MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016

MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016
Travaux pratiques #9, 1 avril
Exercice 1 (ex. 8, p. 344). Rappelez la définition de la torsion Tor(M ) d’un A-module M .
Les membres de M sont appelés éléments de torsion de M .
(a) Montrez que si A est un anneau intègre, alors Tor(M ) est un sous-module de M ,
appelé le sous-module de torsion de M . De plus, le module quotient M/ Tor(M ) n’a
pas d’éléments non-nuls de torsion.
(b) Donnez un exemple d’un anneau A et d’un A-module M pour lesquels l’ensemble
Tor(M ) n’est pas un sous-module de M . [Indice : Considérez Tor(A), c’est-à-dire, le
sous-module de torsion de l’A-module A.]
(c) Si A a des diviseurs de zéro et M est un A-module non-nul, alors montrez que Tor(M ) 6=
{0}.
(d) (ex. 4, p. 356) M est appelé un module de torsion si Tor(M ) = M . Montrez que
chaque groupe abélien fini est un Z-module de torsion. Donnez aussi un exemple d’un
Z-module de torsion qui est infini.
Exercice 2. Soit M un A-module. Si S ⊂ M , alors rappelez la définition de l’annulateur de
S dans M , défini par
Ann(S) = {a ∈ A : as = 0 pour tout s ∈ S}.
Si on veut souligner l’anneau A, on écrit AnnA (S).
(a) (Ex. 9, p. 344) Montrez que si N est un sous-module de M , alors son annulateur
Ann(N ) est un idéal de A. De plus, montrez que l’action a · n := a · n rend N un
(A/ Ann(N ))-module dont l’annulateur est nul.
Rémarque. Un A-module M dont l’annulateur Ann(M ) est nul est appelé fidèle.
(b) (Ex. 10, p. 344) Soit I un idéal de A. Montrez que l’ensemble {m ∈ M : im =
0 pour tout i ∈ I}, appelé l’annulateur de I dans M , est un sous-module de M .
(c) (ex. 11, p. 344) Supposons que M = Z/24Z × Z/15Z × Z/50Z et que A = Z.
(i) Calculez l’idéal Ann(M ).
(ii) Soit I = 2Z. Décrivez l’annulateur de I dans M comme un produit direct de
groupes cycliques.
Exercice 3. Soit A un anneau unitaire.
(a) (ex. 9, p. 356) Un A-module M est appelé irréductible si M n’est pas nul est ses seules
sous-modules sont (0) et M . Montrez que M est irréductible si et seulement si M 6= {0}
et M = Am pour chaque m ∈ M \ {0}. Déterminez tous les Z-modules irréductibles.
(b) (ex. 10, p. 356) Soit M un A-module. Si A est commutatif, montrez que M est irréductible si et seulement si M ∼
= A/I comme A-modules, où I est un idéal maximal
de A. [Indice : Pour chaque m ∈ M \ {0}, l’application A 3 a → am ∈ M est un
isomorphisme de A-modules.]
(c) (ex. 11, p. 356) Soit M et N deux A-modules irréductibles. Montrez que chaque application linéaire non-zéro de M à N est un isomorphisme de A-modules. Déduisez que
End(M ) est un corps gauche. [Indice : Considérez le noyau et l’image de l’application
linéaire.]
1