mth1101: les limites et continuité

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MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUIT´ E
D´efintions
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x,y)→(a,b)
Continuit´e des fonctions `a deux variables
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MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUIT´ E
Issmail El Hallaoui
Polytechnique Montr´eal
D´epartement de Math´ematiques et G´enie Industriel
Issmail El Hallaoui MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUIT´ E

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MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUIT´ E
D´efintions
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x,y)→(a,b)
Continuit´e des fonctions `a deux variables
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1D´efintions
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2Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x,y)→(a,b)
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3Continuit´e des fonctions `a deux variables
Issmail El Hallaoui MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUIT´ E

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MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUIT´ E
D´efintions
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x,y)→(a,b)
Continuit´e des fonctions `a deux variables
Dans ce chapitre, on consid`ere les fonctions d´efinies sur une partie de Dfde
R2, `a valeurs r´eelles :
f: (x,y)−→ f(x,y)
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D´efinition de la limite en un point (a,b)
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On ´ecrit
lim
(x,y)→(a,b)f(x,y) = L
et on dit que la limite de f(x,y)quand (x,y)tend vers (a,b)est Lsi f(x,y)
peut prendre des valeurs aussi proches que l’on veut de Len choisissant (x,y)
suffisament proche du point (a,b), mais non ´egal `a (a,b).
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D´efinition formelle de la limite
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L∈Rest la limite de f quand (x,y) tend vers (a,b) si
∀ϵ > 0∃δ > 0t.q0<∥(x,y)−(a,b)∥< δ =⇒ |f(x,y)−L|< ϵ
On note lim(x,y)→(a,b)f(x,y) = Lou limx→a;y→bf(x,y) = L
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MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUIT´ E
D´efintions
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x,y)→(a,b)
Continuit´e des fonctions `a deux variables
Rappel Dans le cas d’une fonction `a une variable, on sait que si:
lim
x→a−
f(x)̸= lim
x→a+f(x)alors lim
x→af(x) n’existe pas.
Dans le cas d’une fonction `a deux variables, (x,y) peut s’approcher de (a,b) en
provenant d’une infinit´e de chemins. D’o`u la propri´et´e suivante :
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Propri´et´e
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Si f(x,y)→L1lorsque (x,y)→(a,b)le long du chemin C1et f(x,y)→L2
lorsque (x,y)→(a,b)le long du chemin C2, avec L1̸=L2, alors
lim(x,y)→(a,b)f(x,y)n’existe pas.
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Propri´et´e
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lim
(x,y)→(a,b)x=a
lim
(x,y)→(a,b)y=b
lim
(x,y)→(a,b)c=c
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MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUIT´ E
D´efintions
Comment montrer que la limite de f n’existe pas lorsque (x,y)→(a,b)
Continuit´e des fonctions `a deux variables
Rappel : Une fonction f `a une variable est continue en a si limx→af(x) = f(a).
Elle est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
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Continuit´e d’une fonction `a deux variables
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Une fonction f de deux variables est dite continue en (a,b) si
lim
(x,y)→(a,b)f(x,y) = f(a,b).
On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point (a,b) de D.
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Propri´et´e
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Les propri´et´es sur les limites impliquent que les sommes, les diff´erences, les
produits et les quotients des fonctions continues sont continues sur leurs
domaines de d´efinitions.
Issmail El Hallaoui MTH1101: LES LIMITES ET CONTINUIT´ E