Algèbre 1 - la Haute Tour de Sorcellerie

Chap 01 - Algèbre 1
(Puissances, développement, factorisation et identités remarquables)
−−−−−−−−
Exercices
−
: n° 11 a), 12 a), 13 a), 14 a), 15 a) et 16 p 31
I)−−−−−−−−−−−−−−−−−− Puissances (rappel)
1)−−−−−−−−− Définition
−−−−−−−−−
Définition
−
: Les puissances sont −−− une−−−−−−−− notation servant à alléger les calculs.
Comme les multiplications allègent les additions, les puissances allègent les multiplications.
−−−−−−−−−
Exemples− :
•Les multiplications allègent les additions : 3+3+3+3+3+3+3
|{z }
7f oi s
=3×7
•Les puissances allègent les multiplications : 3 ×3×3×3×3×3×3
|{z }
7f oi s
=37
−−−−−−−−
Exercices
−
: n° 18 et 19 p 31
2)−−−−−−−
Écriture
−−−−−−−−−−−
scientifique
−−−−−
d’un−−−−−−− nombre
−−−−−−−−−
Définition
−
: Un nombre est sous forme scientifique lorsqu’il est sous la forme a×10bavec 1 Éa<10
et bun entier.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n° 25 p 31
3)−−−−−−
Règles−− de
−−−−−−−
calculs
−−−−−−−−
Propriété
−
: (−a)n=ansi n est paire.
(−a)n=−ansi n est impaire.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°38 p 32
−−−−−−−−
Propriété
−
: Comme les multiplications (avec la distributivité ... etc), les puissances suivent un cer-
tain nombre de règles de calculs :
•(a×b)n=an×bn
•an
bn=¡a b¢n(B: b ne peut pas être nul (égal à 0) )
•an×ap=an+p
•an
ap=an−p(B: a ne peut pas être nul (égal à 0) )
•(an)p=an×p
−−−−−−−−−
Exemples− :
•(3×x)2=32×x2=9x2
•63
33=¡6
3¢3=23=8
•72×79=72+9=711
•97
95=97−5=92=81
•(72)3=72×3=76
B
Il y a des erreurs à ne pas faire :
(a+b)nN’est PAS égal à an+bn.
De même (a−b)nN’est PAS égal à an−bn
C’est un piège des plus classiques dans des QCM.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n° 34 et 37 p 32 + n° 42, 45, 48 et 50 p 33 + n° 67 et 71 p 35
1

II) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Calcul littéral, développement et factorisation
1)−−−−−− Calcul−−−−−− littéral
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°16 et 20 p 119 + n° 90 p 124 + n° 92 p 125
2)−−−−−−−−−−−
Développer
−−−−−−−−−
Définition
−
: Développer c’est transformer un produit en une somme.
Il existe plusieurs méthodes pour développer un produit, suivant les cas de figure :
•simple distrutivité
•double distributivité
•identité remarquable (voir à la fin du chapitre)
a- −−−−−−−−−−−−−−−−−−− simple distributivité
−−−−−−−−
Propriété
−
: Soient k,aet btrois nombres quel-
conques :
k(a+b) = ka +kb
−−−−−−−−
Exemple− :
A=3(x−2)
=3×x−3×2
=3x−6
b-−−−−−−−−−−−−−−−−−−− double distributivité
−−−−−−−−
Propriété
−
: Soient a,b,cet dquatre nombres
quelconques :
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
−−−−−−−−
Exemple− :
B=(5x+2)(3−x)
=5x×3−5x×x+2×3−2×x
=15x−5x2+6−2x
= −5x2+13x+6
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°21, 22 et 23 p 119 (entraînement : n° 24 et 25 p 119)
3)−−−−−−−−−
Factoriser
−−−−−−−−−
Définition
−
: Factoriser c’est transformer une somme en un produit.
Il existe plusieurs méthodes pour développer un produit, suivant les cas de figure :
•chercher un facteur commun
•identité remarquable (voir à la fin du chapitre)
−−−−−−−−−
Exemples− :
•
C=3x+3y
=3 x+3 y
=3(x+y)
•Il peut arriver que le facteur commun ne soit pas immé-
diatement visible :
D=7x2+2x
=7×x×x +2×x
=x×(7x+2)
•Il peut arriver que le facteur commun soit une expression plus ou moins compliquée :
2

E=(x−1)(3x+7)+(x−1)(x−20)
=(x−1)
−−−−−(3x+7)+(x−1) −−−−−(x−20)
=(x−1)[(x+7)+(x−20)]
=(x−1)[x+7+x−20]
=(x−1)(2x−13)
•Attention, quand vous factorisez il faut penser qu’il doit rester un terme pour mettre dans les paren-
thèses. On peut aussi penser à redévelopper pour vérifier que l’on retrouve l’expression de départ :
F=7x2−x
=7×x×x −x ×1
=x(7x−1)
Si on avait oublié le ×1 après le x, on aurait eu x×7=7x−x, ce qui est bien évidemment faux.
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°31 et 32 p 120 + n°49 et 50 p 121
III) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Identités remarquables
Les identités remarquables sont des formules mathématiques, à connaître par cœur, qui permettent :
– de gagner du temps pour certains développements
– d’effectuer certaines factorisations que l’on ne sait pas faire sans
−−−−−−−−
Propriété
−
:
Pour développer :
•(a+b)2=a2+2ab +b2
•(a−b)2=a2−2ab +b2
•(a+b)(a−b)=a2−b2
Il faut commencer par identifier à laquelle des trois identités remarquables on a affaire puis identifier les
termes aet bcorrespondant.
−−−−−−−−−
Exemples− :
•Développer : A=(x+5)2
A=(x+5)2
=x2+2×x×5+52
=x2+10x+25
•Développer : B=(2x−5)2
B=(2x−5)2
=(2x)2−2×2x×5+52
=4x2−20x+25
•Développer : C=(2x−5)(2x+5)
C=(2x−5)(2x+5)
=(2x)2−52
=4x2−25
−−−−−−−−
Exercices
−
: n°55, 56 et 62 p 122
3