Chapitre 3 - Facultés des Sciences Juridiques, Economiques et

Filière de « Sciences Économiques et de Gestion »
Semestre II / Session : Printemps-Été 2014-2015
Section A
Module 13
:
Algèbre et Mathématiques Financières
Chapitre III :
Application linéaire
Professeure : Amale LAHLOU

Algèbre et Mathématiques Financières Chapitre III : Application Linéaire
Pr. Amale LAHLOU
Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales, Rabat
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Session Printemps-É té 2014-2015
Semestre II
Sommaire
I
IN NT TR RO OD DU UC CT TI IO ON N . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
1
1 D DE EF FI IN NI IT TI IO ON NS S E ET T G GE EN NE ER RA AL LI IT TE ES S . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 3 3
1.1 DEFINITION 3
1.2 VOCABULAIRE ET NOTATION 3
1.3 PROPRIETES 3
1.4 EGALITE 4
1.5 COMPOSITION DE DEUX APPLICATIONS LINEAIRES 4
2
2 N NO OY YA AU U E ET T I IM MA AG GE E D D’ ’U UN NE E A AP PP PL LI IC CA AT TI IO ON N L LI IN NE EA AI IR RE E . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 4 4
3
3 A AP PP PL LI IC CA AT TI IO ON NS S L LI IN NE EA AI IR RE ES S I IN NJ JE EC CT TI IV VE ES S E ET T S SU UR RJ JE EC CT TI IV VE ES S
.
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 5 5
4
4 R RA AN NG G D D’ ’U UN NE E A AP PP PL LI IC CA AT TI IO ON N L LI IN NE EA AI IR RE E . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6 6
5
5 M MA AT TR RI IC CE E A AS SS SO OC CI IE EE E A A U UN NE E A AP PP PL LI IC CA AT TI IO ON N L LI IN NE EA AI IR RE E . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6 6
5.1 COORDONNEES D’UN VECTEUR 6
5.2 MATRICE ASSOCIEE A UN SYSTEME DE VECTEURS 7
5.3 MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE 8
6
6 C CH HA AN NG GE EM ME EN NT T D DE E B BA AS SE ES S . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 11 1
6.1 MATRICE DE PASSAGE D’UNE BASE A UNE NOUVELLE BASE 11
6.2 COORDONNES D’UN VECTEUR RELATIVEMENT A UNE NOUVELLE BASE 12
6.3 MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE RELATIVEMENT AUX NOUVELLES BASES 14
EXERCICES SOLUTIONNES SE RAPPORTANT AU CHAPITRE III

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Chapitre III : Application Linéaire
1 Définitions et généralités
Dans toute la suite, sauf indication contraire,  et ( désignent deux espaces vectoriels réels de
dimensions finies.
1.1 Définition
L’application  définie de dans  est dite linéaire si et seulement si est un homomorphisme d’espaces
vectoriels, c'est-à-dire :
,   et 
ou équivalent à :
1.2 Vocabulaire et notation
Soit  une application linéaire de  dans .
Si , on parle d’endomorphisme de ;
Si  est bijective, on parle d’isomorphisme de  dans ;
Si et  est bijective, on parle d’automorphisme de  ;
On note  l’ensemble des applications linéaire de dans . Quand  = , on abrège la
notation en , l’ensemble des endomorphismes de  ;
Le triplet ( est un -e.v. où :
l’addition  est une Loi de Composition Interne vérifiant,
et     
la multiplication par un scalaire  est une Loi de Composition Externe vérifiant,
Exemples :
   est l’application linéaire nulle notée.
   est l’application linéaire identité notée
   est une application linéaire de  dans .
1.3 Propriétés
Soit  alors :

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L’image d’une combinaison linéaire des vecteurs de  est une combinaison linéaire des images de ces
vecteurs.
1.4 Égalité
Soient, alors les deux applications sont égales si et seulement si : 
1.5 Composition de deux applications linéaires
Soient,  et  trois -e.v. et  et  :
   et    
alors, l’application  est définie par :
Remarque : en pratique, pour montrer qu’une application  est linéaire, la méthode la plus rapide est de
montrer que  est une somme ou composée d’applications linéaires connues.
2 Noyau et image d’une application linéaire
Définition : Soit .
Soit une partie de . On définit l’image de  par , l’ensemble :
En particulier : on note .
Soit une partie de . On définit l’image réciproque de  par , l’ensemble :
En particulier : on note 
Exemple : Soit l’application linéaire :
D’une part, 
D’autre part,  
Ainsi, 
Théorème :
L’image par une application linéaire  d’un s.e.v. de  est un s.e.v. de . En particulier,  est un
s.e.v. de 

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L’image réciproque par une application linéaire  d’un s.e.v. de  est un s.e.v. de . En particulier,
 est un s.e.v. de 
Exemple : Soit l’application linéaire :
On a : 
 est le s.e.v. de engendré par la famille  et .
 est le s.e.v. de  engendré par la famille  et .
Théorème : Soit  un système de . L’image de  par l’application est le système
. Alors,
Si  générateur de , alors est générateur de  ;
Si  est lié, alors est lié. La réciproque est fausse ;
Si est libre, alors  est libre. La réciproque est fausse.
Remarque : Si  est libre, alors n’est pas forcement libre. Comme contre exemple, on prend
l’application linéaire :    
Le système  est libre de  tandis que le système  est lié (les deux
vecteurs sont opposés).
Notons que si l’application  est injective alors l’image de tout système libre est libre.
3 Applications linéaires injectives et surjectives
Définition : Une application  définie d’un ensemble quelconque dans un ensemble est dite :
 est injective si et seulement si   ;
 est surjective si et seulement si   ;
 est bijective si et seulement si  est à la fois injective et surjective
ou encore,  est bijective si et seulement si  
ou encore,  est bijective si et seulement si .
Théorème : Soit  une application définie de l’espace vectoriel vers l’espace vectoriel.
 est injective si et seulement si l’image par  de tout système libre de est un système libre de  ;
ou encore,  est injective si et seulement si  ;