MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016

MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016
Travaux pratiques #9, 1 avril
Exercice 1 (ex. 8, p. 344).Rappelez la définition de la torsion Tor(M)d’un A-module M.
Les membres de Msont appelés éléments de torsion de M.
(a) Montrez que si Aest un anneau intègre, alors Tor(M)est un sous-module de M,
appelé le sous-module de torsion de M. De plus, le module quotient M/ Tor(M)n’a
pas d’éléments non-nuls de torsion.
(b) Donnez un exemple d’un anneau Aet d’un A-module Mpour lesquels l’ensemble
Tor(M)n’est pas un sous-module de M. [Indice : Considérez Tor(A), c’est-à-dire, le
sous-module de torsion de l’A-module A.]
(c) Si Aa des diviseurs de zéro et Mest un A-module non-nul, alors montrez que Tor(M)6=
{0}.
(d) (ex. 4, p. 356) Mest appelé un module de torsion si Tor(M) = M. Montrez que
chaque groupe abélien fini est un Z-module de torsion. Donnez aussi un exemple d’un
Z-module de torsion qui est infini.
Exercice 2. Soit Mun A-module. Si S⊂M, alors rappelez la définition de l’annulateur de
Sdans M, défini par
Ann(S) = {a∈A:as = 0 pour tout s∈S}.
Si on veut souligner l’anneau A, on écrit AnnA(S).
(a) (Ex. 9, p. 344) Montrez que si Nest un sous-module de M, alors son annulateur
Ann(N)est un idéal de A. De plus, montrez que l’action a·n:= a·nrend Nun
(A/ Ann(N))-module dont l’annulateur est nul.
Rémarque. Un A-module Mdont l’annulateur Ann(M)est nul est appelé fidèle.
(b) (Ex. 10, p. 344) Soit Iun idéal de A. Montrez que l’ensemble {m∈M:im =
0pour tout i∈I}, appelé l’annulateur de Idans M, est un sous-module de M.
(c) (ex. 11, p. 344) Supposons que M=Z/24Z×Z/15Z×Z/50Zet que A=Z.
(i) Calculez l’idéal Ann(M).
(ii) Soit I= 2Z. Décrivez l’annulateur de Idans Mcomme un produit direct de
groupes cycliques.
Exercice 3. Soit Aun anneau unitaire.
(a) (ex. 9, p. 356) Un A-module Mest appelé irréductible si Mn’est pas nul est ses seules
sous-modules sont (0) et M. Montrez que Mest irréductible si et seulement si M6={0}
et M=Am pour chaque m∈M\ {0}. Déterminez tous les Z-modules irréductibles.
(b) (ex. 10, p. 356) Soit Mun A-module. Si Aest commutatif, montrez que Mest irré-
ductible si et seulement si M∼
=A/I comme A-modules, où Iest un idéal maximal
de A. [Indice : Pour chaque m∈M\ {0}, l’application A3a→am ∈Mest un
isomorphisme de A-modules.]
(c) (ex. 11, p. 356) Soit Met Ndeux A-modules irréductibles. Montrez que chaque appli-
cation linéaire non-zéro de MàNest un isomorphisme de A-modules. Déduisez que
End(M)est un corps gauche. [Indice : Considérez le noyau et l’image de l’application
linéaire.]
1