Chapitre 3 - Facultés des Sciences Juridiques, Economiques et

Filière de « Sciences Économiques et de Gestion »
Semestre II / Session : Printemps-Été 2014-2015
Section A
Module 13 :
Algèbre et Mathématiques Financières
Chapitre III :
Application linéaire
Professeure : Amale LAHLOU
Algèbre et Mathématiques Financières
Chapitre III : Application Linéaire
Sommaire
INTRODUCTION ............................................................................................................................
1 DEFINITIONS ET GENERALITES .............................................................................................. 3
1.1 DEFINITION
3
1.2 VOCABULAIRE ET NOTATION
3
1.3 PROPRIETES
3
1.4 EGALITE
4
1.5 COMPOSITION DE DEUX APPLICATIONS LINEAIRES
4
2 NOYAU ET IMAGE D’UNE APPLICATION LINEAIRE ................................................................ 4
3 APPLICATIONS LINEAIRES INJECTIVES ET SURJECTIVES ......................................................... 5
4 RANG D’UNE APPLICATION LINEAIRE ................................................................................... 6
5 MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE .............................................................. 6
5.1 COORDONNEES D’UN VECTEUR
6
5.2 MATRICE ASSOCIEE A UN SYSTEME DE VECTEURS
7
5.3 MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE
8
6 CHANGEMENT DE BASES .................................................................................................... 11
6.1 MATRICE DE PASSAGE D’UNE BASE A UNE NOUVELLE BASE
11
6.2 COORDONNES D’UN VECTEUR RELATIVEMENT A UNE NOUVELLE BASE
12
6.3 MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE RELATIVEMENT AUX NOUVELLES BASES
14
EXERCICES SOLUTIONNES SE RAPPORTANT AU CHAPITRE III
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Algèbre et Mathématiques Financières
Chapitre III : Application Linéaire
Chapitre III : Application Linéaire
1 Définitions et généralités
Dans toute la suite, sauf indication contraire,
et (
désignent deux espaces vectoriels réels de
dimensions finies.
1.1 Définition
L’application
définie de
dans
est dite linéaire si et seulement si
est un homomorphisme d’espaces
vectoriels, c'est-à-dire :
,
et
ou équivalent à :
1.2 Vocabulaire et notation
Soit
une application linéaire de
.
, on parle d’endomorphisme de
Si
Si
dans
;
est bijective, on parle d’isomorphisme de
Si
et
On note
notation en
dans
;
est bijective, on parle d’automorphisme de
l’ensemble des applications linéaire de
, l’ensemble des endomorphismes de
Le triplet (
;
dans
. Quand
=
, on abrège la
;
est un -e.v. où :
l’addition
est une Loi de Composition Interne vérifiant,
et
la multiplication par un scalaire
est une Loi de Composition Externe vérifiant,
Exemples :

est l’application linéaire nulle notée
.

est l’application linéaire identité notée

est une application linéaire de
dans
.
1.3 Propriétés
Soit
alors :
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Chapitre III : Application Linéaire
L’image d’une combinaison linéaire des vecteurs de
est une combinaison linéaire des images de ces
vecteurs.
1.4 Égalité
Soient
, alors les deux applications sont égales si et seulement si :
1.5 Composition de deux applications linéaires
Soient
,
et
trois
-e.v. et
et
:
et
alors, l’application
est définie par :
Remarque : en pratique, pour montrer qu’une application
montrer que
est linéaire, la méthode la plus rapide est de
est une somme ou composée d’applications linéaires connues.
2 Noyau et image d’une application linéaire
Définition : Soit
Soit
une partie de
.
. On définit l’image de
par , l’ensemble :
En particulier : on note
Soit
une partie de
.
. On définit l’image réciproque de
par , l’ensemble :
En particulier : on note
Exemple : Soit l’application linéaire :
D’une part,
D’autre part,
Ainsi,
Théorème :
L’image par une application linéaire
d’un s.e.v. de
est un s.e.v. de
. En particulier,
est un
s.e.v. de
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Chapitre III : Application Linéaire
L’image réciproque par une application linéaire
d’un s.e.v. de
est un s.e.v. de
. En particulier,
est un s.e.v. de
Exemple : Soit l’application linéaire :
On a :
est le s.e.v. de
est le s.e.v. de
engendré par la famille
et
.
engendré par la famille
Théorème : Soit
un système de
et
. L’image de
.
par l’application est le système
. Alors,
Si
générateur de
Si
est lié, alors
Si
, alors
;
est lié. La réciproque est fausse ;
est libre, alors
Remarque : Si
est générateur de
est libre. La réciproque est fausse.
est libre, alors
n’est pas forcement libre. Comme contre exemple, on prend
l’application linéaire :
Le système
est libre de
tandis que le système
est lié (les deux
vecteurs sont opposés).
Notons que si l’application
est injective alors l’image de tout système libre est libre.
3 Applications linéaires injectives et surjectives
Définition : Une application
définie d’un ensemble
quelconque dans un ensemble est dite :
est injective si et seulement si
;
est surjective si et seulement si
est bijective si et seulement si
;
est à la fois injective et surjective
ou encore,
est bijective si et seulement si
ou encore,
est bijective si et seulement si
Théorème : Soit
une application définie de l’espace vectoriel
est injective si et seulement si l’image par
ou encore,
.
de tout système libre de
est injective si et seulement si
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vers l’espace vectoriel
est un système libre de
.
;
;
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Chapitre III : Application Linéaire
est surjective si et seulement si l’image par
générateur de
ou encore,
de tout système générateur de
;
est surjective si et seulement si
;
est bijective si et seulement si l’image par
ou encore,
est un système
d’une base de
est bijective si et seulement si
Corollaire : Soit
avec
et
est une base de
et
deux
.
-e.v. de dimensions finies.
Si l’application linéaire
est injective alors
.
Si l’application linéaire
est surjective alors
.
Si
alors,
est bijective
est surjective
est injective.
4 Rang d’une application linéaire
Définition : On appelle rang de l’application linéaire , noté
espace vectoriel
ou
, la dimension du sous-
, c’est-à-dire :
Théorème du rang : Soit
avec
et
deux
-e.v. de dimensions finies.
ou encore,
Exemple : Soit l’application linéaire,
On a :
et
ainsi,
On vérifie facilement que :
Corollaire :
est injective si et seulement si
;
est surjective si et seulement si
;
est bijective si et seulement si
.
5 Matrice associée à une application linéaire relativement aux bases des deux
espaces vectoriels
Soit
un -e.v. avec
,
muni d’une base
Soit
un -e.v. avec
,
muni d’une base
.
5.1 Coordonnées d’un vecteur
Tout vecteur
de
se décompose de façon unique en une combinaison linéaire des vecteurs de la base
.
Autrement dit,
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Chapitre III : Application Linéaire
On associe au vecteur , relativement à la base
coefficients sont
, une matrice uni-colonne
, coefficients de la combinaison linéaire de
Exemple : Soit
muni de sa base canonique
et
dont les
dans la base
:
vecteur de
.
5.2 Matrice associée à un système de vecteurs
Soit
base
une famille de
, notée
. La matrice associée à la famille
relativement à la
, est définie par :
(jième colonne de la matrice) se décompose dans la base
où le vecteur
Exemple : : Soit
vecteurs de
vecteurs de
muni de sa base canonique
et
comme suit :
une famille de
où :
,
,
et
Comme,
Alors,
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Chapitre III : Application Linéaire
5.3 Matrice associée à une application linéaire
On associe à toute application
de
relativement aux bases
Si le vecteur
une matrice, notée
et
, appelée matrice
:
se décompose dans la base
comme suit :
alors,
On construit la matrice colonne par colonne.
Quand
=
et
, on abrège la notation en
.
Notons que :
Exemple : Soient
et
munis respectivement des bases canoniques
et
Et soit l’application linéaire :
Comme,
Alors,
Remarque : La matrice associée à l’application linéaire dépend des bases considérées.
À titre d’exemple, soit
canonique
muni de la base
et
muni de la base
. Et soit l’application linéaire :
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Chapitre III : Application Linéaire
Comme,
Alors,
On remarque que :
Proposition : Si
dans la base
et si
dans la base
alors,
est complètement déterminée par la donnée de l’image d’une
Autrement dit, toute application
base de
Exemple : Soient
et
munis respectivement des bases canoniques
. Et soit l’application
Alors,
dont la matrice associée est :
, on pose
Ainsi l’expression analytique de
et
avec :
est,
En effet,
Théorème : Soient
et
et
trois
-e.v. de bases respectives
et
et
. Alors,
et
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Chapitre III : Application Linéaire
et
Exemple : Soit
muni de la base canonique
et
muni de la base canonique
. Et soient les applications linéaires :
Tout calcul fait on obtient :
Et effectivement :
Théorème : Soient
sont inversibles,
Exemple : Soit
un
-e.v. de base
et
deux automorphismes de
. Donc,
et
et
muni de la base canonique
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et soit les applications linéaires :
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Comme
Chapitre III : Application Linéaire
, alors
et
sont inversibles.
Ainsi,
On remarque que :
et
Théorème : Soient
et
deux
-e.v. de bases respectives
et
et
Alors,
6 Changement de bases
6.1 Matrice de passage d’une base à une nouvelle base
Soit
un -e.v. muni de deux bases
et
On appelle la matrice de passage de la base
à la base
matrice du système
, ou encore, la matrice
relativement à la base
l’application linéaire identité dans
, notée
, relativement aux bases
, la matrice
:
: matrice associée à
. Par exemple, si
Alors,
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Chapitre III : Application Linéaire
On construit la matrice de passage colonne par colonne ; les vecteurs colonnes sont formés par les
composantes des vecteurs
Remarque :
de la base
.
Théorème : la matrice de passage de la base
passage de la base
Exemple : Dans
et
dans la base
à la base
est inversible et son inverse est la matrice de
à la base
, on considère la base canonique
et la base
avec
Comme
Alors,
Pour déterminer la matrice
Ou encore, on écrit les vecteurs
on procède de deux façons :
dans la base
:
et ainsi,
6.2 Coordonnées d’un vecteur relativement à une nouvelle base
Soit

un -e.v. muni de deux bases
On considère un vecteur
et
s’écrivant dans la base
comme suit,
étant la matrice unicolonne formée par les composantes du vecteur
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avec,
dans la base
.
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
Ce même vecteur
Chapitre III : Application Linéaire
s'écrit dans la base
comme suit,
étant la matrice unicolonne formée par les composantes du vecteur
On cherche un lien entre les composantes
et les composantes
dans la base
.
Comme,
et
Alors,
C'est-à-dire,
En pratique, nous connaissons les anciennes composantes
. Comme la matrice de passage
et nous désirons déterminer les nouvelles
est inversible et
alors,
Ainsi,
La matrice
permet donc d'exprimer les composantes du vecteur
dans la nouvelle base
en fonction de ses composantes dans l’ancienne base
Exemple : Dans
, on considère la base canonique
et la base
avec
et
On a :
et
Soit,
.

dans la base ,
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
dans la base
Chapitre III : Application Linéaire
,
Première méthode : on a,
Deuxième méthode :
Donc,
6.3 Matrice associée à une application linéaire relativement aux nouvelles bases
Soit
un -e.v. muni de deux bases
et
Soit
un -e.v. muni de deux bases
et
Soit
Théorème (écriture matricielle) :

Au vecteur
on associe la matrice formée par les composantes de
dans la base

:
Au vecteur
on associe la matrice
composantes de
Le vecteur
Comme,
dans la base
formée par les
:
se décompose dans la base
:
et
Alors,
C'est-à-dire,
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Chapitre III : Application Linéaire
Ainsi,
Exemple : Soient
et
l’application
munis des bases canoniques
et
. Et soit
définie par :
et dont la matrice associée est donnée par :
On pose :
dans la base
dans la base
On a :
Théorème : On pose,
: Matrice de passage de la base
à la base
: Matrice de passage de la base
à la base
: Matrice associée à
relativement aux bases
et
: Matrice associée à
relativement aux bases
et
Comme,
Alors,
Ainsi,
Exemple :
muni de la base canonique
et la base
avec,
Ainsi,
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muni de la base canonique
et la base
avec,
On remarque que :
Ainsi,
On considère l’application
et
définie par :
et dont la matrice associée à f relativement aux bases
La matrice associée à f relativement aux bases
et
:
et
En effet :
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