Révisions mathématiques - Poly
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I. Théorème DES valeurs intermédiaires :
Enoncé :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b].
Si f est continue dans [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au
moins un réel c de [a;b] tel que f(c) = k.
⟹ Signification :
·f est une fonction définie et continue sur un intervalle [a ; b]. (f est quelconque, pas forcément
strictement croissante ou strictement croissante, peu importe ses variations sur [a ; b].)
·on choisit (par exemple) a < b. Il est clair que l’intervalle-image de [a ;b] par f est [f(a) ; f(b)]
(ou [f(b) ; f(a)])
·Le Théorème stipule alors que toute valeur k comprise dans cet intervalle [f(a) ; f(b)] (ou
[f(b) ; f(a)]) possède au moins un antécédent c dans l’intervalle des antécédents : [a ; b]
(⟹ cela revient à dire rigoureusement et mathématiquement l’évidence que toute image
d’une fonction continue provient forcément d’un antécédent)
II. Théorème de LA valeur intermédiaire :
Théorème appelé aussi : Corollaire des valeurs intermédiaires, ou : Théorème de la bijection.
Enoncé :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b].
Si f est continue et strictement monotone dans [a;b], alors, pour tout réel k compris
entre f(a) et f(b), il n’existe qu’un et un seul réel c de [a;b] tel que f(c) = k.
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⟹ Signification :
Les éléments du Théorème précédent sont repris ; mais si f est à présent strictement croissante sur
[a ;b] ou strictement décroissante sur [a ;b], tout réel k de l’intervalle-image [f(a) ; f(b)] (ou [f(b) ;
f(a)])ne peut provenir que d’un seul antécédent c (et non éventuellement de plusieurs comme vu au
paragraphe I)
Remarque :
Lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, chaque élément de I a donc une et
une seule image . On dit que f est une bijection de I sur f(I)
III. Exercice-type et méthode de la dichotomie:
Soit ()=+3+ 8.
a) Justifier que f est continue sur [−2;1]
b) Etudier les variations de f
c) Montrer que l’équation ()= 0 admet dans [−2;1] une unique solution
d) Donner un encadrement de à 10près
e) En déduire le signe de f sur [−2;1]
Solution :
a) f est une fonction polynôme définie sur ℝ donc continue sur ℝ, à fortiori dans [−2;1]
b) f est une fonction polynôme donc dérivable sur ℝ, donc a fortiori dérivable dans [−2;1]
Pour tout x ∈ [−2;1],f(x)= 3x² + 3 > 0, [−2;1]
c)
·f est continue strictement croissante sur [−2;1]
·l’intervalle-image de [−2;1]par f est [(−2);(1)], c’est-à-dire [−6;12]
·or 0 ∈ [−6;12], donc, d’après le Théorème de la valeur intermédiaire, il n’existe
qu’un et un seul antécédent de 0 par f dans [−2;1]
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d) Méthode d’encadrement par dichotomie (ou : balayage):
ØSur la calculatrice on programme un pas de 1 en commençant à – 2 :
x
−
−
0
1
f(x)
−
4
8
12
0 se situe entre (-6) et 4, c’est donc entre (-2) et (-1) que f(x) passe donc par 0 ;
∈ [−2;−1]
ØOn affine la précision de en reprogrammant la calculatrice avec un nouveau pas de
0,1, et en commençant à -2 :
x
−
2
−
1
,
9
-
1,8
-
1,7
-
1,6
-
1,5
-
1,4
-
1,3
f(x)
−
6
-
4,56
-
3,23
-
2,013
-
0,896
0,125
1,056
1,903
0 se situe entre (-0,896) et 0,125, c’est donc entre (-1,6) et (-1,5) que f(x) passe donc
par 0 ; ∈ [−1,6;−1,5]
ØOn affine la précision de en reprogrammant la calculatrice avec un nouveau pas de
0,01, et en commençant à -1,6 :
x
−
1
,
6
−
1
,
59
-
1,
5
8
-
1,
5
7
-
1,
5
6
-
1,
5
5
-
1,
5
4
-
1,
5
3
-
1,52
-
1,51
-
1,50
f(x)
−
0
,
896
-
0,79
-
0,68
-
0,57
-
0,
47
-
0,
37
-
0,27
-
0,17
-
0,07
0,027
0,125
0 se situe entre (-0,07) et 0,027, c’est donc entre (-1,52) et (-1,51) que f(x) passe donc
par 0 ; ∈ [−1,52;−1,51]
Conclusion : ∈ [−,;−,] ; nous avons encadré à près
e) f est croissante sur [−2;], de f(-2) = - 6 jusque f()= 0 , donc ()<0 sur [−;[
f est croissante sur [;1], de f()= 0 jusque f(1) =12, donc ()≥ sur [;]
IV. Intérêt et utilisation du Théorème de la valeur intermédiaire :
1. Donner des solutions approchées pour des équations plus « difficiles »
Exemple : ci-dessus la solution de +3+8=0 se situe dans l’intervalle [−1,52;−1,51]
2. Pouvoir étudier le signe de certaines dérivées également plus « difficiles », afin de déterminer
les variations de la fonction dont elles dérivent
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Exemple ( suite de l’exercice-type) :
Soit g()=
² définie également sur [−2;1]
a) Calculer la dérivée de g, et exprimer la en fonction de la fonction f de l’exercice-type ci-
dessus
b) Etudier le signe de f(x) selon les valeurs de x, en déduire les variations de g
Solution :
a) g est dérivable sur [−2;1] en tant que quotient de fonctions dérivables sur [−2;1]
pour tout x appartenant à [−2;1],
(
)=()()()
()
=[3(+1
)−2(
−4
)]
(+1
)
=
[
3
+3−2
+8
]
(
+1
)
=
[
3+3+8
]
(
+1
)
()= .()
(
+1
)
(
+1
)
>0 [−2;1], () .()
x-2
0
+
∞
signe de x
-
-
+
(
)
-
+
+
Signe de g’(x)
+
-
+
()≥0 [−2; ]∪[0; +∞[,
[−;] [; +∞[
()≤0 [;0], é [;]
6
1
/
6
100%
