Contrôle de Rattrapage Partie I – Algèbre linéaire

www.fsjesr.ac.ma
Filière des Sciences Économiques et de Gestion
Tronc commun
Pr. Amale LAHLOU
Module 13 :
Session Universitaire : Printemps-Été, 2014-2015
Semestre II / Section A
Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Contrôle de Rattrapage
(Durée : 1 heure et demie)
 Toute réponse doit être justifiée, faute de quoi elle ne sera pas comptée ;
 La clarté de la rédaction est un élément important dans l'appréciation des copies ;
 Les calculatrices non-programmables sont autorisées à titre strictement personnel.
Partie I – Algèbre linéaire
Exercices 1 : On note par 03 , la matrice nulle d’ordre 3, et I3 , la matrice unitaire d’ordre 3.
Soit 𝐴 une matrice carrée d’ordre 3 donnée par :
0 2 −1
𝐴= 2 1
1
4 −1 −1
2
1. Calculer les matrices puissances A et A3 ;
2. En déduire que la matrice A est inversible, puis déterminer son inverse A−1 ;
3. Montrer que la matrice A vérifie la relation : −𝐴3 + 18 𝐼3 = 03 ;
4. À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouver la matrice inverse 𝐴−1 .
Exercice 2 : Soit 𝐵 = 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 la base canonique de ℝ3 .
1. Montrer que le sous-ensemble 𝐹 donné ci-dessous est un sous-espace vectoriel de ℝ3 ;
𝐹 = 𝑥 + 𝑧, −8𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧, 𝑦 + 2𝑧 ∶
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
2. Déterminer une base 𝐵′ de 𝐹 puis en déduire la dimension de 𝐹 ;
3. Dans la base 𝐵′, déterminer les coordonnées du vecteur 𝑣𝐵 = 4, −7,5 ∈ 𝐹.
Exercice 3 : Soient 𝐵 = 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , la base canonique de ℝ3 , et 𝑓, l’endomorphisme de ℝ3
dont les images des vecteurs de la base 𝐵 sont données par :
𝑓 𝑒1 = 1, −8,0 , 𝑓 𝑒2 = 0,5,1 𝑓 𝑒3 = 1,2,2
1. Donner l’expression analytique de l’application linéaire 𝑓 ;
2. Calculer le rang de 𝑓 ;
3. En déduire 𝐼𝑚 𝑓 , l’ensemble image de 𝑓.
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Partie II – Mathématiques Financières
Exercice 1 : Quelle somme faut-il placer aujourd'hui, à intérêt simple, au taux annuel de 6%,
pour disposer de 1 027,00 DH dans 4 mois ?
Exercice 2 : Quelle somme d’argent pouvons-nous emprunter si, d’accord avec le créancier,
nous nous engageant à le rembourser au taux trimestriel de 2,50 % par le paiement de
12 trimestrialités égales à 4 350,00 DH chacune, le premier remboursement ayant lieu trois
mois après le remise des fonds ?
Exercice 3 : Combien faut-il verser d’annuités de 1 480,00 DH, capitalisées au taux 6,5 %
l’an, pour constituer un capital de 20 000,00 DH au moment du dernier versement ?
Bonne Chance
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Partie I – Algèbre linéaire
Solution 1:
1. Considérons la matrice carrée d’ordre 3 donnée par :
0 2 −1
𝐴= 2 1
1
4 −1 −1
Calculons les matrices puissances suivantes :
0 2 −1 0 2 −1
2
𝐴 =
2 1
1
2 1
1
4 −1 −1 4 −1 −1
0 3 3
=
6 4 −2
−6 8 −4
0 3 3
0 2 −1
3
𝐴 =
6 4 −2 2 1
1
−6 8 −4 4 −1 −1
18 0
0
=
0 18 0
0
0 18
= 18 I3
2. Comme 𝐴3 = 18 𝐼3 alors 𝐴
1
18
𝐴2 = 𝐼3 . Ainsi, 𝐴 est inversible et son inverse est donné
par :
0 3 3
𝐴
6 4 −2
−6 8 −4
3. On sait que toute matrice carrée d’ordre 3 vérifie la relation :
−𝐴3 + 𝑡𝑟 𝐴 𝐴2 − 𝛼 𝐴 𝐴 + det 𝐴 𝐼3 = 03
avec, 𝑡𝑟 𝐴 = 0 + 1 − 1 = 0
1
1
0 −1
0 2
𝛼 𝐴 = 𝑀11 + 𝑀22 + 𝑀33 =
+
+
−1 −1
4 −1
2 1
0 2 −1
2 1
2 1
det 𝐴 = 2 1
−1
= 18
1 = −2
4 −1
4 −1
4 −1 −1
Ainsi,
−𝐴3 + 18 𝐼3 = 03
ou encore, comme 𝐴3 = 18𝐼3 d’après la question 1, alors 𝐴3 − 18 𝐼3 = 03
−1
1 2
1
=
𝐴 =
18
18
=
0
4. À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouvons la matrice inverse 𝐴−1 : comme
det 𝐴 = 18 ≠ 0 alors,
1
𝐴−1 =
𝑐𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑡 (𝐴)
𝑑𝑒𝑡⁡
(𝐴)
où,
1
1
2 1
2 1
+
−
+
−1 −1
4 −1
4 −1
0 6 −6
2 −1
0 −1
0 2
𝑐𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝐴 =
−
+
−
= 3 4
8
−1 −1
4 −1
4 −1
3
−2
−4
2 −1
0 −1
0 2
+
−
+
1 1
2 1
2 1
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0 3 3
6 4 −2
−6 8 −4
𝑐𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑡 (𝐴) =
Ainsi,
𝐴−1 =
1
18
0 3 3
6 4 −2
−6 8 −4
Solution 2 :
1. Comme,
𝐹
=
=
=
𝑥 + 𝑧, −8𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧, 𝑦 + 2𝑧 ∶
𝑥 1, −8,0 + 𝑦 0,5,1 + 𝑧 1,2,2 ∶
1, −8,0 , 0,5,1 , 1,2,2
Alors, 𝐹 est un sous-espace
1, −8,0 , 0,5,1 , 1,2,2 .
vectoriel
de
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
ℝ3 engendré
par
le
système
2. On pose 𝑆 = 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 avec u1 = 1, −8,0 , 𝑢2 = 0,5,1 𝑒𝑡 𝑢3 = 1,2,2 . La famille
𝑆 engendre le sous-espace vectoriel 𝐹 de ℝ3 . On se pose la question, 𝑆 est-elle libre ?
𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑆 = 3. Calculons 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 :
1 0 1
1 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 = 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑀(𝑆) = 𝑟𝑎𝑛𝑔 −8 5 2 ≤ 3
0 1 2
comme
1 0 1
−8 5
5 2
+
= 8 − 8 = 0,
−8 5 2 =
1 2
0 1
0 1 2
alors 1 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 ≤ 2.
1 0
Et comme,
= 5 ≠ 0 alors, 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑆 = 2. La famille 1, −8,0 , 0,5,1 est donc
−8 5
libre. On pose 𝐵 ′ = 𝑢1 , 𝑢2 avec u1 = 1, −8,0 , 𝑢2 = 0,5,1 . 𝐵 ′ est une famille
génératrice de 𝐹 et elle est libre, donc 𝐵 ′ est une base de 𝐹, dim 𝐹 = 2.
3. Comme, 𝐵 ′ = 𝑢1 , 𝑢2 est une base de 𝐹 alors, pour tout vecteur 𝑣 de 𝐹,
∃! 𝜆1 , 𝜆2 ∈ ℝ 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑣 = 𝜆1 𝑢1 + 𝜆2 𝑢2
En particulier, le vecteur 𝑣 = 4, −7,5 ∈ 𝐹
𝑣 = 𝜆1 𝑢1 + 𝜆2 𝑢2
⟺ 𝑣 = 𝜆1 𝑢1 + 𝜆2 𝑢2
⟺ 4, −7,5 = 𝜆1 1, −8,0 + 𝜆2 0,5,1
⟺ 4, −7,5 = 𝜆1 , −8𝜆1 + 5𝜆2 , 𝜆2
4 = 𝜆1
−7
= −8𝜆1 + 5𝜆2
⟺
5 = 𝜆2
𝜆1 = 4
⟺
𝜆2 = 5
Ainsi, 𝑣 = 4𝑢1 + 5𝑢2 .On écrit 𝑣𝐵′ = (4,5).
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Solution 3 : Soient 𝐵 = 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , la base canonique de ℝ3 , et 𝑓, l’endomorphisme de ℝ3
dont les images des vecteurs de la base 𝐵 sont données par :
𝑓 𝑒1 = 1, −8,0 , 𝑓 𝑒2 = 0,5,1
𝑓 𝑒3 = 1,2,2
1. Donnons l’expression analytique de l’application linéaire 𝑓 :
𝑦1
1 0 1 𝑥1
𝑦
𝑥2
𝑌=𝑀 𝑓𝐵 𝑋 ⟺
2 = −8 5 2
𝑦3
0 1 2 𝑥3
𝑦1
𝑥1 + 𝑥3
𝑦2 = −8𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3
⟺
𝑦3
𝑥2 +2𝑥3
Donc,
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 + 𝑥3 , −8𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 , 𝑥2 +2𝑥3
2. Calculons le rang de 𝑓 : d’après l’exercice 2,
1 0 1
𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 = 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑀 𝑓 𝐵 = 𝑟𝑎𝑛𝑔 −8 5 2 = 2
0 1 2
2
3. Puisque 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 = 2 = dim 𝐼𝑚 𝑓 , alors 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ : c’est un plan vectoriel de ℝ3 .
Partie II – Mathématiques Financières
Solution 1 : On calcule la somme qu’il faut placer aujourd'hui, à intérêt simple, au taux annuel de
6%, pour disposer de 1 027,00 DH dans 4 mois. On pose 𝐶 = 1 027,00, 𝑖𝑎 = 6% et 𝑛 = 4 mois.
La valeur actuelle commerciale est :
6
𝑖𝑎
𝑉𝐴 = 𝐶 1 − 𝑖𝑚 𝑛 = 𝐶 1 −
𝑛 = 1 027,00 1 − 100 4 = 1 006,46 𝐷𝐻
12
12
La valeur actuelle rationnelle est :
𝑉𝐴 = 𝐶 1 + 𝑖𝑚 𝑛
−1
=
𝐶
1 027,00
= 1 027,00
= 1 006,86 𝐷𝐻
6
𝑖𝑎
1 + 12
𝑛
100
1 + 12 4
Solution 2 : On calcule la valeur actuelle en fin de période.
La période étant le trimestre, nous
utiliserons donc le taux trimestriel.
2,50 −12
1 − 1 + 100
= 4 350,00
= 44 621,28 𝐷𝐻
2,50
100
Solution 3 : On pose : 𝑉𝑛 = 20 000,00 DH, 𝑎 = 1 480,00 𝐷𝐻 et 𝑖𝑎 = 6,5 %. 𝑛 =? ans
Par simple application de la formule :
𝑉
ln 𝑎𝑛 𝑖𝑎 + 1
1 + 𝑖𝑎 𝑛 − 1
𝑉𝑛
𝑛
𝑉𝑛 = 𝑎
⟹
1 + 𝑖𝑎 =
𝑖 +1
⟹ 𝑛=
𝑖𝑎
𝑎 𝑎
ln 1 + 𝑖𝑎
Donc,
ln 1.878
ln 1.878
⟹𝑛=
=
= 10 ans
ln 1 + 𝑖𝑎
ln 1,065
1 − 1 + 𝑖𝑡
𝑉𝐴 = 𝑎
𝑖𝑡
−𝑛
Le nombre d’annuités est 10 ans.
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