ECE1 Lyc´ee Clemenceau - Reims
Logique, ensembles et applications - Continuit´e
Colle 10
Question de cours
Union et intersection: d´efinitions et propri´et´es alg´ebriques.
Exercice 1
On consid`ere la fonction f(x) = x+ ln(x).
1. Montrer que fr´ealise une bijection de R
+sur R.
2. Justifier que pour tout entier n1, l’´equation f(x) = nposs`ede une unique solution que l’on
notera xn.
3. ´
Etudier la monotonie de la suite (xn) et sa convergence.
4. Montrer que xnn, puis que xnnln(n) (en utilisant la relation f(xn) = n).
5. En d´eduire lim
n+
xn
n.
Exercice 2
1. ´
Etudier la continuit´e de la fonction f(x) =
x2+ 1 1
xsi x6= 0,
0 si x= 0.
.
2. Soit gla fonction d´efinie par g(x) = ln(x)1
ln(x).
(a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition et de continuit´e de g.
(b) Admet-elle un prolongement par continuit´e?
Exercice 3
1. Soient A,B,Ctrois ensembles. D´emontrer que: AB=BCABC.
2. L’application f:R2R2,(x, y)7→ (y, x + 2y) est-elle injective? surjective? bijective?
Exercice 4
Soit E, F et Gtrois ensembles, fune application de Edans Fet gune application de Fdans G.
1. Montrer que, si gfest injective, alors fest injective.
2. Montrer que, si gfest surjective, alors gest surjective.
Exercice 5
On consid`ere, pour tout entier n1, la somme Sn=X
1ijn
i2
j(2j+ 1).
1. Construire une proc´edure qui, ´etant donn´e un entier n1, calcule et affiche Sn.
2. D´eterminer une expression de Snen fonction de n.
1
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Logique, ensembles et applications - Continuit´e
Colle 10
Question de cours
Application surjective: d´efinition et caract´erisation.
Exercice 6
Pour tout entier n3, on pose fn(x) = xn+x2+ 2x1 = 0.
1. Montrer que l’´equation fn(x) = 0 admet une unique solution positive qu’on notera xn.
2. Montrer que xn[0,1
2].
3. D´eterminer le signe de fn+1(x)fn(x) pour tout x[0,1
2].
4. En d´eduire la monotonie de la suite (xn)n3.
5. En d´eduire qu’elle converge vers une limite qu’on notera `.
6. En utilisant la question 2., montrer que lim
n+xn
n= 0.
7. En utilisant la relation fen d´eduire la valeur de `.
Exercice 7
1. ´
Etudier la continuit´e de la fonction f(x) =
xe1/x si x < 0,
0 si x= 0,
x2ln(x) si x > 0
.
2. Soit gla fonction d´efinie par g(x) = x1
x1.
(a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition et de continuit´e de g.
(b) Admet-elle un prolongement par continuit´e?
Exercice 8
1. Soient Aet Bdeux ensembles. D´emontrer que: AB=BAB.
2. L’application f:ZZ, n 7→ n2 est-elle injective? surjective? bijective?
Exercice 9
On consid`ere, pour tout entier naturel n, la somme Sn=X
0i,jn
i2j.
1. Construire une proc´edure qui, ´etant donn´e un entier naturel n, calcule et affiche Sn.
2. D´eterminer une expression de Snen fonction de n.
2
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Logique, ensembles et applications - Continuit´e
Colle 10
Question de cours
Application injective: d´efinition et caract´erisation.
Exercice 10
Pour tout nN, on pose fn(x) = x5+nx 1.
1. Justifier que fnest d´efinie, continue et d´erivable sur R. Dresser le tableau de variations de fn.
2. Montrer que l’´equation fn(x) = 0 admet une unique solution positive qu’on notera xn.
3. D´eterminer le signe de fn+1(x)fn(x) pour tout xR+, puis montrer que la suite (xn)n1est
d´ecroissante.
4. Montrer que, pour tout nN, 0 < xn<1
n.
5. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (xn)n1.
Exercice 11
1. ´
Etudier la continuit´e de la fonction f(x) =
x2
|x|si x > 0,
0 si x= 0,
e1/x si x < 0.
.
2. Soit gla fonction d´efinie par g(x) = xln(x).
(a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition et de continuit´e de g.
(b) Admet-elle un prolongement par continuit´e?
Exercice 12
1. Soient Aet Bdeux ensembles. D´emontrer que: AB=AAB.
2. L’application f:NZ, n 7→ −nest-elle injective? surjective? bijective?
Exercice 13
On consid`ere pour tout entier nNl’´equation suivante:
(En)x5+x+ 1 = n.
1. Montrer que la fonction f(x) = x5+x+ 1 r´ealise une bijection de Rsur un intervalle Jque l’on
pr´ecisera.
2. Montrer que pour tout entier nN, l’´equation (En) admet une unique solution not´ee xn.
3. Soit f1la bijection r´eciproque de f. Donner le tableau de variation de f1.
4. En d´eduire que la suite (xn) est croissante et ´etudier sa convergence.
Exercice 14
On consid`ere, pour tout entier n1, la somme Sn=X
1ijn
i.
1. Construire une proc´edure qui, ´etant donn´e un entier n1, calcule et affiche Sn.
2. D´eterminer une expression de Snen fonction de n.
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