www.fsjesr.ac.ma Filière des Sciences Économiques et de Gestion Tronc commun Pr. Amale LAHLOU Session Universitaire : Printemps-Été, 2014-2015 Semestre II / Section A Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières Contrôle Final (Durée : 2 heures) Toute réponse doit être justifiée, faute de quoi elle ne sera pas comptée ; La clarté de la rédaction est un élément important dans l'appréciation des copies ; Les calculatrices non-programmables sont autorisées à titre strictement personnel. Partie I – Algèbre linéaire Exercice 1 : On note par 03 , la matrice nulle d’ordre 3, et I3 , la matrice unitaire d’ordre 3. Soient 𝐴 et 𝐵 deux matrices carrées d’ordre 3 données par : 1 1 0 0 −1 −1 𝐴 = 1 0 −1 et 𝐵 = −3 1 1 2 0 1 0 2 −1 1. 2. 3. 4. 5. 6. Montrer que B = A A − 2I3 puis calculer la matrice produit AB ; En déduire que la matrice A est inversible, puis déterminer son inverse A−1 ; Montrer que la matrice A vérifie la relation : 𝐴3 − 2𝐴2 + 3𝐼3 = 03 ; À l’aide de la relation établie à la question 3, donner l’expression de la matrice A−1 ; À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouver la matrice inverse 𝐴−1 ; Résoudre dans ℝ3 , le système linéaire 𝐴𝑋 = 𝑏 où 𝑋 𝑡 = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 et 𝑏 𝑡 = 1,2,4 . Exercice 2 : Soit 𝐵 = 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , la base canonique de ℝ3 . On considère trois vecteurs ∶ 𝑢1 = 1,0, −3 , 𝑢2 = 0,1, −2 et 𝑢3 = (−1,1,1) 1. Déterminer le rang du système 𝑆 = 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ; 2. Montrer que le sous-ensemble 𝐹 donné ci-dessous est un sous-espace vectoriel de ℝ3 : 𝐹 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 ∶ 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0 3. Déterminer une base 𝐵′ de 𝐹. 𝐸n déduire la dimension de 𝐹 ; 4. Dans la base 𝐵′, déterminer les coordonnées du vecteur 𝑣 = 3, 8, −25 ∈ 𝐹. Exercice 3 : Soient 𝐵, la base canonique de ℝ3 , et 𝑓, l’endomorphisme de ℝ3 dont la matrice associée, relativement aux bases canoniques, est donnée par : 1 0 −1 𝑀 𝑓𝐵 = 0 1 1 −3 −2 1 1. Donner l’expression analytique de l’application linéaire 𝑓 ; 2. Calculer le rang de 𝑓 ; 3. 𝑓 est-elle un automorphisme de ℝ3 ? Page 1/2 Pr. Amale LAHLOU Contrôle Final Session Universitaire Printemps-Été, 2014/2015 Partie II – Mathématiques Financières Exercice 1 : On place un montant de 10 000,00 DH du 03 Avril au 12 Septembre de la même année à un taux d’intérêt simple annuel de 6 % (date de valeur (𝑗 + 1) pour la date de dépôt ; (𝑗 − 1) pour la date de retrait). Déterminer le montant de l’intérêt produit à l’échéance. Exercice 2 : Quelle est la valeur actuelle d’un capital de 25 400,00 DH placé au taux d’intérêt composé annuel de 6,4 % et payable dans 6 mois ? Exercice 3 : On emprunte 100 000,00 DH en s’engageant à la rembourser au taux mensuel de 1% en des mensualités consécutives de 8 159,00 DH. Le premier versement ayant lieu le jour de l’encaissement des fonds. Quel est le nombre nécessaire de mois pour rembourser cet emprunt ? Exercice 4 : Pour constituer un fonds d’épargne, une personne s’engage à verser à une banque 3 000,00 DH au début de chaque année. La première annuité est versée le 01 janvier 2008 à la date de signature du contrat. Calculer le montant du fonds d’épargne ainsi constitué au 31 décembre 2015 aux taux de 10 % l’an. Bonne Chance Semestre II / Section A Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières Page 2/2 Pr. Amale LAHLOU Contrôle Final Session Universitaire Printemps-Été, 2014/2015 Partie I – Algèbre Linéaire Solution 1 : 1. Considérons les matrices carrées d’ordre 3 données par : 1 1 0 0 −1 𝐴 = 1 0 −1 et 𝐵 = −3 1 2 0 1 0 2 Calculons les matrices suivantes : −1 1 0 1 1 0 1 0 0 A − 2I3 = 1 0 −1 − 2 0 1 0 = 1 −2 −1 2 0 −1 2 0 1 0 0 1 −1 1 0 0 −1 −1 1 1 0 A A − 2I3 = 1 0 −1 1 −2 −1 = −3 1 1 2 0 −1 0 2 −1 2 0 1 AB = 1 1 1 0 2 0 0 −1 1 −1 1 −1 =B 0 −1 −1 −3 0 0 −3 1 1 = 0 −3 0 = −3I3 0 2 −1 0 0 −3 2. Comme 𝐴𝐵 = −3𝐼3 alors 𝐴 −1 3 𝐵 = 𝐼3 . Ainsi, 𝐴 est inversible et son inverse est donné par : −1 −1 0 −1 −1 𝐴 = 𝐵= −3 1 1 3 3 0 2 −1 3. On sait que toute matrice carrée d’ordre 3 vérifie la relation : −𝐴3 + 𝑡𝑟 𝐴 𝐴2 − 𝛼 𝐴 𝐴 + det 𝐴 𝐼3 = 03 avec, 𝑡𝑟 𝐴 = 1 + 0 + 1 = 2 0 −1 1 1 1 0 𝛼 𝐴 = 𝑀11 + 𝑀22 + 𝑀33 = + + = 0 0 1 1 0 2 1 1 −1 det 𝐴 = − = −3 2 1 Ainsi, −𝐴3 + 2𝐴2 − 3𝐼3 = 03 C'est-à-dire, 𝐴3 − 2𝐴2 + 3𝐼3 = 03 . ou encore : 𝐴𝐵 = −3𝐼3 ⟹ 𝐴𝐴 𝐴 − 2𝐼3 = −3𝐼3 ⟹ 𝐴3 − 2𝐴2 + 3𝐼3 = 03 4. À l’aide de la relation établie à la question 3, donnons l’expression de la matrice 𝐴−1 : 𝐴3 − 2𝐴2 + 3𝐼3 = 03 ⟹ 𝐴3 − 2𝐴2 = −3𝐼3 −1 2 ⟹ 𝐴 𝐴 − 2𝐴 = 𝐼3 3 −1 2 ⟹ 𝐴−1 = 𝐴 − 2𝐴 3 −1 ⟹ 𝐴−1 = A A − 2I3 3 −1 ⟹ 𝐴−1 = 𝐵 3 Ainsi, −1 −1 0 −1 −1 −1 𝐴 = 𝐵= −3 1 1 3 3 0 2 −1 −1 Semestre II / Section A Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières Page 3/2 Pr. Amale LAHLOU Contrôle Final Session Universitaire Printemps-Été, 2014/2015 5. À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouvons la matrice inverse 𝐴−1 : comme det 𝐴 = −3 ≠ 0 alors, 1 𝐴−1 = 𝑐𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑡 (𝐴) 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) où, 0 −1 1 −1 1 0 + − + 0 1 2 1 2 0 0 −3 0 1 0 1 1 1 0 𝑐𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝐴 = − + − = −1 1 2 0 1 2 0 2 1 −1 1 −1 1 0 1 1 1 0 + − + 0 −1 1 −1 1 0 0 −1 −1 𝑐𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑡 (𝐴) = −3 1 1 0 2 −1 Ainsi, −1 0 −1 −1 −1 𝐴−1 = B. −3 1 1 = 3 3 0 2 −1 6. Résolution dans ℝ3 , via la méthode de Cramer, du système 𝑆 ∶ AX = b avec, 1 1 𝐴= 1 0 2 0 0 −1 , 1 𝑥1 𝑥 𝑋= 2 𝑥3 1 𝑒𝑡 𝑏 = 2 4 Puisque la matrice A est inversible (voir question 2), alors est donnée par : −1 0 −1 −1 𝑋 = 𝐴−1 𝑏 = −3 1 1 3 0 2 −1 L’ensemble des solutions est un singleton : 𝑆𝑜𝑙 = l’unique solution du système 𝑆 2 1 = −1 2 0 4 2, −1,0 Solution 2 : 1. 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑆 = 3. Calculons 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 1 0 −1 1 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 = 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑀(𝑆) = 𝑟𝑎𝑛𝑔 0 1 1 ≤3 −3 −2 1 comme 1 0 −1 0 1 1 1 − = 3 − 3 = 0, 0 1 1 = −3 −2 −2 1 −3 −2 1 1 0 alors 1 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 ≤ 2. Et comme, = 1 ≠ 0 alors, 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 = 2. 0 1 2. Comme, 𝐹 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 ∶ 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0 3 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ ∶ 𝑧 = −3𝑥 − 2𝑦 = 𝑥, 𝑦, −3𝑥 − 2𝑦 ∶ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ = 𝑥 1,0, −3 + 𝑦 0,1, −2 ∶ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ = 1,0, −3 , 0,1, −2 Semestre II / Section A Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières Page 4/2 Pr. Amale LAHLOU Contrôle Final Session Universitaire Printemps-Été, 2014/2015 Alors, 𝐹 est un sous-espace vectoriel de ℝ3 engendré par le système 1,0, −3 , 0,1, −2 . 3. Comme, la famille 𝐵 ′ = 1,0, −3 , 0,1, −2 est une famille génératrice du sous-espace vectoriel 𝐹 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐵′ = 2 = 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒(𝐵′) alors, la famille 𝐵′ est une base de 𝐹 et dim 𝐹 = 2. 4. Comme, 𝐵 ′ = 𝑢1 , 𝑢2 est une base de 𝐹 alors, pour tout vecteur 𝑣 de 𝐹, ∃! 𝜆1 , 𝜆2 ℝ 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑣 = 𝜆1 𝑢1 + 𝜆2 𝑢2 En particulier, pour le vecteur 𝑣 = 3,8, −25 ∈ 𝐹 𝑣 = 𝜆1 𝑢1 + 𝜆2 𝑢2 ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ 𝑣 = 𝜆1 𝑢1 + 𝜆2 𝑢2 3,8, −25 = 𝜆1 1,0, −3 + 𝜆2 0,1, −2 3,8, −25 = 𝜆1 , 𝜆2 , −3𝜆1 − 2𝜆2 3 = 𝜆1 8 = 𝜆2 −25 = −3𝜆1 − 2𝜆2 𝜆1 = 3 𝜆2 = 8 Ainsi, 𝑣 = 3𝑢1 + 8𝑢2 .On écrit 𝑣𝐵′ = (3,8). Solution 3 : Soient 𝐵, la base canonique de ℝ3 , et 𝑓, l’endomorphisme de ℝ3 dont la matrice associée, relativement aux bases canoniques, est donnée par : 1 0 −1 𝑀 𝑓𝐵 = 0 1 1 −3 −2 1 1. Donnons l’expression analytique de l’application linéaire 𝑓 : 𝑦1 1 0 −1 𝑥1 𝑦2 = 0 𝑥2 𝑌=𝑀 𝑓𝐵 𝑋 ⟺ 1 1 𝑦3 𝑥3 −3 −2 1 𝑥1 − 𝑥3 𝑦1 𝑥2 + 𝑥3 𝑦2 = ⟺ 𝑦3 −3𝑥1 − 2𝑥2 +𝑥3 Donc, 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 − 𝑥3 , 𝑥2 + 𝑥3 , −3𝑥1 − 2𝑥2 +𝑥3 2. Calculons le rang de 𝑓 : d’après l’exercice 2, 1 0 −1 0 1 1 =2 −3 −2 1 3. 𝑓 n’est pas un automorphisme de ℝ3 puisque 𝑓 n’est pas bijective. En effet, 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 ≠ 3 = dim ℝ3 . 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 = 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑀 𝑓 𝐵 Semestre II / Section A = 𝑟𝑎𝑛𝑔 Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières Page 5/2 Pr. Amale LAHLOU Contrôle Final Session Universitaire Printemps-Été, 2014/2015 Partie II – Mathématiques Financières Solution 1 : On pose 𝐶0 = 10 000,00 𝑑𝑠, 𝑖𝑎 = 6 % par an. Dans ces conditions, le placement est considéré comme effectif du 04 Avril au 11 Septembre, soit 160 jours. Ainsi, l’intérêt simple 𝐼𝑛 produit à l’échéance est donné par : 6 𝑖𝑎 𝐼𝑛 = 𝐶0 𝑖𝑗 𝑛 = 𝐶0 𝑛 = 10 000,00 × 100 × 160 = 266,67 𝑑𝑠 360 360 Solution 2 : On pose 𝐶 = 25 400,00, 𝑖𝑎 = 6,4% et 𝑛 = 6 mois. 𝑉𝐴 = 𝐶 1 + 𝑖𝑚 −6 or 1 + 𝑖𝑎 = 1 + 𝑖𝑚 12 ⟹ 1 + 𝑖𝑚 −6 = 1 + 𝑖𝑎 1 − 2 Ainsi, 𝑉𝐴 = 𝐶 1 + 𝑖𝑎 1 − 2 6,4 = 25 400,00 1 + 100 1 − 2 = 24 624,24 𝐷𝐻 Solution 3 : On travaille avec la formule de la valeur actuelle au début de période. On pose : 𝑉𝐴′ = 100 000,00 DH, 𝑎 = 8 159,00 𝐷𝐻 et 𝑖𝑚 = 1 % mensuel. 𝑛 =? mois Par simple application de la formule : 1 − 1 + 𝑖𝑚 −𝑛 𝑉𝐴′ 𝑖𝑚 𝑉𝐴′ = 𝑎 1 + 𝑖𝑚 ⟹ 1 + 𝑖𝑚 −𝑛 = 1 − 𝑖𝑚 𝑎 1 + 𝑖𝑚 Donc, 𝑉𝐴′ 𝑖 − ln 1 − 𝑎 1 +𝑚𝑖 − ln 0.879 − ln 0,879 𝑚 𝑛= ⟹ 𝑛= = ≈ 13 mois ln (1 + 𝑖𝑚 ) ln 1 + 𝑖𝑚 ln 1,01 Ainsi, le nombre d’annuités sera de 13 mois Solution 4 : On travaille avec la formule de la valeur acquise au début de période. On pose : 𝑉8′ =? DH, 𝑎 = 3 000,00 𝐷𝐻 et 𝑖𝑎 = 10 % annuel. 𝑛 = 8 ans Par simple application de la formule : 3 000 𝐷𝐻 3 000 𝐷𝐻 01/01/2008 𝑉8′ 01/01/2009 = 𝑎 1 + 𝑖𝑎 3 000 𝐷𝐻 3 000 𝐷𝐻 01/01/2010 01/01/20011 3 000 𝐷𝐻 01/01/2012 3 000 𝐷𝐻 3 000 𝐷𝐻 01/01/2013 1 + 𝑖𝑎 8 − 1 10 = 3 000,00 1 + 𝑖𝑎 100 Le montant du fonds d’épargne est 37 738.43 𝐷𝐻. Semestre II / Section A 01/01/2014 10 1 + 100 3 000 𝐷𝐻 01/01/2015 10 100 8 31/12/2015 𝑉n′ −1 = 37 738.43 𝐷𝐻 Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières Page 6/2