www.fsjesr.ac.ma
Filière des Sciences Économiques et de Gestion
Tronc commun
Pr. Amale LAHLOU
Session Universitaire : Printemps-Été, 2014-2015
Semestre II / Section A
Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Contrôle Final
(Durée : 2 heures)
Toute réponse doit être justifiée, faute de quoi elle ne sera pas comptée ;
La clarté de la rédaction est un élément important dans l'appréciation des copies ;
Les calculatrices non-programmables sont autorisées à titre strictement personnel.
Partie I – Algèbre linéaire
Exercice 1 : On note par 03, la matrice nulle d’ordre 3, et I3, la matrice unitaire d’ordre 3.
Soient et deux matrices carrées d’ordre 3 données par :
=1 1 0
1 0 1
2 0 1 et =011
3 1 1
0 2 1
1. Montrer que B = AA2I3 puis calculer la matrice produit AB ;
2. En déduire que la matrice A est inversible, puis déterminer son inverse A1 ;
3. Montrer que la matrice A vérifie la relation : 322+ 33 = 03 ;
4. À l’aide de la relation établie à la question 3, donner l’expression de la matrice A1 ;
5. À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouver la matrice inverse 1 ;
6. Résoudre dans 3, le système linéaire = où =1,2,3 et =1,2,4.
Exercice 2 : Soit =1,2,3, la base canonique de 3. On considère trois vecteurs
1=1,0, 3, 2=0,1, 2 et 3= (1,1,1)
1. Déterminer le rang du système =1 , 2 , 3 ;
2. Montrer que le sous-ensemble donné ci-dessous est un sous-espace vectoriel de 3 :
=,,3 3+ 2+= 0
3. Déterminer une base ′ de .n déduire la dimension de ;
4. Dans la base ′, déterminer les coordonnées du vecteur =3, 8, 25.
Exercice 3 : Soient , la base canonique de 3, et , l’endomorphisme de 3 dont la matrice
associée, relativement aux bases canoniques, est donnée par :
=1 0 1
011
32 1
1. Donner l’expression analytique de l’application linéaire ;
2. Calculer le rang de ;
3. est-elle un automorphisme de 3 ?