Contrôle Final Partie I – Algèbre linéaire
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Filière des Sciences Économiques et de Gestion
Tronc commun
Pr. Amale LAHLOU
Session Universitaire : Printemps-Été, 2014-2015
Semestre II / Section A
Module 13
:
Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Contrôle Final
(Durée : 2 heures)
Toute réponse doit être justifiée, faute de quoi elle ne sera pas comptée ;
La clarté de la rédaction est un élément important dans l'appréciation des copies ;
Les calculatrices non-programmables sont autorisées à titre strictement personnel.
Partie I – Algèbre linéaire
Exercice 1 : On note par 03, la matrice nulle d’ordre 3, et I3, la matrice unitaire d’ordre 3.
Soient et deux matrices carrées d’ordre 3 données par :
=1 1 0
1 0 1
2 0 1 et =011
3 1 1
0 2 1
1. Montrer que B = AA2I3 puis calculer la matrice produit AB ;
2. En déduire que la matrice A est inversible, puis déterminer son inverse A1 ;
3. Montrer que la matrice A vérifie la relation : 322+ 33 = 03 ;
4. À l’aide de la relation établie à la question 3, donner l’expression de la matrice A1 ;
5. À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouver la matrice inverse 1 ;
6. Résoudre dans 3, le système linéaire = où =1,2,3 et =1,2,4.
Exercice 2 : Soit =1,2,3, la base canonique de 3. On considère trois vecteurs
1=1,0, 3, 2=0,1, 2 et 3= (1,1,1)
1. Déterminer le rang du système =1 , 2 , 3 ;
2. Montrer que le sous-ensemble donné ci-dessous est un sous-espace vectoriel de 3 :
=,,3 3+ 2+= 0
3. Déterminer une base ′ de .n déduire la dimension de ;
4. Dans la base ′, déterminer les coordonnées du vecteur =3, 8, 25.
Exercice 3 : Soient , la base canonique de 3, et , l’endomorphisme de 3 dont la matrice
associée, relativement aux bases canoniques, est donnée par :
=1 0 1
011
32 1
1. Donner l’expression analytique de l’application linéaire ;
2. Calculer le rang de ;
3. est-elle un automorphisme de 3 ?
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Partie II – Mathématiques Financières
Exercice 1 : On place un montant de 10 000,00 DH du 03 Avril au 12 Septembre de la
même année à un taux d’intérêt simple annuel de 6 % (date de valeur (+ 1) pour la date de
dépôt ; (1) pour la date de retrait). Déterminer le montant de l’intérêt produit à
l’échéance.
Exercice 2 : Quelle est la valeur actuelle d’un capital de 25 400,00 DH placé au taux
d’intérêt composé annuel de 6,4 % et payable dans 6 mois ?
Exercice 3 : On emprunte 100 000,00 DH en s’engageant à la rembourser au taux mensuel de
1% en des mensualités consécutives de 8 159,00 DH. Le premier versement ayant lieu le jour
de l’encaissement des fonds. Quel est le nombre nécessaire de mois pour rembourser cet
emprunt ?
Exercice 4 : Pour constituer un fonds d’épargne, une personne s’engage à verser à une banque
3 000,00 DH au début de chaque année. La première annuité est versée le 01 janvier 2008 à la
date de signature du contrat. Calculer le montant du fonds d’épargne ainsi constitué au 31
décembre 2015 aux taux de 10 % l’an.
Bonne Chance
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Partie I – Algèbre Linéaire
Solution 1 :
1. Considérons les matrices carrées d’ordre 3 données par :
=1 1 0
1 0 1
2 0 1 et =011
3 1 1
0 2 1
Calculons les matrices suivantes :
A2I3=1 1 0
1 0 1
2 0 1 2100
010
001=1 1 0
121
2 0 1
AA2I3=1 1 0
1 0 1
2 0 1 1 1 0
121
2 0 1=011
3 1 1
0 2 1= B
AB =1 1 0
1 0 1
2 0 1 011
3 1 1
0 2 1=3 0 0
03 0
0 0 3=3I3
2. Comme =33 alors 1
3=3. Ainsi, est inversible et son inverse est donné
par : 1=1
3=1
3011
3 1 1
0 2 1
3. On sait que toute matrice carrée d’ordre 3 vérifie la relation :
3+2+ det3= 03
avec, = 1 + 0 + 1 = 2
=11 +22 +33 =01
0 1 +1 0
2 1+1 1
1 0= 0
det=11
2 1 =3
Ainsi, 3+ 2233= 03
C'est-à-dire, 322+ 33= 03.
ou encore : =3323=33322+ 33= 03
4. À l’aide de la relation établie à la question 3, donnons l’expression de la matrice 1 :
322+ 33= 03 322=33
1
322=3
1=1
322
1=1
3AA2I3
1=1
3
Ainsi, 1=1
3=1
3011
3 1 1
0 2 1
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5. À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouvons la matrice inverse 1 : comme
det=30 alors, 1=1
()()
où,
=
+01
0 1 11
2 1 +1 0
2 0
1 0
0 1+1 0
2 1 1 1
2 0
+1 0
01 1 0
11+1 1
1 0
=03 0
1 1 2
1 1 1
() = 011
3 1 1
0 2 1
Ainsi, 1=1
3011
3 1 1
0 2 1=1
3B.
6. Résolution dans 3, via la méthode de Cramer, du système AX = b avec,
=1 1 0
1 0 1
2 0 1 , =1
2
3 =1
2
4
Puisque la matrice A est inversible (voir question 2), alors l’unique solution du système
est donnée par : =1=1
3011
3 1 1
0 2 11
2
4=2
1
0
L’ensemble des solutions est un singleton : =2, 1,0
Solution 2 :
1. = 3. Calculons
1=()=1 0 1
011
32 1 3
comme 1 0 1
0 1 1
32 1 =1 1
2 10 1
32= 3 3 = 0,
alors 1 2. Et comme, 1 0
0 1= 1 0 alors, = 2.
2. Comme, =,,3 3+ 2+= 0
=,,3 =32
=,,32 ,
=1,0, 3+0,1, 2 ,
=1,0, 3,0,1, 2
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Alors, est un sous-espace vectoriel de 3 engendré par le système 1,0, 3,0,1, 2.
3. Comme,
la famille =1,0, 3,0,1, 2 est une famille génératrice du sous-espace
vectoriel
= 2 = ()
alors, la famille est une base de et dim= 2.
4. Comme, =1,2 est une base de alors, pour tout vecteur de ,
!1,2 =11+22
En particulier, pour le vecteur =3,8, 25
=11+22 =11+22
3,8, 25=11,0, 3+20,1, 2
3,8, 25=1,2,3122
3 = 1
8 = 2
25 =3122
1= 3
2= 8
Ainsi, = 31+ 82 .On écrit = (3,8).
Solution 3 : Soient , la base canonique de 3, et , l’endomorphisme de 3 dont la matrice
associée, relativement aux bases canoniques, est donnée par :
=1 0 1
011
32 1
1. Donnons l’expression analytique de l’application linéaire :
= 1
2
3=1 0 1
011
32 1 1
2
3
1
2
3=13
2+3
3122+3
Donc, 1 , 2 , 3=13 , 2+3,3122+3
2. Calculons le rang de : d’après l’exercice 2,
==1 0 1
011
32 1 = 2
3. n’est pas un automorphisme de 3 puisque n’est pas bijective. En effet,
3 = dim3.
6
1
/
6
100%
