Logique, ensembles et applications - Continuité

ECE1 Lyc´ee Clemenceau - Reims
Logique, ensembles et applications - Continuit´e
Colle 10
Question de cours
Union et intersection: d´efinitions et propri´et´es alg´ebriques.
Exercice 1
On consid`ere la fonction f(x) = x+ ln(x).
1. Montrer que fr´ealise une bijection de R∗
+sur R.
2. Justifier que pour tout entier n≥1, l’´equation f(x) = nposs`ede une unique solution que l’on
notera xn.
3. ´ Etudier la monotonie de la suite (xn) et sa convergence.
4. Montrer que xn≤n, puis que xn≥n−ln(n) (en utilisant la relation f(xn) = n).
5. En d´eduire lim
n→+∞
xn
n.
Exercice 2
1. ´ Etudier la continuit´e de la fonction f(x) = 
√x2+ 1 −1
xsi x6= 0,
0 si x= 0.
.
2. Soit gla fonction d´efinie par g(x) = ln(x)1
ln(x).
(a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition et de continuit´e de g.
(b) Admet-elle un prolongement par continuit´e?
Exercice 3
1. Soient A,B,Ctrois ensembles. D´emontrer que: A∪B=B∩C⇒A⊂B⊂C.
2. L’application f:R2→R2,(x, y)7→ (y, x + 2y) est-elle injective? surjective? bijective?
Exercice 4
Soit E, F et Gtrois ensembles, fune application de Edans Fet gune application de Fdans G.
1. Montrer que, si g◦fest injective, alors fest injective.
2. Montrer que, si g◦fest surjective, alors gest surjective.
Exercice 5
On consid`ere, pour tout entier n≥1, la somme Sn=X
1≤i≤j≤n
i2
j(2j+ 1).
1. Construire une proc´edure qui, ´etant donn´e un entier n≥1, calcule et affiche Sn.
2. D´eterminer une expression de Snen fonction de n.
1

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Logique, ensembles et applications - Continuit´e
Colle 10
Question de cours
Application surjective: d´efinition et caract´erisation.
Exercice 6
Pour tout entier n≥3, on pose fn(x) = xn+x2+ 2x−1 = 0.
1. Montrer que l’´equation fn(x) = 0 admet une unique solution positive qu’on notera xn.
2. Montrer que xn∈[0,1
2].
3. D´eterminer le signe de fn+1(x)−fn(x) pour tout x∈[0,1
2].
4. En d´eduire la monotonie de la suite (xn)n≥3.
5. En d´eduire qu’elle converge vers une limite qu’on notera `.
6. En utilisant la question 2., montrer que lim
n→+∞xn
n= 0.
7. En utilisant la relation fen d´eduire la valeur de `.
Exercice 7
1. ´ Etudier la continuit´e de la fonction f(x) = 
xe1/x si x < 0,
0 si x= 0,
x2ln(x) si x > 0
.
2. Soit gla fonction d´efinie par g(x) = x−1
√x−1.
(a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition et de continuit´e de g.
(b) Admet-elle un prolongement par continuit´e?
Exercice 8
1. Soient Aet Bdeux ensembles. D´emontrer que: A∪B=B⇔A⊂B.
2. L’application f:Z→Z, n 7→ n−2 est-elle injective? surjective? bijective?
Exercice 9
On consid`ere, pour tout entier naturel n, la somme Sn=X
0≤i,j≤n
i2j.
1. Construire une proc´edure qui, ´etant donn´e un entier naturel n, calcule et affiche Sn.
2. D´eterminer une expression de Snen fonction de n.
2

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Logique, ensembles et applications - Continuit´e
Colle 10
Question de cours
Application injective: d´efinition et caract´erisation.
Exercice 10
Pour tout n∈N∗, on pose fn(x) = x5+nx −1.
1. Justifier que fnest d´efinie, continue et d´erivable sur R. Dresser le tableau de variations de fn.
2. Montrer que l’´equation fn(x) = 0 admet une unique solution positive qu’on notera xn.
3. D´eterminer le signe de fn+1(x)−fn(x) pour tout x∈R+, puis montrer que la suite (xn)n≥1est
d´ecroissante.
4. Montrer que, pour tout n∈N∗, 0 < xn<1
n.
5. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (xn)n≥1.
Exercice 11
1. ´ Etudier la continuit´e de la fonction f(x) =
x2
|x|si x > 0,
0 si x= 0,
e1/x si x < 0.
.
2. Soit gla fonction d´efinie par g(x) = xln(x).
(a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition et de continuit´e de g.
(b) Admet-elle un prolongement par continuit´e?
Exercice 12
1. Soient Aet Bdeux ensembles. D´emontrer que: A∩B=A⇔A⊂B.
2. L’application f:N→Z, n 7→ −nest-elle injective? surjective? bijective?
Exercice 13
On consid`ere pour tout entier n∈N∗l’´equation suivante:
(En)x5+x+ 1 = n.
1. Montrer que la fonction f(x) = x5+x+ 1 r´ealise une bijection de Rsur un intervalle Jque l’on
pr´ecisera.
2. Montrer que pour tout entier n∈N∗, l’´equation (En) admet une unique solution not´ee xn.
3. Soit f−1la bijection r´eciproque de f. Donner le tableau de variation de f−1.
4. En d´eduire que la suite (xn) est croissante et ´etudier sa convergence.
Exercice 14
On consid`ere, pour tout entier n≥1, la somme Sn=X
1≤i≤j≤n
i.
1. Construire une proc´edure qui, ´etant donn´e un entier n≥1, calcule et affiche Sn.
2. D´eterminer une expression de Snen fonction de n.
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