Révisions sur le calcul littéral

Connaissances de base de l’école secondaire
Révisions sur le calcul littéral
Rappelons des règles élémentaires très importantes.
①
lien entre l’opposé et la multiplication par −1
−a = (−1) · a
distribution de la multiplication sur l’addition (en lisant de gauche à droite)
②
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c
mise en évidence d’un facteur (en lisant de droite à gauche)
③
multiplication de monômes
axm · bxn = abxm+n
Soustraction de polynômes
Voici un premier exemple d’utilisation de ces règles élémentaires.
①
②
(x2 + 2) − (x − 3) = (x2 + 2) + (−1) · (x − 3) = x2 + 2 − x + 3 = x2 − x + 5
z Exercice 1 : soustraction de polynômes
Développer et réduire les polynômes suivants.
a) (3x2 + x − 1) − (x2 + 2x − 5)
b) (5x2 − 2x − 3) − (3x2 − 3x + 5)
Multiplication de polynômes
Voici un deuxième exemple d’utilisation de ces règles élémentaires.
(3x2 + 2x + 4)(5x3 − 2x2 + x + 3)
on distribue le facteur de gauche sur celui de droite
②
= (3x2 + 2x + 4) · 5x3 + (3x2 + 2x + 4) · (−2x2 ) + (3x2 + 2x + 4) · x + (3x2 + 2x + 4) · 3
on distribue les facteurs de droite sur celui de gauche
②
= 3x2 · 5x3 +
2x · 5x3 +
4 · 5x3
2
2
+ 3x · (−2x ) + 2x · (−2x2 ) + 4 · (−2x2 )
+
3x2 · x +
2x · x + 4 · x
+
3x2 · 3 + 2x · 3 + 4 · 3
on effectue les multiplications des monômes
③
= 15x5 + 10x4 + 20x3
− 6x4 − 4x3 − 8x2
+ 3x3 + 2x2 +
+ 9x2 +
4x
6x + 12
on effectue les additions des monômes
= 15x5 +
4x4 + 19x3 + 3x2 + 10x + 12
Une personne qui connaît bien ce genre de calculs n’effectue que les étapes grisées, elle peut
même zapper l’étape en gris foncé en se concentrant sur les monômes de même degré.
z Exercice 2 : multiplication de polynômes
Développer et réduire les polynômes suivants.
a) (4x3 − 4x2 − x − 1)(4x2 − 2x − 5)
Version 1.001
page 1
b) (3x4 − 4x3 − x2 + 5x + 1)(4x + 4)
O. Dubail & S. Perret
Connaissances de base de l’école secondaire
z Exercice 3 : multiplication rapide de polynômes
Répondre aux questions suivantes en faisant le moins de calcul possible.
1. Quels sont le terme constant et le coefficient dominant de (7x3 − x2 + x + 3)(5x2 − x − 2) ?
2. Quels sont les coefficients de x et de x3 de (4x3 + 2x2 − 3x + 5)(3x2 − 2x − 1) ?
Les identités remarquables
Rappelons les identités remarquables qu’il faut en général d’abord remarquer.
④
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
⑤
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
⑥
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
⑦
a3 − b3 = (a2 + ab + b2 )(a − b)
En remplaçant b par −b on obtient des relations équivalentes.
④
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
⑤
a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 = (a − b)3
⑥
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
⑦
a3 + b3 = (a2 − ab + b2 )(a + b)
Ces formules montrent qu’on peut factoriser a2 − b2 , a3 − b3 et a3 + b3 .
Néanmoins, Les expressions a2 + b2 , a2 + ab + b2 et a2 − ab + b2 ne se factorisent pas.
Premier exemple d’utilisation des identités remarquables pour factoriser
On commence par voir une puissance de x qui peut être mise en évidence.
②
④
⑥
16x9 − 72x7 + 81x5 = x5 (16x4 − 72x2 + 81) = x5 (4x2 − 9)2 = x5 (2x − 3)2 (2x + 3)2
z Exercice 4 : factoriser le plus possible
a) 16x13 − 8x11 + x9
b) 81x7 − 18x5 + x3
c) 8x10 + 36x9 + 54x8 + 27x7
Deuxième exemple d’utilisation des identités remarquables pour factoriser
On commence par voir un polynôme qui peut être mis en évidence.
②
(25x2 − 4) (5x − 2) − (5x − 2) (20x − 8) = (5x − 2) (25x2 − 4) − (20x − 8)
2
④
= (5x − 2)3 .
= (5x − 2) 25x2 − 20x + 4 = (5x − 2) 5x − 2
z Exercice 5 : factoriser le plus possible
a) (3x − 4)(9x2 + 6) − (3x − 4)(24x − 10)
b) (4x + 4)2 (4x − 5) − (4x − 5)(32x + 41)
Troisième exemple d’utilisation des identités remarquables pour factoriser
Lorsqu’on a un nombre pair de monômes, on peut parfois factoriser par groupement.
64x3 − 16x2 − 100x + 25 = 64x3 − 16x2 −100x + 25 = 16x2 (4x − 1) −25(4x − 1)
②
=
⑥
16x2 − 25)(4x − 1) = (4x + 5)(4x − 5)(4x − 1).
z Exercice 6 : factoriser le plus possible
a) 4x3 + 5x2 − 36x − 45
Version 1.001
b) 50x3 − 25x2 − 32x + 16
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O. Dubail & S. Perret
Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Exercices - Série 1
z Exercice 1
Développer et réduire.
a) 3x2 − (5x − 3) + 4x2 − 5x
b) 5 − (4x − (2 − 5x) + 3)
c) 20 + a − b − (b − a + 13)
d) a − b − (a − (b + 2c) + (c − b))
e) 13 − (a − b + 13) − (b − a + 20)
f) a − (x + b − (x + a − 2b))
z Exercice 2
Développer et réduire.
a) (x + 9) (x + 3)
b) (9 − x) (x − 5)
c) (2x − 8) (7 − 2x)
d) (3 − x) (2 − 5x)
e) (1 − 3x) (3x + 1)
f) (12x − 4) (10x + 3)
z Exercice 3
Développer.
a) 2x3 −x2 + 4
d) −x2 3x2 + 3y 2
b) −2x (2x + xy + yz)
e) 4x2 y 3 3x3 + 3
c) 3x3 x3 + 2x2 y
f) x2 −xy 2 + 3
z Exercice 4
Répondre aux questions suivantes en faisant le moins de calcul possible.
1. Quels sont le terme constant et le coefficient dominant de (3x3 − 5x2 − 4x+ 3)(3x2 + x− 5) ?
2. Quels sont les coefficients de x3 et de x4 de (2x3 − 2x2 − x + 5)(5x2 − x + 5) ?
z Exercice 5
Factoriser si c’est possible.
a) 9x2 + 36 + 36x
b) 16x2 − 8xy + y 2
c) 4a2 − 81
d) 144a2 + 25y 2
e) 144a2 − 25y 2
f) x3 − 8
z Exercice 6
Factoriser le plus possible.
a) 4x (y + z) − 5y (y + z)
b) (x + 1) (x − 1) − 3 (x − 1) (x − 2)
c) (x + 2) (3x − 1) − x2 + 4
d) 4x (3x − 2y + z) − (3x − 2y + z)
e) 4x (y + z) − 2 (y + z) + z (y + z)
f) 5 (x − 2) − 2 (x − 2)
z Exercice 7
Factoriser par groupement.
a) xy + xz + 2y + 2z
b) 3x2 + 2xy + 6x + 4y
c) x2 + xy + 2x + 2y
d) 4xz − 4xy + 3z 2 − 3zy
e) 12xy − 16x + 27y − 36
f) xy + xz − 3y − 3z
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O. Dubail & S. Perret
Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Exercices - Série 2
z Exercice 1
Développer et réduire.
a) 2x2 + 4 − (6 + 3x − (2 − 4x))
b) a2 + b − (2b + c) + (a − (b + c))
c) 7 − (a + b − 12) + 4 − 2b
d) b − b2 + (5 − (3 − 3b))
f) 12 x2 + 2x − 3x2 + 13
e) −3 (2x − y) + 5 (y − x)
z Exercice 2
Développer et réduire.
a) (x − 6) (x + 1)
b) (1 − x) (x + 7)
d) (2 − x) (3 + x)
e) (7 − 2x) (3 − 12x)
c) (2x − 7) (x − 6)
f) 12 x + 2 (7 − 4x)
z Exercice 3
Développer.
a) −2x3 −2x2 y 2 + 1
d) 3x2 y x2 + 1
b) −x2 3x2 − y
e) x2 5xy 2 + 3
c) 5x3 (3x + 3y)
f)
1 3
2x
2xy 2 − 2y
z Exercice 4
Répondre aux questions suivantes en faisant le moins de calcul possible.
1. Quels sont le terme constant et le coefficient dominant de (3x4 − 4x3 + x2 − 2x− 2)(2x+ 4) ?
2. Quels sont les coefficients de x et de x2 de (−2x3 + 3x2 − 3x − 4)(2x2 + 3x + 5) ?
z Exercice 5
Factoriser si c’est possible.
1 2
4
a) (2x − 5y)2
b) x2 + x +
d) 27x3 + 8
e) 64x2 − 36y 2
c) 8x3 − 27
f)
1 2
4x
− 4y 2
z Exercice 6
Factoriser le plus possible.
a) 2x (x − y) + 3y (x − y)
b) (1 − x) 3 + x2 − (1 − x) x2 + 8
c) x2 − 9 + (x − 3) (3 − x)
d) (2x − 5) (2 + y) + 7 (2x − 5) − y (2x − 5)
e)
7
2
(2x − 3) +
4
3
(2x − 3)
f) 2x (x + y − z) − (x + y − z) (1 − x) + x (x + y − z)
z Exercice 7
Factoriser par groupement.
a) yz + 5xz − y 2 − 5xy
b) 8x2 − 4xy − 6x + 3y
c) 15y 2 − 5yz − 6y + 2z
d) 20xy + 4x − 5y − 1
e) 10xz − 10z 2 − x + z
f) 6x2 − 5xz − 6x + 5z
Version 1.001
O. Dubail & S. Perret
Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Exercices - Série 3
z Exercice 1
Développer et réduire.
a) (7 − 2x) − x + (3 − x)
c) 2 (4a − 3 + (5 − (1 − a)))
e) (a − b) + 3 (b − (a − 2b))
b) 2a + 3 − (5a − (3 − 2a))
d) x (x − 1) − x2 + 2x
f) 13 x2 − 7 − 35 x2 + 32
z Exercice 2
Développer et réduire.
a) (2x − 1) (3x + 1)
b) (1 − 2x) (5x + 10)
d) (2 − x + y) (2x + 3)
e) (1 + 2x) x2 − x + 1
c) (3x + 8) (x + 12)
f) 53 x + 2 23 − 45 x
z Exercice 3
Développer.
a) 3x2 −2x2 + 2y 2
b) x2 x2 + 2y
e) 2x2 + 1 (2x + 2)
d) x3 y 2 x2 + x + 4
c) −x2 x3 y 2 + 2
f) 5x x2 − 52 x
z Exercice 4
Répondre aux questions suivantes en faisant le moins de calcul possible.
1. Quels sont le terme constant et le coefficient dominant de (5x4 − 2x3 + 2x − 1)(4x + 2) ?
2. Quels sont les coefficients de x2 et de x3 de (x3 − 4x2 − x + 1)(2x2 + 3x + 1) ?
z Exercice 5
Factoriser si c’est possible.
a) a2 b − 3ac a2 b + 3ac
d) (2y + 3x)3
b)
e)
3
−x+1
a2 + 3x 3x − a2
1 2
4x
c) a6 − b6
f)
a4 x + ax4
a4 x − ax4
z Exercice 6
Factoriser le plus possible.
a) 5x (2x − 3y) − 8y (2x − 3y)
b) (2x − 3) 5 − x2 − (2x − 3) 7 − x2
c) x2 − 16 + (x − 4) (4 − x)
d) (3x − 8) (7 + y) + 2y (3x − 8) − 7 (3x − 8)
e)
7
4
(4x − 1) + 47 (7x − 2)
f) 2a (a − b + 2) − (a − b + 2) (1 − 2a) − 3 (a − b + 2)
z Exercice 7
Factoriser par groupement.
a) 1 + x2 + y 2 + x2 y 2
b) y 3 − y − y 2 + 1
c) xy − zy + xu − zu + z 2 − xz
d) x3 + 3y 3 + 3x2 y + xy 2
e) x2 + xy + xz + yz
f) 4x2 − 2xy + 2xz − 2x + y − z
Version 1.001
O. Dubail & S. Perret
Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Exercices - Série 4
z Exercice 1
Développer et réduire.
a) − (1 − x + y) − (3a + b)
b) (1 − 2x + 3y) − 3x + (5x − y)
c) a + 2b + c − (3 − 2c − (a − b))
d) 4 − y + (7 − (2 − x + y))
f) 43 7 − 5x − 53 (x − 1)
e) 3x − (2 + (3 − 2y + x))
z Exercice 2
Développer et réduire.
a) (x − 5) (x − 3)
d) (2x − 5) x2 + 3x − 1
b) (2x − 3) (5x + 7)
e) 21 x + 32 52 + 35 x
c) (3x + 8) (1 − x)
f) (a + b + 1) (a − b)
z Exercice 3
Développer.
a) 3x2 4x2 y 2 − 2
d) 4x2 2x2 + 3x2 y 2
b) x2 3x3 + 3y 2
c) 4x2 y 2 4x2 − 2
e) −xy 3 (4x + 2)
f) −x2 y (5x − 2)
z Exercice 4
Répondre aux questions suivantes en faisant le moins de calcul possible.
1. Quels sont le terme constant et le coefficient dominant de (x3 + 5x2 − 2x+ 3)(3x2 − 4x+ 4) ?
2. Quels sont les coefficients de x et de x4 de (−3x3 − 2x2 − 2x + 2)(5x2 − 4x + 3) ?
z Exercice 5
Factoriser si c’est possible.
a) 1 − x2 y 2
b) a4 − 2a2 + 1
d) a2 + 2ab + b2 − x2
e) x3 − 9x
c) 2a3 − 6a2 + 6a − 2
f) (a − b)3 − a3 − b3
z Exercice 6
Factoriser le plus possible.
a) − (1 + 2x + y) + (x + 1) (1 + 2x + y)
c) (a + b)2 − a2 − b2 + 2a + 2b
e) (5 − y) 1 + x + x2 + x2 + x + 1
b) (8 − a) (7 − a) + 2 (8 − a) (a + 2)
d) 2 (a − x + r) + x + r 2 (a − x + r)
f) a3 − 1 + a2 + a + 1
z Exercice 7
Factoriser par groupement.
a) 6x2 − 5xz − 6x + 5z
b) 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5
c) 20xy + 4y − 5x − 1
d) x2 − xy + xz − x + y − z
e) 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5
f) x3 + 3y 3 + 3x2 y + xy 2
Version 1.001
O. Dubail & S. Perret
Connaissances de base de l’école secondaire
Réponses des exercices
Corrections de l’exercice 1
1. 2x2 − x + 4
2. 2x2 + x − 8
Corrections de l’exercice 2
1. 16x5 − 24x4 − 16x3 + 18x2 + 7x + 5
2. 12x5 − 4x4 − 20x3 + 16x2 + 24x + 4
Corrections de l’exercice 3
1. Le terme constant vaut −6 et le coefficient dominant vaut 35.
2. Le coefficient de x vaut −7 et le coefficient de x3 vaut −17.
Corrections de l’exercice 4
2 ⑥ 9
④
= x (2x + 1)2 (2x − 1)2
a) x9 16x4 − 8x2 + 1 = x9 4x2 − 1
2 ⑥ 3
④
= x (3x + 1)2 (3x − 1)2
b) x3 81x4 − 18x2 + 1 = x3 9x2 − 1
3
⑦
c) x7 8x3 + 36x2 + 54x + 27 = x7 2x + 3
Corrections de l’exercice 5
②
a) (3x − 4) (9x2 + 6) − (24x − 10) = (3x − 4) 9x2 − 24x + 16
2
④
= (3x − 4) 3x − 4 = (3x − 4)3
②
b) (4x − 5) (4x + 4)2 − (32x + 41) = (4x − 5) 16x2 − 25
⑥
= (4x − 5)(4x − 5)(4x + 5) = (4x − 5)2 (4x + 5)
Corrections de l’exercice 6
②
⑥
a) x2 (4x + 5) − 9(4x + 5) = (x2 − 9)(4x + 5) = (x − 3)(x + 3)(4x + 5)
②
⑥
b) 25x2 (2x − 1) − 16(2x − 1) = (25x2 − 16)(2x − 1) = (5x − 4)(5x + 4)(2x − 1)
Version 1.001
O. Dubail & S. Perret
Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Réponses des exercices - Série 1
z Exercice 1
a) 7x2 − 10x + 3
b) −9x + 4
c) 2a − 2b + 7
d) b + c
e) −20
f) 2a − 3b
z Exercice 2
a) x2 + 12x + 27
b) −x2 + 14x − 45
c) −4x2 + 30x − 56
d) 5x2 − 17x + 6
e) 1 − 9x2
f) 120x2 − 4x − 12
z Exercice 3
a) 8x3 − 2x5
b) −2x2 y − 4x2 − 2xyz
c) 3x6 + 6x5 y
d) −3x4 − 3x2 y 2
e) 12x5 y 3 + 12x2 y 3
f) 3x2 − x3 y 2
z Exercice 4
1. Le terme constant vaut −15 et le coefficient dominant vaut 9.
2. Le coefficient de x3 vaut 7 et le coefficient de x4 vaut −12.
z Exercice 5
a) 9(x + 2)2
b) (4x − y)2
c) (2a − 9)(2a + 9)
d) 144a2 + 25y 2
e) (12a − 5y)(12a + 5y)
f) (x − 2)(x2 + 2x + 4)
z Exercice 6
a) (4x − 5y)(y + z)
b) (x − 1)(7 − 2x)
c) (x + 2)(2x + 1)
d) (4x − 1)(3x − 2y + z)
e) (4x + z − 2)(y + z)
f) 3(x − 2)
z Exercice 7
a) (x + 2)(y + z)
b) (x + 2)(3x + 2y)
c) (x + 2)(x + y)
d) (z − y)(4x + 3z)
e) (4x + 9)(3y − 4)
f) (x − 3)(y + z)
Version 1.001
O. Dubail & S. Perret
Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Réponses des exercices - Série 2
z Exercice 1
a) 2x2 − 7x
b) a2 + a − 2c − 2b
c) −a − 3b + 23
d) −b2 + 4b + 2
e) 8y − 11x
f) − 52 x2 + 2x −
1
3
z Exercice 2
a) x2 − 5x − 6
b) −x2 − 6x + 7
c) 2x2 − 19x + 42
d) −x2 − x + 6
e) 24x2 − 90x + 21
f) −2x2 − 29 x + 14
z Exercice 3
a) 4x5 y 2 − 2x3
b) x2 y − 3x4
c) 15x4 + 15x3 y
d) 3x4 y + 3x2 y
e) 3x2 + 5x3 y 2
f) x4 y 2 − x3 y
z Exercice 4
1. Le terme constant vaut −8 et le coefficient dominant vaut 6.
2. Le coefficient de x vaut −27 et le coefficient de x2 vaut −2.
z Exercice 5
1 4
2
a) (2x − 5y)2
b) x +
d) (2 + 3x)(9x2 − 6x + 4)
e) −4(4x − 3y)(4x + 3y)
c) (2x − 3)(4x2 + 6x + 9)
f)
1
4 (x
− 4y)(x + 4y)
z Exercice 6
a) (x − y)(2x + 3y)
b) 5(x − 1)
c) 6(x − 3)
d) 9(2x − 5)
e)
29
6 (2x
− 3)
f) (4x − 1)(x + y − z)
z Exercice 7
a) (5x + y)(z − y)
b) (4x − 3)(2x − y)
c) (5y − 2)(3y − z)
d) (4x − 1)(5y + 1)
e) (10z − 1)(x − z)
f) (x − 1)(6x − 5z)
Version 1.001
O. Dubail & S. Perret
Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Réponses des exercices - Série 3
z Exercice 1
a) 10 − 4x
b) 6 − 5a
c) 10a + 2
d) −3x
e) 8b − 2a
f) − 43 x2 − 3
z Exercice 2
a) 6x2 − x − 1
b) −10x2 − 15x + 10
c) 3x2 + 44x + 96
d) −2x2 + 2xy + x + 3y + 6
e) 2x3 − x2 + x + 1
6
2
f) − 12
25 x − 5 x +
4
3
z Exercice 3
a) −6x4 + 6x2 y 2
b) x4 + 2x2 y
c) −x5 y 2 − 2x2
d) x5 y 2 + x4 y 2 + 4x3 y 2
e) 4x3 + 4x2 + 2x + 2
f) 5x3 − 2x2
z Exercice 4
1. Le terme constant vaut −2 et le coefficient dominant vaut 20.
2. Le coefficient de x2 vaut −5 et le coefficient de x3 vaut −13.
z Exercice 5
a) a2 (ab − 3c)(ab + 3c)
b)
1
2x
6
−1
c) (a + b)(a − b)(a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 )
d) (3x + 2y)3
e) (3x + a2 )(3x − a2 )
f) a2 x2 (a − x)(a + x)(x2 − ax + a2 )(x2 + ax + a2 )
z Exercice 6
a) (2x − 3y)(5x − 8y)
b) −2(2x − 3)
c) 8(x − 4)
d) 3(3x − 8)y
e) 11x −
81
28
f) 4(a − 1)(a − b + 2)
z Exercice 7
a) (x2 + 1)(y 2 + 1)
b) (y − 1)2 (y + 1)
c) (x − z)(y + u − z)
d) (x + 3y)(x2 + y 2 )
e) (x + y)(x + z)
f) (2x − 1)(2x + z − y)
Version 1.001
O. Dubail & S. Perret
Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Réponses des exercices - Série 4
z Exercice 1
a) x − y − 3a − b − 1
b) 2y + 1
c) 2a + b + 3c − 3
d) x − 2y + 9
e) 2x + 2y − 5
f)
104
9
−
80
9 x
z Exercice 2
a) x2 − 8x + 15
b) 10x2 − x − 21
d) 2x3 + x2 − 17x + 5
e)
3 2
10 x
+
11
10 x
+
c) −3x2 − 5x + 8
3
5
f) a2 − b2 + a − b
z Exercice 3
a) 12x4 y 2 − 6x2
b) 3x5 + 3x2 y 2
c) 16x4 y 2 − 8x2 y 2
d) 12x4 y 2 + 8x4
e) −4x2 y 3 − 2xy 3
f) 2x2 y − 5x3 y
z Exercice 4
1. Le terme constant vaut 12 et le coefficient dominant vaut 3.
2. Le coefficient de x vaut −14 et le coefficient de x4 vaut 2.
z Exercice 5
a) (1 − xy)(1 + xy)
b) (a − 1)2 (a + 1)2
c) 2(a − 1)3
d) (a + b − x)(a + b + x)
e) x(x − 3)(x + 3)
f) 3ab(b − a)
z Exercice 6
a) x(2x + y + 1)
b) (8 − a)(a + 11)
c) 2(b + 1)(a + b)
d) (a − x + r)(x + r 2 + 2)
e) (x2 + x + 1)(6 − y)
f) a(a2 + a + 1)
z Exercice 7
a) (x − 1)(6x − 5z)
b) (x + 1)(x2 − x + 1)(x2 + x + 1)
c) (5x + 1)(4y − 1)
d) (x − 1)(x − y + z)
e) (1 − x)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
f) (x + 3y)(x2 + y 2 )
Version 1.001
O. Dubail & S. Perret