CONTINUITÉ d`UNE FONCTION 1 Définition d`une fonction continue

CONTINUITÉ d’UNE FONCTION
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud
1
∗
Définition d’une fonction continue :
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R et soit a ∈ I.
Définition 1.1. Si tout intervalle ]f (a) − ε, f (a) + ε[ contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est
assez proche de a, (ce qui signifie que f (x) tend vers f (a) quand x tend vers a), on dit que la fonction
f est continue au point a, ce qui se traduit par la définition mathématique suivante :
Définition 1.2.
∀ε > 0, ∃α(ε) > 0, ∀x; x ∈]a − α, a + α[⇒ f (x) ∈ ]f (a) − ε, f (a) + ε[.
Remarque : Si c ∈ R et d ∈ R, avec c < d, f est dite continue sur [c, d] si f est continue sur ]c, d[, avec
lim f (x) = f (c) et lim f (x) = f (d). Pour ces deux dernières conditions, on dit que f est continue à
x→c+
x→d−
droite en c et à gauche en d.
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Définition 1.3. Si la fonction f est continue en tout point a de l’intervalle I, on dit qu’elle est continue
sur I.
2
Exemples et contre-exemples de fonctions continues :
2.1
Exemple de fonction continue :
y
(Cf )
~j
O
~i
c
d
On peut tracer la courbe d’une seule traite, sans lever le crayon.
∗ Université
de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex
1
x
2.2
Exemples de fonctions discontinues :
y
(Cf )
~j
~i
c
O
2.2.1
s
d
x
Fonction « partie entière » :
La fonction « partie entière » est la fonction qui à tout x réel associe le plus grand entier n inférieur
ou égal à x. Ce nombre entier n est noté E(x). Cette fonction s’écrit donc :
E : R −→ R
x 7−→E(x)
Elle est définie par la condition :
∀n ∈ N, ∀x ∈ [n, n + 1[, E(x) = n.
y
4
3
~j
−4
−3
−2
~i
−1
2
O
3
4
5
x
−2
−3
−4
On constate que lim E(x) = 1 et lim E(x) = 0. La fonction E est discontinue en tout point x
x→1+
x→1−
entier (x ∈ Z).
2.2.2
Fonction « mantisse » :
La fonction « mantisse » est définie par m(x) = x − E(x), ∀x ∈ R.
2
y
~j
~i
−2
−1
1
O
2
x
On constate que m(x) ∈ [0, 1[ et que la fonction m est discontinue en tout point x entier (x ∈ Z).
La fonction m est également périodique, de période 1.
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Propriétés générales des fonctions continues :
1. Dans un tableau de variation, les flèches indiquent que la fonction est continue sur tout l’intervalle
de longueur égale à celle de la flèche.
2. Toutes les fonctions usuelles
sont continues sur leur ensemble de définition : x 7→ x2 , x 7→ x3 ,
√
x 7→ 1/x, x 7→ |x|, x 7→ x, x 7→ sin(x) et x 7→ cos(x). Les fonctions polynômes sont continues sur
R, et les fonctions rationnelles sur tout intervalle où elles sont définies.
3. Si deux fonctions u et v sont définies et continues sur le même intervalle I de R, alors les fonctions
u
u+v, u×v et un (pour n ∈ N) sont continues sur I, et la fonction est continue sur tout intervalle
v
où elle est définie.
4. Si la fonction f est continue en a, et la fonction g en f (a), alors la fonction composée g ◦ f est
continue en a.
4
Théorème des valeurs intermédiaires :
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R, et deux réels a et b tels que a ∈ I, b ∈ I et
a < b.
Théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue sur I, alors pour tout k compris entre
f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k.
Le théorème ci-dessus, dit des « valeurs intermédiaires », sera admis sans démonstration.
Corollaire ; « Théorème de la bijection » : Si f est continue et strictement monotone sur [a, b],
alors on dit que f est une bijection de [a, b] sur [f (a), f (b)] ou [f (b), f (a)], selon que f est croissante
ou décroissante, et pour tout k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a une solution c et une
seule, comprise entre a et b (c ∈ [a, b]).
Remarque : Le théorème de la bijection s’applique au cas des intervalles [a, +∞[, ] − ∞, b], ainsi qu’au
cas des intervalles ouverts ou semi-ouverts et même au cas de R, en utilisant éventuellement les limites
aux bornes de ces intervalles.
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Démonstration : On montre le théorème dans le cas où f est strictement croissante.
1. Existence : Soient f une fonstion continue et strictement croissante sur l’intervalle [a, b] et k un
réel tel que f (a) < k < f (b). La fonction g définie par g(x) = f (x) − k est également continue et
strictement croissante sur [a, b], et on a g(a) = f (a) − k < 0, g(b) = f (b) − k > 0.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un nombre réel c ∈ [a, b] tel que
g(c) = 0, et donc f (c) = k. L’équation f (x) = k a donc au moins une solution c dans [a, b].
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2. Unicité : Par l’absurde, s’il existait deux nombres réels c et c′ tels que f (c) = f (c′ ) = k, on aurait
par exemple c < c′ , pour fixer les idées, et f (c) = f (c′ ), ce qui contredirait le fait que f est
strictement croissante. Donc la solution de l’équation f (x) = k est unique.
2
5
Calcul approché des solutions d’une équation :
La solution d’une équation du type f (x) = k, dont l’existence et l’unicité ont été montrées par le
théorème de la bijection peut être approchée par les méthodes suivantes :
5.1
Méthode par balayage :
On programme dans la calculatrice la fonction f et on cherche dans la colonne Y du tableau de valeurs
deux nombres qui encadrent le nombre k. Les valeurs correspondantes dans la colonne X donnent un
encadrement de la solution de l’équation f (x) = k. Si on n’obtient pas la précision désirée, on diminue
le pas des valeurs de X.
5.2
Méthode par dichotomie :
On cherche un encadrement « grossier » de la solution de l’équation f (x) = k. On calcule le milieu
de cet intervalle et on le coupe en deux intervalles d’égales longueurs. On cherche dans lequel des deux
figure la solution de l’équation. On coupe de nouveau l’intervalle choisi en deux intervalles d’égales
longueurs, et ainsi de suite, jusqu’à ce que la précision de l’encadrement soit suffisante.
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Fonction x 7→
√
n
x:
La fonction f telle que f (x) = xn (n ∈ N − {0; 1}) est continue et strictement croissante sur [0, +∞[.
De plus, f (0) = 0 et lim f (x) = +∞. D’après le théorème de la bijection, pour tout réel a ≥ 0,
x→+∞
√
l’équation xn = a a une unique solution c ∈ [0, +∞[, notée c = n a ou c = a1/n , ce qui se lit « racine
nième de a ».
√
Définition 6.1. Pour tout réel positif ou nul a, on désigne par n a l’unique réel positif ou nul b tel que
n
b = a.
√
Théorème ∀a ≥ 0, ∀b ≥ 0, b = n a ⇔ bn = a.
Propriétés
√
√
1. Pour tout a ≥ 0, ( n a)n = a ; n an = a.
√
2. La fonction x 7→ n x est définie et continue sur [0, +∞[.
3. Cette fonction est strictement croissante sur [0, +∞[ et
4
lim
x→+∞
√
n
x = +∞