1. f (x) - maths peyramale

1S INTERROGATION no3correction
Exercice 1 (7 pts)
1. f(x) = x4−1
5x3+ 3x2−5 2x+ 1
f′(x) = 4x3−3
5x2+ 6x−5 2
2. f(x) = 4x2−6
x+ 4√x
f′(x) = 8x−6×−1
x2+ 4 ×1
2√x= 8x+6
x2+2
√x
3. f(x) = (3x−8)(x2−7x+ 1) (forme uv)
f′(x) = 3(x2−7x+ 1) + (3x−8)(2x−7) = 3x2−21x+ 3 + 6x2−21x−16x+ 56 = 9x2−58x+ 59
4. f(x) = 1
2x2−1(forme 1/u)
f′(x) = −4x
(2x2−1)2
5. f(x) = 2x−3
x2+ 1 (forme u/v)
f′(x) = 2(x2+ 1) −2x(2x−3)
(x2+ 1)2=2x2+ 2 −4x2+ 6x (x2+ 1)2=−2x2+ 6x+ 2 (x2+ 1)2
Exercice 2 (2 pts)
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = x3+ 2x2+ 3x+ 1 et (C) sa courbe représentative.
En quels points, la courbe (C) admet-elle des tangentes parallèles à la droite d’équation : y= 3x−5 ?
On a f′(x) = 3x2+ 4x+ 3
On résout l’équation : f′(x) = 3
soit 3x2+ 4x+ 3 = 3
3x2+ 4x= 0
x(3x+ 4) = 0
x= 0 ou x=−4/3
f(0) = 1 et f(−4/3) = −49/27
La courbe (C) admet des tangentes parallèles à la droite d’équation : y= 3x−5 aux deux points de coordonnées (0 ; 1) et
(−4/3 ; −49/27).
Exercice 3 (5 pts)
On considère la fonction fdéfinie sur ] −∞ ; 1[∪]1 ; +∞[ par f(x) = x2−3x+ 6
x−1.
1. f′(x) = (2x−3)(x−1) −(x2−3x+ 6
(x−1)2=2x2−2x−3x+ 3 −x2+ 3x−6 (x−1)2=x2−2x−3 (x−1)2.
2. On a f(2) = 4 et f′(2) = −3
Equation de la tangente : y=f′(2)(x−2) + f(2) = −3(x−2) + 4 = −3x+ 10

3. La dérivée est un quotient. Le dénominateur est un carré donc positif et le numérateur est un polynome du second
degré.
Pour x2−2x−3 = 0 ∆= 16 x1=2−4
2=−1 et x2=2 + 4 2= 3.
x
x2−2x−3
(x−1)2
f′(x)
−∞ −1 1 3 +∞
+0−−0+
++0++
+0−−0+
Exercice 4 (4 pts)
Une entreprise souhaite fabriquer pour de jeunes enfants des toboggans dont le profil a l’allure de la courbe ci-dessous.
L’objet de l’exercice est de modéliser ce profil à l’aide de la courbe représentative Cd’une fonction définie sur l’intervalle
[0; 3] vérifiant les conditions suivantes :
(1) La courbe Cpasse par les points A(0 ; 2) et B(3; 0)
(2) La courbe Cadmet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l’axe des abscisses
0123
1
2
Le bureau d’études pense que l’on peut modéliser le profil du toboggan à l’aide d’une fonction polynôme de degré 3 :
f(x) = ax3+bx2+cx +davec a,b,cet d4 réels.
1. On a f(0) = 2 donc en remplaçant xpar 0 on obtient : d= 2.
Au point A la tangente est horizontale donc f′(0) = 0.
Or f′(x) = 3ax2+ 2bx +cdonc f′(0) = 0 donne c= 0.
2. On sait maintenant que f(x) = ax3+bx2+ 2.
Comme f(3) = 0 on obtient : 27a+ 9b+ 2 = 0.
Comme f′(3) = 0 (tangente horizontale) on obtient : 27a+ 6b= 0.
Le système à résoudre est :
(27a+ 9b=−2
27a+ 6b= 0
En soustrayant membre à membre, on obtient : 3b=−2 soit b=−2
3.
En remplaçant dans la deuxième équation, 27a+ 6 ×−2
3= 0
27a= 4 soit a=4
27.
En résumé, f(x) = 4
27x3−2 3x2+ 2.

3. f(1) = 40
27 et f′(1) = 3 ×4 27 + 2 ×−2 3=−8 9.
Le point a pour coordonnées (1 ; 40/27) et le coefficient directeur de la tangente en ce point est -8/9.
Exercice 5 (2 pts)
Soit fune fonction définie sur Rpar f(x) = 0,5x2+ 2x.
On se propose de répondre à la question suivante : existe t-il des droites passant par le point A(0 ; -2) et tangentes à la
courbe de f? (attention le point A n’appartient pas à la courbe de f)
1. f′(x) = x+ 2
f(a) = 0,5a2+ 2a f ′(a) = a+ 2
Equation de la tangente au point d’abscisse a:
y=f′(a)(x−a) + f(a) = (a+ 2)(x−a) + 0,5a2+ 2a=ax −a2+ 2x−2a+ 0,5a2+ 2a= (2 + a)x−0,5a2
2. Le point A(0 ; -2) doit appartenir à ces tangentes donc :
−2 = (2 + a)×0−0,5a2
0,5a2= 2
a2= 2 ÷0,5 = 4
a=−2 ou 2
Il existe deux tangentes à la courbe de fpassant par le point A.