Chapitre 1 : trigonométrie Objectifs du chapitre

1
Mélanie Trudel Ph D
Chapitre 1 : trigonométrie
Mélanie Trudel
,
Ph
.
D
.
Automne 2011
Mathématiques complémentaires
1
Table des matièresTable des matières
1. Définitions
2. Lignes ou fonctions trigonométriques des angles
3. Relations entre les fonctions trigonométriques de 2 angles supplémentaires
4. Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques
5. Valeurs remarquables
6. Angles supplémentaires et complémentaires
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2
7. Relations : sommes et différences d’angles
8. Relations : produits de fonctions
9. Relations : sommes et différences de fonctions
10. Résolution des triangles
a) Triangles rectangles
b) Triangles quelconques
11. Exemple d’application
12. Trigonométrique à partir d’un cercle
Objectifs du chapitre
yConnaître et comprendre les fonctions trigonométriques;
yConnaître et comprendre l’utilisation de ces fonctions;
yReprésenter des phénomènes simples à l’aide de ces
fonctions.
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1. Définition
Trigonométrie : science du triangle ou aussi la science de l’angle basée sur le triangle.
Triangle rectangle :
B
Hypothénuse
a
c
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4
A
Angles : même nomenclature que
les sommets (lettres majuscules)
Cb
Côtés : même lettre que l’angle
opposé (lettres minuscules)
2. Lignes ou fonctions trigonométriques des angles
A
B
Cb
c
a
sin AB c C
B
Ca
==
cos AC b C
B
Ca
==
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sin 1
tan tan cot
cet os tan
C
CCC
C
AB
AC bC
c
==⇒ ==
cosec sin
sec c
1
1
os
CC
a
C
c
a
b
C
==
==
3. Relations entre les fonctions trigonométriques
de 2 angles supplémentaires
A
B
Cb
c
a
Angles supplémentaires 2 BC
π
⇒+=rad
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sin sin cos 2
cos cos si
cos
sin
co
n2
tan tan cot 2 t
c
a
b
a
CCC
CCC
B
CCC
c
b
B
B
π
π
π
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−
==⇒ =
== ⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝
⇒=
=⇒ =
⎠
=

3
4. Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques
Dans un triangle rectangle :
222 22
2
22
2
2
si
1cos
ncosabc aa Ca
sin C
C
C
=+ ⇒ =
=+
+
() ()
22
sin cos 1CC+=
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7
()
() ()
() () ()
2
22
22
2
cos 1
1sin s
1
1cot cosec
in
sin
CC
C
CC
C
⇒+ =
⇒+= =
() () ()
22
2
1
1tan sSimilair ec
c
ent os me CC
C
+= =
5. Valeurs remarquables
Utilisation de la géométrie et des polygones réguliers pour déterminer les relations entre
les angles et les côtés.
Centre d’un polygone régulier : le centre commun des cercles inscrits et
circonscrits à ce polygone.
Rayon du polygone régulier : rayon du cercle circonscrit.
Apothème
::
rayon du cercle inscrit
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Apothème
::
rayon
du
cercle
inscrit
.
L’angle au centre d’un polygone régulier : angle sous lequel est vu du centre un côté
de ce polygone.
51
Corde AB, 10 2 5
2
n
cc R== +
A
B
Pentagone inscrit (n = 5)
C
Cercle circonscrit
Cercle inscrit
Exemple :
R
O
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9
360 360 2
angle AOB 72
55
o
n
π
====
()
51
apothème 5 1
4
n
aa R== +
OB : rayon du cercle circonscrit
OC : apothème ou rayon du cercle inscrit
AB : corde ou côté du pentagone

4
Polyèdres réguliers :
Polyèdre
régulier
Angle
au centre
Corde ou côté
c
Apothème
a
Triangle
équilatéral 120o
Carré 90o
Pentagone 72o
3cR=
2cR=
(
)
110 2 5cR=−
1
2
aR=
12
2
aR=
(
)
151
4
aR=+
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10
Hexagone 60o
Octogone 45o
Décagone 36o
(
)
2
cR=
()
22cR=−
()
151
2
cR=−
(
)
4
13
2
aR=
(
)
122
2
aR=+
()
110 2 5
4
aR=+
Angle C Sin C Cos C Tg C Cotg C
0o010
30o1
2
∞
3
23 33
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11
45o11
60o
90o10 0
1
2
3
2
2
2
2
2
3
3
3
∞
6. Angles supplémentaires et complémentaires
()()()()
()()()()
sin 2 sin
ta
cos 2 cos
cot 2ntan o2t c
kk
kk
α
πα
απ
απ α
απ α
α
+=
++==
+=
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() () () ()
() () () ()
sin sin
t
cos cos
cot cotan tan
αα
α
αα
α
αα
−=
−
−
−=−
=−
−=

5
… suite
sin cos
2
cos sin
2
ππαα αα
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠
(
)
(
)
() ()
() ()
() ()
sin sin
tan tan
sin sin
tan t
cos cos
cot cot
cos co
a
s
cot cotn
π
αα
π
αα
π
αα
π
πα α
πα α
πα α
πα α αα
−=
−
−=−
−=−
+=−
+=
=−
+=−
+=
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2
tan cot
2
si
2
cot tan
2
ncos
2
tan c
cos sin
2
cot tan
2
ot
2
παα
παα
παα
παα
π
α
α
π
α
α
⎝⎠
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
+=
⎜
⎝⎠
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
+=−
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
+=−
⎜⎟
⎝
⎟
⎝⎠
⎛⎞
+=−
⎟
⎝⎠ ⎠
⎜
7. Relations : sommes et différences d’angles
() ()()
() ()()
() ()()
() ()()
22
22
22
22
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
sin sin sin sin
sin sin cos cos
cos cos cos sin
cos cos cos nsi
AB AB A B
AB AB B
AB A B A B
AB A B A B
AB A B A B
AB A B
A
AB AB A B
AB AB AB B A
+= +
−= −
+= −
+−=−
+−=−
+−=−
+−+−−= =
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()
t
tan AB+=
()
() ()
an tan
1tantan
cot Bcot A 1
cot A+B co
tan tan
tan 1tantan
cot Bcot A 1
cot A+B cot B cotB cot A tA
AAB B
AB ABAB
−
−=
+
+
=+−
+
−
−=
Preuve de
()
cos cos cos sin sin
α
βαβαβ += −
ON = OM = rayon du cercle = 1
angle
angle
M
OP KN
OK
I
N
β
α
==
=
O
M
α
N
β
O
N
R
M
P
IK
U
Q
J
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P
()
cos
sin
cosOR
OP
OQ
α
αβ
α
=
=
=+
⇒
R
cos
sin
cos sin
cos cos sin sin
OR OH RH
OH OK
IK RH KN
OK ON KN
OR OH RH
β
α
α
α
β
ββ
α
=−
=
==
==
=−= −
H