Logique, ensembles et applications - Continuité

Lycée Clemenceau - Reims
ECE1
Colle 10
Logique, ensembles et applications - Continuité
Question de cours
Union et intersection: définitions et propriétés algébriques.
Exercice 1
On considère la fonction f (x) = x + ln(x).
1. Montrer que f réalise une bijection de R∗+ sur R.
2. Justifier que pour tout entier n ≥ 1, l’équation f (x) = n possède une unique solution que l’on
notera xn .
3. Étudier la monotonie de la suite (xn ) et sa convergence.
4. Montrer que xn ≤ n, puis que xn ≥ n − ln(n) (en utilisant la relation f (xn ) = n).
xn
.
n→+∞ n
5. En déduire lim
 √
Exercice 2
 x2 + 1 − 1
1. Étudier la continuité de la fonction f (x) =
x

0
si x 6= 0, .
si x = 0.
1
2. Soit g la fonction définie par g(x) = ln(x) ln(x) .
(a) Déterminer l’ensemble de définition et de continuité de g.
(b) Admet-elle un prolongement par continuité?
Exercice 3
1. Soient A, B, C trois ensembles. Démontrer que: A ∪ B = B ∩ C ⇒ A ⊂ B ⊂ C.
2. L’application f : R2 → R2 , (x, y) 7→ (y, x + 2y) est-elle injective? surjective? bijective?
Exercice 4
Soit E, F et G trois ensembles, f une application de E dans F et g une application de F dans G.
1. Montrer que, si g ◦ f est injective, alors f est injective.
2. Montrer que, si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.
Exercice 5
On considère, pour tout entier n ≥ 1, la somme Sn =
X
1≤i≤j≤n
i2
.
j(2j + 1)
1. Construire une procédure qui, étant donné un entier n ≥ 1, calcule et affiche Sn .
2. Déterminer une expression de Sn en fonction de n.
1
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Logique, ensembles et applications - Continuité
Question de cours
Application surjective: définition et caractérisation.
Exercice 6
Pour tout entier n ≥ 3, on pose fn (x) = xn + x2 + 2x − 1 = 0.
1. Montrer que l’équation fn (x) = 0 admet une unique solution positive qu’on notera xn .
1
2. Montrer que xn ∈ [0, ].
2
1
3. Déterminer le signe de fn+1 (x) − fn (x) pour tout x ∈ [0, ].
2
4. En déduire la monotonie de la suite (xn )n≥3 .
5. En déduire qu’elle converge vers une limite qu’on notera `.
6. En utilisant la question 2., montrer que lim xnn = 0.
n→+∞
7. En utilisant la relation f en déduire la valeur de `.

Exercice 7
 xe1/x
1. Étudier la continuité de la fonction f (x) =
0
 2
x ln(x)
si x < 0,
si x = 0, .
si x > 0
x−1
2. Soit g la fonction définie par g(x) = √
.
x−1
(a) Déterminer l’ensemble de définition et de continuité de g.
(b) Admet-elle un prolongement par continuité?
Exercice 8
1. Soient A et B deux ensembles. Démontrer que: A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B.
2. L’application f : Z → Z, n 7→ n − 2 est-elle injective? surjective? bijective?
Exercice 9
On considère, pour tout entier naturel n, la somme Sn =
X
i2j .
0≤i,j≤n
1. Construire une procédure qui, étant donné un entier naturel n, calcule et affiche Sn .
2. Déterminer une expression de Sn en fonction de n.
2
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Colle 10
Logique, ensembles et applications - Continuité
Question de cours
Application injective: définition et caractérisation.
Exercice 10
Pour tout n ∈ N∗ , on pose fn (x) = x5 + nx − 1.
1. Justifier que fn est définie, continue et dérivable sur R. Dresser le tableau de variations de fn .
2. Montrer que l’équation fn (x) = 0 admet une unique solution positive qu’on notera xn .
3. Déterminer le signe de fn+1 (x) − fn (x) pour tout x ∈ R+ , puis montrer que la suite (xn )n≥1 est
décroissante.
1
4. Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , 0 < xn < .
n
5. En déduire le comportement asymptotique de la suite (xn )n≥1 .
 2
x


Exercice 11

|x|
1. Étudier la continuité de la fonction f (x) =
0


 1/x
e
si x > 0,
si x = 0,
si x < 0.
.
2. Soit g la fonction définie par g(x) = x ln(x).
(a) Déterminer l’ensemble de définition et de continuité de g.
(b) Admet-elle un prolongement par continuité?
Exercice 12
1. Soient A et B deux ensembles. Démontrer que: A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B.
2. L’application f : N → Z, n 7→ −n est-elle injective? surjective? bijective?
Exercice 13
On considère pour tout entier n ∈ N∗ l’équation suivante:
(En )
x5 + x + 1 = n.
1. Montrer que la fonction f (x) = x5 + x + 1 réalise une bijection de R sur un intervalle J que l’on
précisera.
2. Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ , l’équation (En ) admet une unique solution notée xn .
3. Soit f −1 la bijection réciproque de f . Donner le tableau de variation de f −1 .
4. En déduire que la suite (xn ) est croissante et étudier sa convergence.
Exercice 14
On considère, pour tout entier n ≥ 1, la somme Sn =
X
i.
1≤i≤j≤n
1. Construire une procédure qui, étant donné un entier n ≥ 1, calcule et affiche Sn .
2. Déterminer une expression de Sn en fonction de n.
3