Algèbre 1 - la Haute Tour de Sorcellerie

Chap 01 - Algèbre 1
(Puissances, développement, factorisation et identités remarquables)
Exercices
−
−−−−−−−−: n° 11 a), 12 a), 13 a), 14 a), 15 a) et 16 p 31
I) −
Puissances
−−−−−−−−−−(rappel)
−−−−−−−
1) −
Définition
−−−−−−−−
Définition
−
−−−−−−−−−: Les puissances sont une
−−−−notation
−−−−−−− servant à alléger les calculs.
Comme les multiplications allègent les additions, les puissances allègent les multiplications.
Exemples
:
−
−−−−−−−−−
• Les multiplications allègent les additions : 3
3 + 3 + 3 + 3} = 3 × 7
| + 3 + 3 +{z
7f oi s
• Les puissances allègent les multiplications : 3
3 × 3 × 3 × 3} = 37
| × 3 × 3 ×{z
7f oi s
Exercices
−
−−−−−−−−: n° 18 et 19 p 31
2) −
Écriture
nombre
−−−−−−−scientifique
−−−−−−−−−−−d’un
−−−−−
−−−−−−
b
Définition
−
−−−−−−−−−: Un nombre est sous forme scientifique lorsqu’il est sous la forme a×10 avec 1 É a < 10
et b un entier.
Exercices
−
−−−−−−−−: n° 25 p 31
Règles
calculs
3) −
−−−−−−de
−−−
−−−−−
Propriété
: (−a)n = a n si n est paire.
−
−−−−
−
−
−
−
(−a)n = −a n si n est impaire.
Exercices
−
−−−−−−−−: n°38 p 32
Propriété
−
−−−−−−−−: Comme les multiplications (avec la distributivité ... etc), les puissances suivent un certain nombre de règles de calculs :
n
• (a × b)
= an × bn
¡
¢
n
n
• ban = ab ( B : b ne peut pas être nul (égal à 0) )
• a n × a p = a n+p
n
• aa p = a n−p ( B : a ne peut pas être nul (égal à 0) )
• (a n )p = a n×p
Exemples
:
−
−−−−−−−−−
• (3 × x)2 = 32 × x 2 = 9x 2
¡ ¢3
3
• 363 = 63 = 23 = 8
2
9
• 7 ×7 = 7
•
97
95
=9
7−5
2+9
= 7
11
B
Il y a des erreurs à ne pas faire :
(a + b)n N’est PAS égal à a n + b n .
De même (a − b)n N’est PAS égal à a n − b n
2
= 9 = 81
• (72 )3 = 72×3 = 76
C’est un piège des plus classiques dans des QCM.
Exercices
−
−−−−−−−−: n° 34 et 37 p 32 + n° 42, 45, 48 et 50 p 33 + n° 67 et 71 p 35
1
II) −
Calcul
littéral,
et
−−−−−−
−−−−−−−développement
−−−−−−−−−−−−−−−
−−factorisation
−−−−−−−−−−−
1) −
Calcul
littéral
−−−−−−
−−−−−
Exercices
−
−−−−−−−−: n°16 et 20 p 119 + n° 90 p 124 + n° 92 p 125
Développer
2) −
−−−−−−−−−−
Définition
−
−−−−−−−−−: Développer c’est transformer un produit en une somme.
Il existe plusieurs méthodes pour développer un produit, suivant les cas de figure :
• simple distrutivité
• double distributivité
• identité remarquable (voir à la fin du chapitre)
a- −
simple
−−−−−−distributivité
−−−−−−−−−−−−
b- −
double
distributivité
−−−−−−−
−−−−−−−−−−−
Propriété
−
−−−−−−−−: Soient k, a et b trois nombres quelconques :
k(a + b) = ka + kb
Propriété
−
−−−−−−−−: Soient a, b, c et d quatre nombres
quelconques :
(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd
Exemple
:
−
−−−−−−−−
Exemple
:
−
−−−−−−−−
A = 3(x − 2)
B
= 3×x −3×2
=
= (5x + 2)(3 − x)
= 5x × 3 − 5x × x + 2 × 3 − 2 × x
= 15x − 5x 2 + 6 − 2x
3x − 6
=
−5x 2 + 13x + 6
Exercices
−
−−−−−−−−: n°21, 22 et 23 p 119 (entraînement : n° 24 et 25 p 119)
Factoriser
3) −
−−−−−−−−
Définition
−
−−−−−−−−−: Factoriser c’est transformer une somme en un produit.
Il existe plusieurs méthodes pour développer un produit, suivant les cas de figure :
• chercher un facteur commun
• identité remarquable (voir à la fin du chapitre)
Exemples
:
−
−−−−−−−−−
• Il peut arriver que le facteur commun ne soit pas immé•
diatement visible :
C = 3x + 3y
= 3 x +
3y
=
D = 7x 2 + 2x
3(x + y)
= 7×x ×
x +2×
x
=
x × (7x + 2)
• Il peut arriver que le facteur commun soit une expression plus ou moins compliquée :
2
E
= (x − 1)(3x + 7) + (x − 1)(x − 20)
= (x − 1)(3x + 7) + (x − 1)(x − 20)
−−−−−
−−−−−
= (x − 1)[(x + 7) + (x − 20)]
= (x − 1)[x + 7 + x − 20]
(x − 1)(2x − 13)
=
• Attention, quand vous factorisez il faut penser qu’il doit rester un terme pour mettre dans les parenthèses. On peut aussi penser à redévelopper pour vérifier que l’on retrouve l’expression de départ :
= 7x 2 − x
F
= 7×x ×
x −
x ×1
=
x(7x − 1)
Si on avait oublié le ×1 après le x, on aurait eu x × 7 = 7x − x, ce qui est bien évidemment faux.
Exercices
−
−−−−−−−−: n°31 et 32 p 120 + n°49 et 50 p 121
III) Identités
remarquables
−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
Les identités remarquables sont des formules mathématiques, à connaître par cœur, qui permettent :
– de gagner du temps pour certains développements
– d’effectuer certaines factorisations que l’on ne sait pas faire sans
Propriété
−
−−−−−−−−:
Pour développer :
• (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
• (a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
• (a + b)(a − b) = a 2 − b 2
Il faut commencer par identifier à laquelle des trois identités remarquables on a affaire puis identifier les
termes a et b correspondant.
Exemples
:
−
−−−−−−−−−
• Développer : A = (x + 5)2
• Développer : B = (2x − 5)2
A = (x + 5)2
2
= x +2×x ×5+5
B
2
= x 2 + 10x + 25
• Développer : C = (2x −5)(2x +5)
= (2x − 5)2
2
= (2x) − 2 × 2x × 5 + 5
= 4x 2 − 20x + 25
Exercices
−
−−−−−−−−: n°55, 56 et 62 p 122
3
C
2
= (2x − 5)(2x + 5)
= (2x)2 − 52
= 4x 2 − 25