Contrôle de Rattrapage Partie I – Algèbre linéaire
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Filière des Sciences Économiques et de Gestion
Tronc commun
Pr. Amale LAHLOU
Session Universitaire : Printemps-Été, 2014-2015
Semestre II / Section A
Module 13
:
Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Contrôle de Rattrapage
(Durée : 1 heure et demie)
Toute réponse doit être justifiée, faute de quoi elle ne sera pas comptée ;
La clarté de la rédaction est un élément important dans l'appréciation des copies ;
Les calculatrices non-programmables sont autorisées à titre strictement personnel.
Partie I – Algèbre linéaire
Exercices 1 : On note par 03, la matrice nulle d’ordre 3, et I3, la matrice unitaire d’ordre 3.
Soit une matrice carrée d’ordre 3 donnée par :
=0 2 1
2 1 1
411
1. Calculer les matrices puissances A2 et A3 ;
2. En déduire que la matrice A est inversible, puis déterminer son inverse A1 ;
3. Montrer que la matrice A vérifie la relation : 3+18 3= 03 ;
4. À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouver la matrice inverse 1.
Exercice 2 : Soit =1,2,3 la base canonique de 3.
1. Montrer que le sous-ensemble donné ci-dessous est un sous-espace vectoriel de 3 ;
=+,8+ 5+ 2,+ 2 ,,
2. Déterminer une base de puis en déduire la dimension de ;
3. Dans la base , déterminer les coordonnées du vecteur =4, 7,5.
Exercice 3 : Soient =1,2,3, la base canonique de 3, et , l’endomorphisme de 3
dont les images des vecteurs de la base sont données par :
1=1, 8,0,2=0,5,13=1,2,2
1. Donner l’expression analytique de l’application linéaire ;
2. Calculer le rang de ;
3. En déduire , l’ensemble image de .
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Partie II – Mathématiques Financières
Exercice 1 : Quelle somme faut-il placer aujourd'hui, à intérêt simple, au taux annuel de 6%,
pour disposer de 1 027,00 DH dans 4 mois ?
Exercice 2 : Quelle somme d’argent pouvons-nous emprunter si, d’accord avec le créancier,
nous nous engageant à le rembourser au taux trimestriel de 2,50 % par le paiement de
12 trimestrialités égales à 4 350,00 DH chacune, le premier remboursement ayant lieu trois
mois après le remise des fonds ?
Exercice 3 : Combien faut-il verser d’annuités de 1 480,00 DH, capitalisées au taux 6,5 %
l’an, pour constituer un capital de 20 000,00 DH au moment du dernier versement ?
Bonne Chance
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Partie I – Algèbre linéaire
Solution 1:
1. Considérons la matrice carrée d’ordre 3 donnée par :
=0 2 1
2 1 1
411
Calculons les matrices puissances suivantes :
2=0 2 1
2 1 1
411021
2 1 1
411
=0 3 3
6 4 2
6 8 4
3=0 3 3
6 4 2
6 8 4021
2 1 1
411
=18 0 0
018 0
0 0 18
=18 I3
2. Comme 3=18 3 alors 1
18 2=3. Ainsi, est inversible et son inverse est donné
par : 1=1
18 2=1
18 0 3 3
6 4 2
6 8 4
3. On sait que toute matrice carrée d’ordre 3 vérifie la relation :
3+2+ det3= 03
avec, = 0 + 1 1 = 0
=11 +22 +33 =1 1
11+01
41+0 2
2 1= 0
det=021
2 1 1
411=22 1
4112 1
41=18
Ainsi, 3+18 3= 03
ou encore, comme 3=183 d’après la question 1, alors 318 3= 03
4. À l’aide de la méthode des cofacteurs, retrouvons la matrice inverse 1 : comme
det=18 0 alors, 1=1
()()
où,
=
+1 1
11 2 1
41+2 1
41
21
11+01
41 0 2
41
+21
1 1 01
2 1 +0 2
2 1
=0 6 6
3 4 8
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() = 033
6 4 2
684
Ainsi, 1=1
18 0 3 3
6 4 2
684
Solution 2 :
1. Comme, =+,8+ 5+ 2,+ 2 ,,
=1, 8,0+0,5,1+1,2,2 ,,
=1, 8,0,0,5,1,1,2,2
Alors, est un sous-espace vectoriel de 3 engendré par le système
1, 8,0,0,5,1,1,2,2.
2. On pose =1,2,3 avec u1=1, 8,0,2=0,5,1 3=1,2,2. La famille
engendre le sous-espace vectoriel de 3. On se pose la question, est-elle libre ?
= 3. Calculons :
1=()=1 0 1
852
0 1 23
comme 1 0 1
8 5 2
0 1 2=5 2
1 2+8 5
0 1= 8 8 = 0,
alors 1 2.
Et comme, 1 0
8 5= 5 0 alors, = 2. La famille 1, 8,0,0,5,1 est donc
libre. On pose =1,2 avec u1=1, 8,0,2=0,5,1. est une famille
génératrice de et elle est libre, donc est une base de , dim= 2.
3. Comme, =1,2 est une base de alors, pour tout vecteur de ,
!1,2 =11+22
En particulier, le vecteur =4, 7,5
=11+22 =11+22
4, 7,5=11, 8,0+20,5,1
4, 7,5=1,81+ 52,2
4 = 1
7 = 81+ 52
5 = 2
1= 4
2= 5
Ainsi, = 41+ 52 .On écrit = (4,5).
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Solution 3 : Soient =1,2,3, la base canonique de 3, et , l’endomorphisme de 3
dont les images des vecteurs de la base sont données par :
1=1, 8,0,2=0,5,13=1,2,2
1. Donnons l’expression analytique de l’application linéaire :
= 1
2
3=1 0 1
852
0 1 21
2
3
1
2
3=1+3
81+ 52+ 23
2+23
Donc, 1 , 2 , 3=1+3 , 81+ 52+ 23,2+23
2. Calculons le rang de : d’après l’exercice 2,
==1 0 1
8 5 2
0 1 2= 2
3. Puisque = 2 = dim, alors =2 : c’est un plan vectoriel de 3.
Partie II – Mathématiques Financières
Solution 1 : On calcule la somme qu’il faut placer aujourd'hui, à intérêt simple, au taux annuel de
6%, pour disposer de 1 027,00 DH dans 4 mois. On pose = 1 027,00, = 6% et = 4 mois.
La valeur actuelle commerciale est :
= 1 = 1
12 =1 027,00 16100
12 4= 1 006,46
La valeur actuelle rationnelle est :
= 1 + 1=
1 +
12
=1 027,00 1 027,00
1 +
6100
12 4
= 1 006,86
Solution 2 : On calcule la valeur actuelle en fin de période. La période étant le trimestre, nous
utiliserons donc le taux trimestriel.
=11 +
=4 350,00
11 + 2,50
10012
2,50
100
=44 621,28
Solution 3 : On pose : =20 000,00 DH, = 1 480,00 et = 6,5 %. =? ans
Par simple application de la formule :
=1 + 1
1 + =
+ 1 =
ln
+ 1
ln1 +
Donc, =ln1.878
ln1 + =ln1.878
ln1,065=10 ans
Le nombre d’annuités est 10 ans.
1
/
5
100%
