Algèbre Linéaire

Algèbre Linéaire
18 décembre 2013
Table des matières
1 Généralités 2
1.1 Espacesvectoriels............................ 2
1.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Familles libres, génératrices, bases et dimension d’un espace vectoriel 5
1.4 Matrices................................. 8
2 Réduction des endomorphismes et des matrices 10
2.1 Stabilité et polynômes d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Elémentspropres ............................ 12
2.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Réduction en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Exercices et corrigés 16
3.1 Exercices................................. 16
3.2 Indications................................ 21
3.3 Corrigés ................................. 24
1

1 Généralités
Il s’agit d’un rappel de certaines notions d’algèbre linéaire, non pas d’un cours
complet sur le sujet.
1.1 Espaces vectoriels
On rappelle ici brièvement les premières définitions.
Le corps Ksera Rou Cen général.
Définition 1. On appelle espace vectoriel sur le corps Ktout triplet (E, +, .)où :
–(E, +) est un groupe abélien (= commutatif).
–.est une loi de composition externe à gauche, i.e une application
K×E→E
(λ, x)7→ λ.x
vérifiant :
1. ∀x∈E, 1Kx=x
2. ∀λ∈K,∀(x, y)∈E2, λ(x+y) = λx +λy
3. ∀(λ, µ)∈K2,(λ+µ)x=λx +µx
4. ∀(λ, µ)∈K2,(λµ)x=λ(µx)
Définition 2. Soit (E, +, .)un K-espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel
de Etoute partie Fde Estable pour +et .et qui, munie des lois induites, est un
K-espace vectoriel.
Pour démontrer qu’un espace est un sous-espace vectoriel, on utilise en général
la caractérisation suivante :
Proposition 1. Soit F⊂E
Fest un sous-espace vectoriel de E⇐⇒ (F6=∅
∀(x, y)∈F2,∀(λ, µ)∈K2, λx +µy ∈F
Définition 3. Soit Xune partie de E. On appelle sous-espace vectoriel de E
engendré par X(on le note Vect(X)) le plus petit espace vectoriel contenant X.
On pourra vérifier la maîtrise de cette définition en résolvant l’exercice 1 par
exemple.
2

Définition 4. Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels d’un même espace vec-
toriel E. On appelle somme de Fet Get on note F+G
F+G={x+y, (x, y)∈F×G}
L’application somme
F×G→F+G
(a, b)7→ a+b
est surjective par définition. Lorsqu’elle est injective, on dit que F+Gest directe
ou que Fet Gsont en somme directe. Dans ce cas, on note F+G=F⊕G.
On dit que Fet Gsont supplémentaires si
F+G=F⊕G=E
Proposition 2.
F+G=F⊕G⇐⇒ F\G={0}
F⊕G=E⇐⇒ 
E=F+G
F\G={0}
Pour se familiariser avec ces différentes notions, les exercices 2 et 3 sont vive-
ment conseillés.
Remarque. (a) Il n’y a pas (en général) unicité du supplémentaire :
R2= Vect {(1,0)} ⊕ Vect {(0,1)}= Vect {(1,0)} ⊕ Vect {(1,1)}
(b) Ne pas confondre supplémentaire et complémentaire :
R2= Vect {(1,0)} ⊕ Vect {(0,1)}mais (1,1) /∈Vect {(1,0)}[Vect {(0,1)}
3

1.2 Applications linéaires
Définition 5. On appelle application K-linéaire de Evers Ftoute application
f:E→Fvérifiant :
∀(x, y)∈E2,∀(λ, µ)∈K2, f(λx +µy) = λf(x) + µf(y)
On note LK(E, F )l’ensemble de ces applications. Si E=F, on le note LK(E)et
ces applications sont appelées endormorphismes.
Lorqu’il n’y a pas de confusion possible, on omet souvent le corps de base pour
alléger la notation.
Exemples :
(a) IdE∈ LK(E)
(b) f:R→Rappartient à LK(R)
x7→ ax
(c) f:C→Cappartient à LR(C)mais n’appartient pas à LC(C)
z7→ z
(d) E=C∞(R)
D:E→Eappartient à LR(E)
f7→ f0
Définition 6. Si f∈ L(E, F ), l’image de f, notée f(E)ou Imf, est un sous-espace
vectoriel de F.
Il en est de même pour le noyau de f, noté kerf et défini par
kerf ={x∈E|f(x) = 0}
Proposition 3.
fest surjective ⇐⇒ Imf=F
fest injective ⇐⇒ kerf ={0}
Définition 7. On note GL(E)l’ensemble des isomorphismes (endomorphismes
bijectifs) de E. Cet ensemble forme alors un groupe pour la loi de composition.
Définition 8. On appelle forme linéaire sur Eun K-espace vectoriel toute ap-
plication linéaire de Edans K. On note E∗=LK(E, K)l’ensemble de ces formes
linéaires, autrement appelé l’espace dual de E.
Définition 9. On appelle hyperplan de Etout noyau d’une forme linéaire non
identiquement nulle sur E.
Remarque. On verra après avec la notion de dimension que cette définition d’hy-
perplan rejoint bien en dimension finie celle d’un espace de dimension n−1.
4

1.3 Familles libres, génératrices, bases et dimension d’un
espace vectoriel
Définition 10. Soit (vi)i∈Iune famille de vecteurs de E.
1. La somme Pλivi, où {λi6= 0}est fini, est appelée combinaison linéaire
(C.L) des {vi}.
2. On dit que les vecteurs v1, . . . , vksont linéairement indépendants ou
encore qu’ils forment une famille libre si , pour tous λ1, . . . , λkdans K, on
a l’implication
λ1v1+. . . +λkvk= 0 ⇒λ1=λ2=. . . =λk= 0.
3. On dit au contraire que les vecteurs v1, . . . , vksont linéairement dépen-
dants ou encore qu’ils forment une famille liée s’il existe λ1, . . . , λkdans
Ktels que :
λ1v1+. . . +λkvk= 0 et (λ1, . . . , λk)6= (0,...,0).
4. Les vecteurs v1, . . . , vkengendrent E, ou encore forme une famille gé-
nératrice de Esi pour tout v∈E, il existe x1, . . . , xkdans Ktels que
v=x1v1+. . . +xkvk. Autrement dit Vect(v1, . . . , vk) = E.
5. Une famille libre et génératrice est appelé une base de E.
Exemples :
(a) Toute famille formée d’un unique vecteur non nul est libre.
(b) Toute famille dont l’un des vecteur est nul est liée.
(c) (1, i)est libre dans le R-espace vectoriel C, mais liée dans le C-espace vectoriel
C.
(d) Dans Kn, posons ej= (0,...,0,1,0,...,0) avec le 1en j-ème position. Alors
les {ej}j=1...n forment une base, appelée la base canonique de Kn.
(e) (1, X, . . . , Xn)est la base canonique de Kn[X].
Remarque. On a défini ces notions dans le cadre de famille finie, mais on peut aussi
le faire pour des familles infinies. Une famille est dite libre si toute sous-famille
finie l’est. Elle est génératrice lorsque tout élement peut s’exprimer comme une
combinaison linéaire finie de ses élements. On peut par exemple se convaincre que
(Xk)k>0est une base (infinie) de K[X].
Théorème 1. S’il existe une base de Ede cardinal n < ∞, toutes les bases de E
ont ce même cardinal n, qu’on appelle alors la dimension de E. Dans ce cas, E
est un espace de dimension finie.
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