et Y ont des dérivées secondes continues dans O alors :
0
y
Y
x
Y
YY et 0
y
X
x
X
XX 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2"
8
8
!
8
8
"A"?"
8
8
!
8
8
"A"? .
( ?X est le Laplacien de X, )
y
,
x
(8
8
8
8
A
+
est l’opérateur nabla).
Les fonctions qui ont des dérivées partielles secondes continues et un Laplacien nul sont dites harmoniques.
Dém :
En dérivant les conditions de Cauchy et en utilisant le théorème (de Schwarz) d’interversion des dérivations partielles :
+
8
8
x 2
222
2
2
x
Y
yx
X
et
yx
Y
x
X
8
8
)"
88
8
88
8
"
8
8
+
8
8
y xy
Y
y
X
et
y
Y
xy
X2
2
2
2
22
88
8
)"
8
8
8
8
"
88
8;
xy
Y
yx
Y
et
yx
X
xy
X2222
88
8
"
88
8
88
8
"
88
8 d’où 0
y
Y
x
Y
y
X
x
X
2
2
2
2
2
2
2
2"
8
8
!
8
8
"
8
8
!
8
8.
*Théorème