CONTINUITÉ d`UNE FONCTION 1 Définition d`une fonction continue

CONTINUITÉ d’UNE FONCTION
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud ∗
1 Définition d’une fonction continue :
Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert Ide Ret soit a∈I.
Définition 1.1. Si tout intervalle ]f(a)−ε, f(a) + ε[contient toutes les valeurs de f(x)dès que xest
assez proche de a, (ce qui signifie que f(x)tend vers f(a)quand xtend vers a), on dit que la fonction
fest continue au point a, ce qui se traduit par la définition mathématique suivante :
Définition 1.2.
∀ε > 0,∃α(ε)>0,∀x;x∈]a−α, a +α[⇒f(x)∈]f(a)−ε, f(a) + ε[.
Remarque : Si c∈Ret d∈R, avec c < d,fest dite continue sur [c, d]si fest continue sur ]c, d[, avec
lim
x→c+f(x) = f(c)et lim x→d−
f(x) = f(d). Pour ces deux dernières conditions, on dit que fest continue à
droite en cet à gauche en d.♣
Définition 1.3. Si la fonction fest continue en tout point ade l’intervalle I, on dit qu’elle est continue
sur I.
2 Exemples et contre-exemples de fonctions continues :
2.1 Exemple de fonction continue :
~
i
~
j
x
y
cd
(Cf)
O
On peut tracer la courbe d’une seule traite, sans lever le crayon.
∗Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex
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2.2 Exemples de fonctions discontinues :
~
i
~
j
x
y
cd s
(Cf)
O
2.2.1 Fonction « partie entière » :
La fonction « partie entière » est la fonction qui à tout xréel associe le plus grand entier ninférieur
ou égal à x. Ce nombre entier nest noté E(x). Cette fonction s’écrit donc :
E:R−→ R
x7−→E(x)
Elle est définie par la condition :
∀n∈N,∀x∈[n, n + 1[, E(x) = n.
~
i
~
j
x
y
O234
−1−2−3
5
−4
3
4
−2
−3
−4
On constate que lim
x→1+E(x) = 1 et lim x→1−
E(x) = 0. La fonction Eest discontinue en tout point x
entier (x∈Z).
2.2.2 Fonction « mantisse » :
La fonction « mantisse » est définie par m(x) = x−E(x),∀x∈R.
2

~
i
~
j
x
y
O1 2
−1−2
On constate que m(x)∈[0,1[ et que la fonction mest discontinue en tout point xentier (x∈Z).
La fonction mest également périodique, de période 1.
3 Propriétés générales des fonctions continues :
1. Dans un tableau de variation, les flèches indiquent que la fonction est continue sur tout l’intervalle
de longueur égale à celle de la flèche.
2. Toutes les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition : x7→ x2,x7→ x3,
x7→ 1/x,x7→ |x|,x7→ √x,x7→ sin(x)et x7→ cos(x). Les fonctions polynômes sont continues sur
R, et les fonctions rationnelles sur tout intervalle où elles sont définies.
3. Si deux fonctions uet vsont définies et continues sur le même intervalle Ide R, alors les fonctions
u+v,u×vet un(pour n∈N) sont continues sur I, et la fonction u
vest continue sur tout intervalle
où elle est définie.
4. Si la fonction fest continue en a, et la fonction gen f(a), alors la fonction composée g◦fest
continue en a.
4 Théorème des valeurs intermédiaires :
Soient fune fonction définie sur un intervalle Ide R, et deux réels aet btels que a∈I,b∈Iet
a < b.
Théorème des valeurs intermédiaires : Si fest continue sur I, alors pour tout kcompris entre
f(a)et f(b), il existe au moins un réel ccompris entre aet btel que f(c) = k.
Le théorème ci-dessus, dit des « valeurs intermédiaires », sera admis sans démonstration.
Corollaire ; « Théorème de la bijection » : Si fest continue et strictement monotone sur [a, b],
alors on dit que fest une bijection de [a, b]sur [f(a), f(b)] ou [f(b), f(a)], selon que fest croissante
ou décroissante, et pour tout kcompris entre f(a)et f(b), l’équation f(x) = ka une solution cet une
seule, comprise entre aet b(c∈[a, b]).
Remarque : Le théorème de la bijection s’applique au cas des intervalles [a, +∞[,]−∞, b], ainsi qu’au
cas des intervalles ouverts ou semi-ouverts et même au cas de R, en utilisant éventuellement les limites
aux bornes de ces intervalles. ♣
Démonstration : On montre le théorème dans le cas où fest strictement croissante.
1. Existence : Soient fune fonstion continue et strictement croissante sur l’intervalle [a, b]et kun
réel tel que f(a)< k < f(b). La fonction gdéfinie par g(x) = f(x)−kest également continue et
strictement croissante sur [a, b], et on a g(a) = f(a)−k < 0,g(b) = f(b)−k > 0.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un nombre réel c∈[a, b]tel que
g(c) = 0, et donc f(c) = k. L’équation f(x) = ka donc au moins une solution cdans [a, b].
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2. Unicité : Par l’absurde, s’il existait deux nombres réels cet c′tels que f(c) = f(c′) = k, on aurait
par exemple c < c′, pour fixer les idées, et f(c) = f(c′), ce qui contredirait le fait que fest
strictement croissante. Donc la solution de l’équation f(x) = kest unique.
2
5 Calcul approché des solutions d’une équation :
La solution d’une équation du type f(x) = k, dont l’existence et l’unicité ont été montrées par le
théorème de la bijection peut être approchée par les méthodes suivantes :
5.1 Méthode par balayage :
On programme dans la calculatrice la fonction fet on cherche dans la colonne Ydu tableau de valeurs
deux nombres qui encadrent le nombre k. Les valeurs correspondantes dans la colonne Xdonnent un
encadrement de la solution de l’équation f(x) = k. Si on n’obtient pas la précision désirée, on diminue
le pas des valeurs de X.
5.2 Méthode par dichotomie :
On cherche un encadrement « grossier » de la solution de l’équation f(x) = k. On calcule le milieu
de cet intervalle et on le coupe en deux intervalles d’égales longueurs. On cherche dans lequel des deux
figure la solution de l’équation. On coupe de nouveau l’intervalle choisi en deux intervalles d’égales
longueurs, et ainsi de suite, jusqu’à ce que la précision de l’encadrement soit suffisante.
6 Fonction x7→ n
√x:
La fonction ftelle que f(x) = xn(n∈N−{0; 1})est continue et strictement croissante sur [0,+∞[.
De plus, f(0) = 0 et lim
x→+∞f(x) = +∞. D’après le théorème de la bijection, pour tout réel a≥0,
l’équation xn=aa une unique solution c∈[0,+∞[, notée c=n
√aou c=a1/n, ce qui se lit « racine
nième de a».
Définition 6.1. Pour tout réel positif ou nul a, on désigne par n
√al’unique réel positif ou nul btel que
bn=a.
Théorème ∀a≥0,∀b≥0,b=n
√a⇔bn=a.
Propriétés
1. Pour tout a≥0,(n
√a)n=a;n
√an=a.
2. La fonction x7→ n
√xest définie et continue sur [0,+∞[.
3. Cette fonction est strictement croissante sur [0,+∞[et lim
x→+∞
n
√x= +∞
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