Mathématiques discrètes (3)
EXTENSION PAR UN ÉLÉMENT TRANSCENDANT...
DÉFINITION
Soit Kun champ (ou un anneau intègre).
K(x):champ des fractions rationnelles
(ou champ des quotients) est quotient de l’ensemble
{(P,Q)|P,Q∈K[x],Q6=0}
par la relation d’équivalence
(P,Q)∼(P′,Q′)⇔P.Q′=P′.Q.
Notation (P,Q): “P
Q”.
DÉFINITION
Si α∈Ln’est pas algébrique sur K, alors il est transcendant
sur K.
EXTENSION PAR UN ÉLÉMENT TRANSCENDANT...
LEMME
Soient Ket Ldeux champs. Si Φ : K→Lest un
homomorphisme, alors il est injectif (i.e., c’est un plongement).
Φest un homomorphisme, kerΦest un idéal de K.
Or Kest un champ, donc kerΦ={0}ou K.
Φ(1K) = 1L6=0Ldonc 1K6∈ kerΦet kerΦ6=K.
Rappel : Si le noyau d’une application est réduit à {0}, alors
cette application est injective. QED
EXTENSION PAR UN ÉLÉMENT TRANSCENDANT...
PROPOSITION
Soient Lune extension de Ket α∈Ltranscendant sur K.
Le champ K(α)est isomorphe à K(x).
Φ : K(x)→L: (P,Q)7→ P(α).Q(α)−1=: P(α)
Q(α).
Φhomomorphisme donc Φest injectif
Φest aussi trivialement surjectif sur son image.
K(x)est isomorphe à ImΦ. Question : ImΦ = K(α)?
ImΦ⊇K(α). OK. L’autre inclusion?
Un élément quelconque de ImΦ:
(k0+k1α+···+kdαd).(ℓ0+ℓ1α+···+ℓeαe)−1,ki, ℓj∈K
appartient bien à K(α). OK
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