Chapitre 1 : trigonométrie Objectifs du chapitre

Chapitre 1 : trigonométrie
Mélanie Trudel,
Trudel Ph.D.
Ph D
1
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
Table des matières
1. Définitions
2. Lignes ou fonctions trigonométriques des angles
3. Relations entre les fonctions trigonométriques de 2 angles supplémentaires
4. Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques
5. Valeurs remarquables
6. Angles supplémentaires et complémentaires
7. Relations : sommes et différences d’angles
8. Relations : produits de fonctions
9. Relations : sommes et différences de fonctions
10. Résolution des triangles
a) Triangles rectangles
b) Triangles quelconques
11. Exemple d’application
12. Trigonométrique à partir d’un cercle
2
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
Objectifs du chapitre
y Connaître et comprendre les fonctions trigonométriques;
y Connaître et comprendre l’utilisation de ces fonctions;
y Représenter des phénomènes simples à l’aide de ces
fonctions.
3
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
1
1. Définition
Trigonométrie : science du triangle ou aussi la science de l’angle basée sur le triangle.
Triangle rectangle :
B
Hypothénuse
a
C
c
A
b
Angles : même nomenclature que
les sommets (lettres majuscules)
Côtés : même lettre que l’angle
opposé (lettres minuscules)
4
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
2. Lignes ou fonctions trigonométriques des angles
B
a
c
AB c
=
BC a
C
A
AC b
b
cos C =
=
BC a
AB c
sin C
1
tan C =
=
⇒ tan C =
et cot C =
AC b
cos C
tan C
a
1
cosec C = =
c sin C
a
1
sec C = =
b cos C
sin C =
5
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
3. Relations entre les fonctions trigonométriques
de 2 angles supplémentaires
B
Angles supplémentaires ⇒ B + C =
C
π
rad
a
c
2
A
b
⎛π
⎞
⇒ sin C = cos ⎜ − C ⎟
⎝2
⎠
b
⎛π
⎞
⇒ cos C = sin ⎜ − C ⎟
cos C = sin B =
a
⎝2
⎠
c
⎛π
⎞
⇒ tan C = cot ⎜ − C ⎟
tan C = cot B =
b
⎝2
⎠
sin C = cos B =
6
c
a
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
2
4. Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques
Dans un triangle rectangle :
a 2 = b2 + c2
⇒ a 2 = a 2 sin 2 C + a 2 cos 2 C
1 = sin C + cos 2 C
2
sin 2 ( C ) + cos 2 ( C ) = 1
⇒ 1+
cos 2 ( C )
1
=
sin 2 ( C ) sin 2 ( C )
⇒ 1 + cot 2 ( C ) = cosec2 ( C ) =
Similairement 1 + tan 2 ( C ) =
7
Mathématiques complémentaires
1
sin 2 ( C )
1
= sec 2 ( C )
cos 2 ( C )
Automne 2011
5. Valeurs remarquables
Utilisation de la géométrie et des polygones réguliers pour déterminer les relations entre
les angles et les côtés.
Centre d’un polygone régulier : le centre commun des cercles inscrits et
circonscrits à ce polygone.
Rayon du polygone régulier : rayon du cercle circonscrit.
Apothème : rayon du cercle inscrit.
inscrit
L’angle au centre d’un polygone régulier : angle sous lequel est vu du centre un côté
de ce polygone.
8
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
Exemple :
Corde AB, cn = c5 =
Pentagone inscrit (n = 5)
A
1
R 10 + 2 5
2
Cercle circonscrit
Cercle inscrit
C
R
B
O
angle AOB =
360 360
2π
=
= 72o =
n
5
5
1
apothème an = a5 = R
4
9
(
)
5 +1
Mathématiques complémentaires
OB : rayon du cercle circonscrit
OC : apothème ou rayon du cercle inscrit
AB : corde ou côté du pentagone
Automne 2011
3
Polyèdres réguliers :
Polyèdre
régulier
Angle
au centre
Triangle
équilatéral
120o
c=R 3
Carré
90o
c=R 2
Pentagone
72o
11
c=
Apothème
a
1
R
2
1
a= R 2
2
a=
(
1
R 10 − 2 5
2
)
60o
Octogone
45o
c=R
(2 − 2 )
36o
1
c= R
2
(
1
R
4
a=
(
)
5 +1
1
a= R 3
2
1
a = R 2+ 2
2
c=R
Hexagone
Décagone
10
Corde ou côté
c
(
(
)
)
1
a = R 10 + 2 5
4
5 −1
Mathématiques complémentaires
)
Automne 2011
Angle C
Sin C
Cos C
Tg C
Cotg C
0o
0
1
0
∞
30o
1
2
3
2
3
3
45o
2
2
2
2
1
1
60o
3
2
1
2
3
3
3
90o
1
0
∞
3
0
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
6. Angles supplémentaires et complémentaires
12
sin (α + 2kπ ) = sin (α )
cos (α + 2kπ ) = cos (α )
tan (α + 2kπ ) = tan (α )
cot (α + 2kπ ) = cot (α )
sin ( −α ) = − sin (α )
cos ( −α ) = cos (α )
tan ( −α ) = − tan (α )
cot ( −α ) = − cot (α )
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
4
… suite
sin (π − α ) = sin α
cos (π − α ) = − cos α
tan (π − α ) = − tan α
cot (π − α ) = − cot α
sin (π + α ) = − sin α
cos (π + α ) = − cos α
tan (π + α ) = tan α
cot ( π + α ) = cot α
⎛π
⎞
sin ⎜ − α ⎟ = cos α
⎝2
⎠
⎛π
⎞
cos ⎜ − α ⎟ = sin α
⎝2
⎠
⎛π
⎞
tan ⎜ − α ⎟ = cot α
⎝2
⎠
⎛π
⎞
sin ⎜ + α ⎟ = cos α
⎝2
⎠
⎛π
⎞
cot ⎜ − α ⎟ = tan α
⎝2
⎠
⎛π
⎞
cos ⎜ + α ⎟ = − sin α
⎝2
⎠
⎛π
⎞
tan ⎜ + α ⎟ = − cot α
⎝2
⎠
13
⎛π
⎞
cot ⎜ + α ⎟ = − tan α
⎝2
⎠
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
7. Relations : sommes et différences d’angles
sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B
sin ( A + B ) sin ( A − B ) = sin 2 A − sin 2 B
sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B
sin ( A + B ) sin ( A − B ) = cos 2 B − cos 2 A
cos ( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B
cos ( A + B ) cos ( A − B ) = cos 2 A − sin 2 B
cos ( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B
cos ( A + B ) cos ( A − B ) = cos 2 B − sin 2 A
tan A + tan B
tan ( A + B ) =
1 − tan A tan B
cot Bcot A − 1
cot ( A+B ) =
cot B + cot A
tan A − tan B
1 + tan A tan B
cot B cot A + 1
cot ( A+B ) =
cot B − cot A
14
tan ( A − B ) =
Mathématiques complémentaires
Preuve de
Automne 2011
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
ON = OM = rayon du cercle = 1
N
α = angle MOP = KNI
β = angle NOK
M
O
R
N
U
Q
J
P
O
OP = cos α
OQ = sin α
⇒
OR = cos (α + β )
15
Mathématiques complémentaires
M
β
α
I
K
R
H
P
OR = OH − RH
OH = OK cos α
IK = RH = KN sin α
OK = ON cos β KN = sin β
OR = OH − RH = cos β cos α − sin β sin α
Automne 2011
5
8. Relations : produits de fonctions
1
1
cos ( A − B ) − cos ( A + B )
2
2
1
1
cos A cos B = cos ( A − B ) + cos ( A + B )
2
2
1
1
sin
i A cos B = sin
i ( A + B ) + siin ( A − B )
2
2
1
1
cos A sin B = sin ( A + B ) − sin ( A − B )
2
2
sin A sin B =
Mathématiques complémentaires
16
Automne 2011
9. Relations : sommes et différences de fonctions
A+ B
A− B
cos
2
2
A+ B
A− B
cos A + cos B = 2 cos
cos
2
2
sin ( A + B )
tan A + tan B =
cos A cos B
sin ( A + B )
cot A + cot B =
sin A sin B
sin A + sin B = 2 sin
17
A+ B
A− B
sin
2
2
A+ B
A− B
cos A − cos B = −2sin
sin
2
2
sin ( A − B )
tan A − tan B =
cos A cos B
sin ( B − A )
cot A − cot B =
sin A sin B
sin A − sin B = 2 cos
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
10. Résolution des triangles
Dans un triangle, il y a 6 éléments : 3 côtés et 3 angles.
Solution possible : connaître 3 de ses éléments dont au moins 1 côté.
Nomenclature :
B
A
b
c
B
18
a
Mathématiques complémentaires
a
c
C
A
b
C
Automne 2011
6
a) Triangles rectangles :
Angle dont la tg est (b/c)
( )
B = tg −1 b
C = 90 o − B
b = a sin B
a
A
B
b
c = a cos B
A
c
c
C = 90o − B
a=c
cos B
Angle dont le cos est (b/a)
C = 90 o − B
a=b
b
B
A
c=b
a
b
B = 90o − C
c = a sin C
si n B
A
t an B
Mathématiques complémentaires
19
( a)
C = cos −1 b
Automne 2011
b) Triangles quelconques :
A
h = c sin B
b
c
h = b sin C
h
B
En généralisant avec
un raisonnement
similaire
C
D a
⇒
c
b
a
=
=
sin C sin B sin A
Autres relations :
c 2 = h 2 + BD 2
⇒ h 2 = c 2 − BD 2
b 2 = h 2 + CD 2
⇒ h 2 = b 2 − CD 2
⇒ c 2 − BD 2 = b 2 − CD 2
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = c 2 + a 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
⇒ b 2 = c 2 − BD 2 + CD 2 = c 2 − 2 BD 2 + ( BD 2 + CD 2 )
⇒ b 2 = c 2 + a 2 − 2 BD ( BD + CD ) = c 2 + a 2 − 2 a BD
⇒ b 2 = c 2 + a 2 − 2ac cos B
20
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
A = 180o − ( B + C )
A
b
c
B
a
b
C
B
a
21
B+C π A
= −
2
2 2
⎛ B+C ⎞
⎛π A⎞
⎛ A⎞
tan ⎜
tan
tan
α
=
=
(
)
⎟
⎜ − ⎟ = cot ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝2 2⎠
⎝2⎠
b−c
⎛ B−C ⎞
⎛ A⎞
tan ⎜
tan
cot
β
=
=
⎟
⎜ ⎟
b+c
⎝ 2 ⎠
⎝2⎠
b sin A
B =α +β
C =α −β
a=
sin B
B+C =π − A ⇒
A
c
a sin B
sin A
a sin C
c=
sin A
b=
C
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
7
a
b
=
sin A sin B
C = 180o − A − B
A
b
c
C
B
a
c
=
sin A sin C
a
b2 + c2 − a 2
2bc
a 2 + c2 − b2
cos B =
2ac
a 2 + b2 − c 2
cos C =
2ab
A + B + C = 180o Vérification
cos A =
A
b
c
C
B
a
Mathématiques complémentaires
22
Automne 2011
Exemple d’application
Trouver la longueur de la médiane m = AM du triangle ABC
A
b
c
1. Prolongeons la médiane en D avec MD = m
m
M
B
C
a
2. Angle ABD :
angle ABD = B + C = 180o − A
3. Calcul de m dans le triangle ABD :
Parallélogramme
D
AD 2 = 4m2 = b 2 + c 2 − 2bc cos ( B + C )
= b 2 + c 2 − 2bc cos (180o − A )
= b 2 + c 2 + 2bc cos ( A )
4. En fonction des côtés du triangle original :
4 m 2 = b 2 + c 2 + 2bc cos A
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
1
⇒ m=
2b 2 + 2 c 2 − a 2
2
23
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
Trigonométrie à partir d’un cercle
Les fonctions trigonométriques peuvent se définir également à partir d’un cercle de rayon à 1
(cercle unitaire);
y Elles permettent d’expliquer les processus répétitifs tels que
les ondes, la pression, le courant alternatif, etc…
Longueur de l’arc = 2
Longueur de l’arc = 1
Longueur de l’arc = 1/2
r=1
2 rad
-1/2 rad
r=1
1 rad
Longueur d’arc = s = rθ
24
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
8
Trigonométrie à partir d’un cercle
(0,1)
P
(cos(t), sin(t) )
y
θ=t
x
(1,0)
25
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
Trigonométrie à partir d’un cercle
26
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
Problèmes suggérés
y Feuille distribuée en classe
y Problèmes 3,6,9,13,14,19,22,24,25,30,33
27
Mathématiques complémentaires
Automne 2011
9
GIN 102 Mathématiques complémentaires Automne 2011 Problèmes du chapitre 1 Lignes ou fonctions trigonométriques des angles 1. ABC est un triangle rectangle en C; si a=3, b=4, trouver c, sin A et cot B. 2. Le bas d’une échelle d’une longueur de 5 mètres est placé à une distance de 2 mètres du mur d’une maison. L’autre extrémité atteint le bord d’une fenêtre. Trouver la hauteur de la fenêtre, ainsi que le sinus et la tangente de l’angle que l’échelle fait avec le mur. 3. ABC est un triangle rectangle en A. D’un point D situé sur le prolongement de CA on abaisse une perpendiculaire BD sur BC. Si AB=12, AC = 16 et BC = 20, trouver BD et CD. Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques Démontrer 4. cos4 A –sin4 A = cos2 A – sin2 A 6. cot 4 A ‐1 = cosec4 A – 2 cosec2 A 5. cos A √ (sec2A‐1) = sin A Relations entre les fonctions trigonométriques de 2 angles supplémentaires Trouver une valeur de l’angle A dans les équations suivantes : 7. sin A = cos 4 A 8. cot A = tan A 9. cos 3A = sin 7A 10. sec 5A = cosec A Prouver les identités suivantes : 11. sin(π/2 – A) cot(π/2‐A) = sin A 12. sin A cos (π/2‐A) + cos A sin(π/2‐A) = 1 13. tan2 A sec2(π/2 –A) – sin2 A cosec(π/2‐A) = 1 Valeurs remarquables 14. Trouver le périmètre et l’aire d’un pentadécagone (15 côtés) régulier circonscrit à un cercle dont le diamètre est de 3. 15. Un pentagone régulier circonscrit à un cercle a une aire de 50. Trouver l’aire du dodécagone (12 côtés) régulier inscrit dans ce cercle. 16. Trouver l’aire du secteur d’un cercle Relations trigonométriques Exprimer sous forme d’une somme ou d’une différence : 17. 2sin(3θ) cos(θ) 18. 2sin(3θ) sin(θ+β) 19. sos(θ/2) sin(3θ/2) Exprimer sous forme de produits : 21. sin(8θ) + sin(4θ) 20. 2sin(2θ +β) cos(θ‐2β) 22. cos(9θ) – cos(11θ) Prouver les identités suivantes : 23. cos(3A + sin 2A – sin 4A = cos 3A ( 1‐2 sinA) 24. sin 3A – sin A – sin 5A = sin 3A (1‐2cos 2A) 25. sin25A – sin23A = sin 8A sin2A 26. Transformer l’expression suivante sous la forme d’un produit de trois sinus sin ( β+γ ‐ α) + sin (γ+α‐β) + sin(α+α‐γ) – sin(α+β+γ) Résolution des triangles Résoudre les triangles suivants : 27. a =24, b=18, c=15 28. a=27, c=21, A=59°11’ 29. c=79, A=46°15’, B=28°37’ 30. b=48, c=84, A=67°20’ 31. Du sommet d’une falaise à 200 m au‐dessus du niveau de la mer, les angles de dépression de deux bateaux situés dans le même plan que l’observateur, sont 45° et 30°; trouver la distance qui sépare les deux navires. 32. Du sommet d’une tour d’une hauteur h, les angles de dépression de deux objets situés dans le même plan horizontale sur une droite passant par le pied de la tour sont 45°‐A et 45°+A. Démontrer que la distance entre les deux objets est 2h tan2A. 33. Une tour se trouve dans un plan horizontal. A une distance de 48 m de la tour se trouve un monticule de 14 mètre au‐dessus du plan. De ce sommet, un observateur aperçoit une ouverture dans la tour et il trouve que l’angle entre l’ouverture et la partie supérieure et inférieure de la tour sous‐
tendent des angles égaux. Si la hauteur de l’ouverture est de 30 m; trouver la hauteur de la tour. 34. Trois points ABC en ligne droite sont situés dans une plaine. Un poteau vertical planté au point C a une élévation de 5°0’ vu du point A et de 10°45’ de B. Si AB = 100 mètre, trouver la hauteur du poteau et la distance entre BC. 35. L’angle enter deux voies ferrées est de 20°16’. Au même instant deux locomotives partent du point d’intersection ; l’une sur une voie fait 20 km/h. Quelle doit être la vitesse de la deuxième sur l’autre voie pour que la distance qui les séparera après 3 heures soit 30 km.