mth1101: les limites et continuité

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MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUITÉ
Issmail El Hallaoui
Dr
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af t
MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUITÉ
Défintions
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x, y ) → (a, b)
Continuité des fonctions à deux variables
Polytechnique Montréal
Département de Mathématiques et Génie Industriel
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Issmail El Hallaoui
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MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUITÉ
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Défintions
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x, y ) → (a, b)
Continuité des fonctions à deux variables
Défintions
2.
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x, y ) → (a, b)
3.
Continuité des fonctions à deux variables
Dr
1.
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Issmail El Hallaoui
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Défintions
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x, y ) → (a, b)
Continuité des fonctions à deux variables
af t
Dans ce chapitre, on considère les fonctions définies sur une partie de Df de
R2 , à valeurs réelles :
f : (x, y ) −→ f (x, y )
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Définition de la limite en un point (a,b)
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On écrit
lim f (x, y ) = L
(x,y )→(a,b)
Dr
et on dit que la limite de f (x, y ) quand (x, y ) tend vers (a, b) est L si f (x, y )
peut prendre des valeurs aussi proches que l’on veut de L en choisissant (x, y )
suffisament
proche du point (a, b), mais non égal à (a, b).
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Définition formelle de la limite
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L ∈ R est la limite de f quand (x,y) tend vers (a,b) si
∀ϵ > 0
∃δ > 0
t.q
0 < ∥(x, y ) − (a, b)∥ < δ =⇒ |f (x, y ) − L| < ϵ
On
. note lim(x,y )→(a,b) f (x, y ) = L ou limx→a;y →b f (x, y ) = L
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Issmail El Hallaoui
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Défintions
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x, y ) → (a, b)
Continuité des fonctions à deux variables
Rappel Dans le cas d’une fonction à une variable, on sait que si:
lim f (x) ̸= lim f (x)
x→a+
alors
lim f (x) n’existe pas.
x→a
af t
x→a−
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Propriété
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Dr
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Dans le cas d’une fonction à deux variables, (x,y) peut s’approcher de (a,b) en
provenant d’une infinité de chemins. D’où la propriété suivante :
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Propriété
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Si f (x, y ) → L1 lorsque (x, y ) → (a, b) le long du chemin C1 et f (x, y ) → L2
lorsque (x, y ) → (a, b) le long du chemin C2 , avec L1 ̸= L2 , alors
.lim(x,y )→(a,b) f (x, y ) n’existe pas.
lim
x =a
(x,y )→(a,b)
lim
y =b
(x,y )→(a,b)
lim
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c=c
(x,y )→(a,b)
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Défintions
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x, y ) → (a, b)
Continuité des fonctions à deux variables
af t
Rappel : Une fonction f à une variable est continue en a si limx→a f (x) = f (a).
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Elle est continue
sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
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Continuité d’une fonction à deux variables
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Une fonction f de deux variables est dite continue en (a,b) si
lim
f (x, y ) = f (a, b).
(x,y )→(a,b)
Dr
.On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point (a,b) de D.
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Propriété
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Les propriétés sur les limites impliquent que les sommes, les différences, les
produits et les quotients des fonctions continues sont continues sur leurs
domaines
de définitions.
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Issmail El Hallaoui
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