Révisions sur le calcul littéral

Connaissances de base de l’école secondaire
Révisions sur le calcul littéral
Rappelons des règles élémentaires très importantes.
①lien entre l’opposé et la multiplication par −1−a= (−1) ·a
distribution de la multiplication sur l’addition (en lisant de gauche à droite)
②a·(b+c) = a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c
mise en évidence d’un facteur (en lisant de droite à gauche)
③multiplication de monômes axm
·bxn=abxm+n
Soustraction de polynômes
Voici un premier exemple d’utilisation de ces règles élémentaires.
(x2+ 2) −(x−3) ① = (x2+ 2) + (−1) ·(x−3) ② =x2+ 2 −x+ 3 = x2 −x+ 5
zExercice 1 : soustraction de polynômes
Développer et réduire les polynômes suivants.
a) (3x2+x−1) −(x2+ 2x−5) b) (5x2−2x−3) −(3x2−3x+ 5)
Multiplication de polynômes
Voici un deuxième exemple d’utilisation de ces règles élémentaires.
(3x2+ 2x+ 4)(5x3−2x2+x+ 3)
on distribue le facteur de gauche sur celui de droite
②
= (3x2+ 2x+ 4) ·5x3+ (3x2+ 2x+ 4) ·(−2x2) + (3x2+ 2x+ 4) ·x+ (3x2+ 2x+ 4) ·3
on distribue les facteurs de droite sur celui de gauche
②
= 3x2·5x3+ 2x·5x3+ 4 ·5x3
+ 3x2·(−2x2) + 2x·(−2x2) + 4 ·(−2x2)
+ 3x2·x+ 2x·x+ 4 ·x
+ 3x2·3 + 2x·3 + 4 ·3
on effectue les multiplications des monômes
③
=15x5+ 10x4+ 20x3
−6x4−4x3−8x2
+ 3x3+ 2x2+ 4x
+ 9x2+ 6x+ 12
on effectue les additions des monômes
=15x5+ 4x4+ 19x3+ 3x2+ 10x+ 12
Une personne qui connaît bien ce genre de calculs n’effectue que les étapes grisées, elle peut
même zapper l’étape en gris foncé en se concentrant sur les monômes de même degré.
zExercice 2 : multiplication de polynômes
Développer et réduire les polynômes suivants.
a) (4x3−4x2−x−1)(4x2−2x−5) b) (3x4−4x3−x2+ 5x+ 1)(4x+ 4)
Version 1.001 page 1 O. Dubail & S. Perret

Connaissances de base de l’école secondaire
zExercice 3 : multiplication rapide de polynômes
Répondre aux questions suivantes en faisant le moins de calcul possible.
1. Quels sont le terme constant et le coefficient dominant de (7x3−x2+x+ 3)(5x2−x−2) ?
2. Quels sont les coefficients de xet de x3de (4x3+ 2x2−3x+ 5)(3x2−2x−1) ?
Les identités remarquables
Rappelons les identités remarquables qu’il faut en général d’abord remarquer.
④a2+ 2ab +b2= (a+b)2⑤a3+ 3a2b+ 3ab2+b3= (a+b)3
⑥a2−b2= (a+b)(a−b)⑦a3−b3= (a2+ab +b2)(a−b)
En remplaçant bpar −bon obtient des relations équivalentes.
④a2−2ab +b2= (a−b)2⑤a3−3a2b+ 3ab2−b3= (a−b)3
⑥a2−b2= (a−b)(a+b)⑦a3+b3= (a2−ab +b2)(a+b)
Ces formules montrent qu’on peut factoriser a2−b2,a3−b3et a3+b3.
Néanmoins, Les expressions a2+b2,a2+ab +b2et a2−ab +b2ne se factorisent pas.
Premier exemple d’utilisation des identités remarquables pour factoriser
On commence par voir une puissance de xqui peut être mise en évidence.
16x9 −72x7+ 81x5② =x5(16x4 −72x2+ 81) ④ =x5(4x2 −9)2⑥ =x5(2x−3)2(2x+ 3)2
zExercice 4 : factoriser le plus possible
a) 16x13 −8x11 +x9b) 81x7−18x5+x3c) 8x10 + 36x9+ 54x8+ 27x7
Deuxième exemple d’utilisation des identités remarquables pour factoriser
On commence par voir un polynôme qui peut être mis en évidence.
(25x2−4) (5x−2) −(5x−2) (20x−8) ②
= (5x−2) (25x2−4) −(20x−8)
= (5x−2)25x2−20x+ 4④
= (5x−2)5x−22= (5x−2)3.
zExercice 5 : factoriser le plus possible
a) (3x−4)(9x2+ 6) −(3x−4)(24x−10) b) (4x+ 4)2(4x−5) −(4x−5)(32x+ 41)
Troisième exemple d’utilisation des identités remarquables pour factoriser
Lorsqu’on a un nombre pair de monômes, on peut parfois factoriser par groupement.
64x3−16x2−100x+ 25 = 64x3−16x2−100x+ 25 = 16x2(4x−1) −25(4x−1)
②
=16x2−25)(4x−1) ⑥ = (4x+ 5)(4x−5)(4x−1).
zExercice 6 : factoriser le plus possible
a) 4x3+ 5x2−36x−45 b) 50x3−25x2−32x+ 16
Version 1.001 page 2 O. Dubail & S. Perret

Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Exercices - Série 1
zExercice 1
Développer et réduire.
a) 3x2−(5x−3) + 4x2−5xb) 5−(4x−(2 −5x) + 3)
c) 20 + a−b−(b−a+ 13) d) a−b−(a−(b+ 2c) + (c−b))
e) 13 −(a−b+ 13) −(b−a+ 20) f) a−(x+b−(x+a−2b))
zExercice 2
Développer et réduire.
a) (x+ 9) (x+ 3) b) (9 −x) (x−5) c) (2x−8) (7 −2x)
d) (3 −x) (2 −5x)e) (1 −3x) (3x+ 1) f) (12x−4) (10x+ 3)
zExercice 3
Développer.
a) 2x3−x2+ 4b) −2x(2x+xy +yz)c) 3x3x3+ 2x2y
d) −x23x2+ 3y2e) 4x2y33x3+ 3f) x2−xy2+ 3
zExercice 4
Répondre aux questions suivantes en faisant le moins de calcul possible.
1. Quels sont le terme constant et le coefficient dominant de (3x3−5x2−4x+3)(3x2+x−5) ?
2. Quels sont les coefficients de x3et de x4de (2x3−2x2−x+ 5)(5x2−x+ 5) ?
zExercice 5
Factoriser si c’est possible.
a) 9x2+ 36 + 36xb) 16x2−8xy +y2c) 4a2−81
d) 144a2+ 25y2e) 144a2−25y2f) x3−8
zExercice 6
Factoriser le plus possible.
a) 4x(y+z)−5y(y+z)b) (x+ 1) (x−1) −3 (x−1) (x−2)
c) (x+ 2) (3x−1) −x2+ 4 d) 4x(3x−2y+z)−(3x−2y+z)
e) 4x(y+z)−2 (y+z) + z(y+z)f) 5 (x−2) −2 (x−2)
zExercice 7
Factoriser par groupement.
a) xy +xz + 2y+ 2zb) 3x2+ 2xy + 6x+ 4yc) x2+xy + 2x+ 2y
d) 4xz −4xy + 3z2−3zy e) 12xy −16x+ 27y−36 f) xy +xz −3y−3z
Version 1.001 O. Dubail & S. Perret

Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Exercices - Série 2
zExercice 1
Développer et réduire.
a) 2x2+ 4 −(6 + 3x−(2 −4x)) b) a2+b−(2b+c) + (a−(b+c))
c) 7−(a+b−12) + 4 −2bd) b−b2+ (5 −(3 −3b))
e) −3 (2x−y) + 5 (y−x)f) 1
2x2+2x−3x2+1 3
zExercice 2
Développer et réduire.
a) (x−6) (x+ 1) b) (1 −x) (x+ 7) c) (2x−7) (x−6)
d) (2 −x) (3 + x)e) (7 −2x) (3 −12x)f) 1
2x+ 2(7 −4x)
zExercice 3
Développer.
a) −2x3−2x2y2+ 1b) −x23x2−yc) 5x3(3x+ 3y)
d) 3x2yx2+ 1e) x25xy2+ 3f) 1
2x32xy2−2y
zExercice 4
Répondre aux questions suivantes en faisant le moins de calcul possible.
1. Quels sont le terme constant et le coefficient dominant de (3x4−4x3+x2−2x−2)(2x+4) ?
2. Quels sont les coefficients de xet de x2de (−2x3+ 3x2−3x−4)(2x2+ 3x+ 5) ?
zExercice 5
Factoriser si c’est possible.
a) (2x−5y)2b) x2+x+1
42c) 8x3−27
d) 27x3+ 8 e) 64x2−36y2f) 1
4x2−4y2
zExercice 6
Factoriser le plus possible.
a) 2x(x−y) + 3y(x−y)b) (1 −x)3 + x2−(1 −x)x2+ 8
c) x2−9 + (x−3) (3 −x)d) (2x−5) (2 + y) + 7 (2x−5) −y(2x−5)
e) 7
2(2x−3) + 4 3(2x−3) f) 2x(x+y−z)−(x+y−z) (1 −x) + x(x+y−z)
zExercice 7
Factoriser par groupement.
a) yz + 5xz −y2−5xy b) 8x2−4xy −6x+ 3yc) 15y2−5yz −6y+ 2z
d) 20xy + 4x−5y−1e) 10xz −10z2−x+zf) 6x2−5xz −6x+ 5z
Version 1.001 O. Dubail & S. Perret

Connaissances de base de l’école secondaire
Calcul littéral - Exercices - Série 3
zExercice 1
Développer et réduire.
a) (7 −2x)−x+ (3 −x)b) 2a+ 3 −(5a−(3 −2a))
c) 2 (4a−3 + (5 −(1 −a))) d) x(x−1) −x2+ 2x
e) (a−b) + 3 (b−(a−2b)) f) 1
3x2−7−5 3x2+2 3
zExercice 2
Développer et réduire.
a) (2x−1) (3x+ 1) b) (1 −2x) (5x+ 10) c) (3x+ 8) (x+ 12)
d) (2 −x+y) (2x+ 3) e) (1 + 2x)x2−x+ 1f) 3
5x+ 2 2 3
−
4
5x
zExercice 3
Développer.
a) 3x2−2x2+ 2y2b) x2x2+ 2yc) −x2x3y2+ 2
d) x3y2x2+x+ 4e) 2x2+ 1(2x+ 2) f) 5xx2−
2
5x
zExercice 4
Répondre aux questions suivantes en faisant le moins de calcul possible.
1. Quels sont le terme constant et le coefficient dominant de (5x4−2x3+ 2x−1)(4x+ 2) ?
2. Quels sont les coefficients de x2et de x3de (x3−4x2−x+ 1)(2x2+ 3x+ 1) ?
zExercice 5
Factoriser si c’est possible.
a) a2b−3ac a2b+ 3acb) 1
4x2−x+ 13c) a6−b6
d) (2y+ 3x)3e) a2+ 3x 3x−a2f) a4x+ax4 a4x−ax4
zExercice 6
Factoriser le plus possible.
a) 5x(2x−3y)−8y(2x−3y)b) (2x−3) 5−x2−(2x−3) 7−x2
c) x2−16 + (x−4) (4 −x)d) (3x−8) (7 + y) + 2y(3x−8) −7 (3x−8)
e) 7
4(4x−1) + 4 7(7x−2) f) 2a(a−b+ 2) −(a−b+ 2) (1 −2a)−3 (a−b+ 2)
zExercice 7
Factoriser par groupement.
a) 1 + x2+y2+x2y2b) y3−y−y2+ 1 c) xy −zy +xu −zu +z2−xz
d) x3+ 3y3+ 3x2y+xy2e) x2+xy +xz +yz f) 4x2−2xy + 2xz −2x+y−z
Version 1.001 O. Dubail & S. Perret