Contrôle Final Partie I – Algèbre linéaire

www.fsjesr.ac.ma
Filière des Sciences Économiques et de Gestion
Tronc commun
Pr. Amale LAHLOU
Session Universitaire : Printemps-Été, 2014-2015
Semestre II / Section A
Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Contrôle Final
(Durée : 2 heures)
 Toute réponse doit être justifiée, faute de quoi elle ne sera pas comptée ;
 La clarté de la rédaction est un élément important dans l'appréciation des copies ;
 Les calculatrices non-programmables sont autorisées à titre strictement personnel.
Partie I – Algèbre linéaire
Exercice 1 : On note par 03 , la matrice nulle d’ordre 3, et I3 , la matrice unitaire d’ordre 3.
Soient 𝐴 et 𝐵 deux matrices carrées d’ordre 3 données par :
1 1 0
0 −1 −1
𝐴 = 1 0 −1
et 𝐵 = −3 1
1
2 0 1
0
2 −1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Montrer que B = A A − 2I3 puis calculer la matrice produit AB ;
En déduire que la matrice A est inversible, puis déterminer son inverse A−1 ;
Montrer que la matrice A vérifie la relation : 𝐴3 − 2𝐴2 + 3𝐼3 = 03 ;
À l’aide de la relation établie à la question 3, donner l’expression de la matrice A−1 ;
À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouver la matrice inverse 𝐴−1 ;
Résoudre dans ℝ3 , le système linéaire 𝐴𝑋 = 𝑏 où 𝑋 𝑡 = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 et 𝑏 𝑡 = 1,2,4 .
Exercice 2 : Soit 𝐵 = 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , la base canonique de ℝ3 . On considère trois vecteurs ∶
𝑢1 = 1,0, −3 ,
𝑢2 = 0,1, −2
et
𝑢3 = (−1,1,1)
1. Déterminer le rang du système 𝑆 = 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ;
2. Montrer que le sous-ensemble 𝐹 donné ci-dessous est un sous-espace vectoriel de ℝ3 :
𝐹 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 ∶
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
3. Déterminer une base 𝐵′ de 𝐹. 𝐸n déduire la dimension de 𝐹 ;
4. Dans la base 𝐵′, déterminer les coordonnées du vecteur 𝑣 = 3, 8, −25 ∈ 𝐹.
Exercice 3 : Soient 𝐵, la base canonique de ℝ3 , et 𝑓, l’endomorphisme de ℝ3 dont la matrice
associée, relativement aux bases canoniques, est donnée par :
1
0 −1
𝑀 𝑓𝐵 = 0
1
1
−3 −2 1
1. Donner l’expression analytique de l’application linéaire 𝑓 ;
2. Calculer le rang de 𝑓 ;
3. 𝑓 est-elle un automorphisme de ℝ3 ?
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Partie II – Mathématiques Financières
Exercice 1 : On place un montant de 10 000,00 DH du 03 Avril au 12 Septembre de la
même année à un taux d’intérêt simple annuel de 6 % (date de valeur (𝑗 + 1) pour la date de
dépôt ; (𝑗 − 1) pour la date de retrait). Déterminer le montant de l’intérêt produit à
l’échéance.
Exercice 2 : Quelle est la valeur actuelle d’un capital de 25 400,00 DH placé au taux
d’intérêt composé annuel de 6,4 % et payable dans 6 mois ?
Exercice 3 : On emprunte 100 000,00 DH en s’engageant à la rembourser au taux mensuel de
1% en des mensualités consécutives de 8 159,00 DH. Le premier versement ayant lieu le jour
de l’encaissement des fonds. Quel est le nombre nécessaire de mois pour rembourser cet
emprunt ?
Exercice 4 : Pour constituer un fonds d’épargne, une personne s’engage à verser à une banque
3 000,00 DH au début de chaque année. La première annuité est versée le 01 janvier 2008 à la
date de signature du contrat. Calculer le montant du fonds d’épargne ainsi constitué au 31
décembre 2015 aux taux de 10 % l’an.
Bonne Chance
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Partie I – Algèbre Linéaire
Solution 1 :
1. Considérons les matrices carrées d’ordre 3 données par :
1 1 0
0 −1
𝐴 = 1 0 −1
et 𝐵 = −3 1
2 0 1
0
2
Calculons les matrices suivantes :
−1 1
0
1 1 0
1 0 0
A − 2I3 = 1 0 −1 − 2 0 1 0 = 1 −2 −1
2
0 −1
2 0 1
0 0 1
−1 1
0
0 −1 −1
1 1 0
A A − 2I3 = 1 0 −1
1 −2 −1 = −3 1
1
2
0 −1
0
2 −1
2 0 1
AB =
1 1
1 0
2 0
0
−1
1
−1
1
−1
=B
0 −1 −1
−3 0
0
−3 1
1 = 0 −3 0 = −3I3
0
2 −1
0
0 −3
2. Comme 𝐴𝐵 = −3𝐼3 alors 𝐴
−1
3
𝐵 = 𝐼3 . Ainsi, 𝐴 est inversible et son inverse est donné
par :
−1
−1 0 −1 −1
𝐴 =
𝐵=
−3 1
1
3
3
0
2 −1
3. On sait que toute matrice carrée d’ordre 3 vérifie la relation :
−𝐴3 + 𝑡𝑟 𝐴 𝐴2 − 𝛼 𝐴 𝐴 + det 𝐴 𝐼3 = 03
avec, 𝑡𝑟 𝐴 = 1 + 0 + 1 = 2
0 −1
1 1
1 0
𝛼 𝐴 = 𝑀11 + 𝑀22 + 𝑀33 =
+
+
= 0
0 1
1 0
2 1
1 −1
det 𝐴 = −
= −3
2 1
Ainsi, −𝐴3 + 2𝐴2 − 3𝐼3 = 03
C'est-à-dire, 𝐴3 − 2𝐴2 + 3𝐼3 = 03 .
ou encore :
𝐴𝐵 = −3𝐼3 ⟹ 𝐴𝐴 𝐴 − 2𝐼3 = −3𝐼3 ⟹ 𝐴3 − 2𝐴2 + 3𝐼3 = 03
4. À l’aide de la relation établie à la question 3, donnons l’expression de la matrice 𝐴−1 :
𝐴3 − 2𝐴2 + 3𝐼3 = 03 ⟹ 𝐴3 − 2𝐴2 = −3𝐼3
−1 2
⟹ 𝐴
𝐴 − 2𝐴 = 𝐼3
3
−1 2
⟹ 𝐴−1 =
𝐴 − 2𝐴
3
−1
⟹ 𝐴−1 =
A A − 2I3
3
−1
⟹ 𝐴−1 =
𝐵
3
Ainsi,
−1
−1 0 −1 −1
−1
𝐴 =
𝐵=
−3 1
1
3
3
0
2 −1
−1
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5. À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouvons la matrice inverse 𝐴−1 : comme
det 𝐴 = −3 ≠ 0 alors,
1
𝐴−1 =
𝑐𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑡 (𝐴)
𝑑𝑒𝑡⁡
(𝐴)
où,
0 −1
1 −1
1 0
+
−
+
0 1
2 1
2 0
0 −3 0
1 0
1 1
1 0
𝑐𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝐴 =
−
+
−
= −1 1
2
0 1
2 0
2 1
−1 1 −1
1 0
1 1
1 0
+
−
+
0 −1
1 −1
1 0
0 −1 −1
𝑐𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑡 (𝐴) =
−3 1
1
0
2 −1
Ainsi,
−1 0 −1 −1
−1
𝐴−1 =
B.
−3 1
1 =
3
3
0
2 −1
6. Résolution dans ℝ3 , via la méthode de Cramer, du système 𝑆 ∶ AX = b avec,
1 1
𝐴= 1 0
2 0
0
−1 ,
1
𝑥1
𝑥
𝑋= 2
𝑥3
1
𝑒𝑡 𝑏 = 2
4
Puisque la matrice A est inversible (voir question 2), alors
est donnée par :
−1 0 −1 −1
𝑋 = 𝐴−1 𝑏 =
−3 1
1
3
0
2 −1
L’ensemble des solutions est un singleton : 𝑆𝑜𝑙 =
l’unique solution du système 𝑆
2
1
=
−1
2
0
4
2, −1,0
Solution 2 :
1. 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑆 = 3. Calculons 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆
1
0 −1
1 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 = 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑀(𝑆) = 𝑟𝑎𝑛𝑔 0
1
1 ≤3
−3 −2 1
comme
1
0 −1
0
1
1 1
−
= 3 − 3 = 0,
0
1
1 =
−3 −2
−2 1
−3 −2 1
1 0
alors 1 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 ≤ 2. Et comme,
= 1 ≠ 0 alors, 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 = 2.
0 1
2. Comme,
𝐹 =
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 ∶
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
3
=
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ ∶
𝑧 = −3𝑥 − 2𝑦
=
𝑥, 𝑦, −3𝑥 − 2𝑦 ∶
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
= 𝑥 1,0, −3 + 𝑦 0,1, −2 ∶ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
=
1,0, −3 , 0,1, −2
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Alors, 𝐹 est un sous-espace vectoriel de ℝ3 engendré par le système
1,0, −3 , 0,1, −2 .
3. Comme,

la famille 𝐵 ′ = 1,0, −3 , 0,1, −2 est une famille génératrice du sous-espace
vectoriel 𝐹

𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐵′ = 2 = 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒(𝐵′)
alors, la famille 𝐵′ est une base de 𝐹 et dim 𝐹 = 2.
4. Comme, 𝐵 ′ = 𝑢1 , 𝑢2 est une base de 𝐹 alors, pour tout vecteur 𝑣 de 𝐹,
∃! 𝜆1 , 𝜆2 ℝ 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑣 = 𝜆1 𝑢1 + 𝜆2 𝑢2
En particulier, pour le vecteur 𝑣 = 3,8, −25 ∈ 𝐹
𝑣 = 𝜆1 𝑢1 + 𝜆2 𝑢2
⟺
⟺
⟺
⟺
⟺
𝑣 = 𝜆1 𝑢1 + 𝜆2 𝑢2
3,8, −25 = 𝜆1 1,0, −3 + 𝜆2 0,1, −2
3,8, −25 = 𝜆1 , 𝜆2 , −3𝜆1 − 2𝜆2
3
= 𝜆1
8
= 𝜆2
−25 = −3𝜆1 − 2𝜆2
𝜆1 = 3
𝜆2 = 8
Ainsi, 𝑣 = 3𝑢1 + 8𝑢2 .On écrit 𝑣𝐵′ = (3,8).
Solution 3 : Soient 𝐵, la base canonique de ℝ3 , et 𝑓, l’endomorphisme de ℝ3 dont la matrice
associée, relativement aux bases canoniques, est donnée par :
1
0 −1
𝑀 𝑓𝐵 = 0
1
1
−3 −2 1
1. Donnons l’expression analytique de l’application linéaire 𝑓 :
𝑦1
1
0 −1 𝑥1
𝑦2 = 0
𝑥2
𝑌=𝑀 𝑓𝐵 𝑋 ⟺
1
1
𝑦3
𝑥3
−3 −2 1
𝑥1 − 𝑥3
𝑦1
𝑥2 + 𝑥3
𝑦2 =
⟺
𝑦3
−3𝑥1 − 2𝑥2 +𝑥3
Donc,
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 − 𝑥3 , 𝑥2 + 𝑥3 , −3𝑥1 − 2𝑥2 +𝑥3
2. Calculons le rang de 𝑓 : d’après l’exercice 2,
1
0 −1
0
1
1 =2
−3 −2 1
3. 𝑓 n’est pas un automorphisme de ℝ3 puisque 𝑓 n’est pas bijective. En effet, 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 ≠
3 = dim ℝ3 .
𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 = 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑀 𝑓 𝐵
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= 𝑟𝑎𝑛𝑔
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Solution 1 : On pose 𝐶0 = 10 000,00 𝑑𝑕𝑠, 𝑖𝑎 = 6 % par an. Dans ces conditions, le
placement est considéré comme effectif du 04 Avril au 11 Septembre, soit 160 jours. Ainsi,
l’intérêt simple 𝐼𝑛 produit à l’échéance est donné par :
6
𝑖𝑎
𝐼𝑛 = 𝐶0 𝑖𝑗 𝑛 = 𝐶0
𝑛 = 10 000,00 × 100 × 160 = 266,67 𝑑𝑕𝑠
360
360
Solution 2 : On pose 𝐶 = 25 400,00, 𝑖𝑎 = 6,4% et 𝑛 = 6 mois.
𝑉𝐴 = 𝐶 1 + 𝑖𝑚 −6
or
1 + 𝑖𝑎
= 1 + 𝑖𝑚
12
⟹ 1 + 𝑖𝑚
−6
= 1 + 𝑖𝑎
1
−
2
Ainsi,
𝑉𝐴 = 𝐶 1 + 𝑖𝑎
1
−
2
6,4
= 25 400,00 1 +
100
1
−
2
= 24 624,24 𝐷𝐻
Solution 3 : On travaille avec la formule de la valeur actuelle au début de période. On pose :
𝑉𝐴′ = 100 000,00 DH, 𝑎 = 8 159,00 𝐷𝐻 et 𝑖𝑚 = 1 % mensuel. 𝑛 =? mois
Par simple application de la formule :
1 − 1 + 𝑖𝑚 −𝑛
𝑉𝐴′ 𝑖𝑚
𝑉𝐴′ = 𝑎 1 + 𝑖𝑚
⟹
1 + 𝑖𝑚 −𝑛 = 1 −
𝑖𝑚
𝑎 1 + 𝑖𝑚
Donc,
𝑉𝐴′ 𝑖
− ln 1 − 𝑎 1 +𝑚𝑖
− ln 0.879
− ln 0,879
𝑚
𝑛=
⟹ 𝑛=
=
≈ 13 mois
ln⁡
(1 + 𝑖𝑚 )
ln 1 + 𝑖𝑚
ln 1,01
Ainsi, le nombre d’annuités sera de 13 mois
Solution 4 : On travaille avec la formule de la valeur acquise au début de période. On pose :
𝑉8′ =? DH, 𝑎 = 3 000,00 𝐷𝐻 et 𝑖𝑎 = 10 % annuel. 𝑛 = 8 ans
Par simple application de la formule :
3 000 𝐷𝐻 3 000 𝐷𝐻
01/01/2008
𝑉8′
01/01/2009
= 𝑎 1 + 𝑖𝑎
3 000 𝐷𝐻 3 000 𝐷𝐻
01/01/2010
01/01/20011
3 000 𝐷𝐻
01/01/2012
3 000 𝐷𝐻 3 000 𝐷𝐻
01/01/2013
1 + 𝑖𝑎 8 − 1
10
= 3 000,00 1 +
𝑖𝑎
100
Le montant du fonds d’épargne est 37 738.43 𝐷𝐻.
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01/01/2014
10
1 + 100
3 000 𝐷𝐻
01/01/2015
10
100
8
31/12/2015
𝑉n′
−1
= 37 738.43 𝐷𝐻
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