Chap 01 - Algèbre 1
(Puissances, développement, factorisation et identités remarquables)
Exercices
: n° 11 a), 12 a), 13 a), 14 a), 15 a) et 16 p 31
I)
Puissances (rappel)
1)
Définition
Définition
: Les puissances sont
une
notation servant à alléger les calculs.
Comme les multiplications allègent les additions, les puissances allègent les multiplications.
Exemples
:
Les multiplications allègent les additions : 3+3+3+3+3+3+3
|{z }
7f oi s
=3×7
Les puissances allègent les multiplications : 3 ×3×3×3×3×3×3
|{z }
7f oi s
=37
Exercices
: n° 18 et 19 p 31
2)
Écriture
scientifique
d’un
nombre
Définition
: Un nombre est sous forme scientifique lorsqu’il est sous la forme a×10bavec 1 Éa<10
et bun entier.
Exercices
: n° 25 p 31
3)
Règles
de
calculs
Propriété
: (a)n=ansi n est paire.
(a)n=ansi n est impaire.
Exercices
: n°38 p 32
Propriété
: Comme les multiplications (avec la distributivité ... etc), les puissances suivent un cer-
tain nombre de règles de calculs :
(a×b)n=an×bn
an
bn=¡a
b¢n(B: b ne peut pas être nul (égal à 0) )
an×ap=an+p
an
ap=anp(B: a ne peut pas être nul (égal à 0) )
(an)p=an×p
Exemples
:
(3×x)2=32×x2=9x2
63
33=¡6
3¢3=23=8
72×79=72+9=711
97
95=975=92=81
(72)3=72×3=76
B
Il y a des erreurs à ne pas faire :
(a+b)nN’est PAS égal à an+bn.
De même (ab)nN’est PAS égal à anbn
C’est un piège des plus classiques dans des QCM.
Exercices
: n° 34 et 37 p 32 + n° 42, 45, 48 et 50 p 33 + n° 67 et 71 p 35
1
II)
Calcul littéral, développement et factorisation
1)
Calcul
littéral
Exercices
: n°16 et 20 p 119 + n° 90 p 124 + n° 92 p 125
2)
Développer
Définition
: Développer c’est transformer un produit en une somme.
Il existe plusieurs méthodes pour développer un produit, suivant les cas de figure :
simple distrutivité
double distributivité
identité remarquable (voir à la fin du chapitre)
a-
simple distributivité
Propriété
: Soient k,aet btrois nombres quel-
conques :
k(a+b) = ka +kb
Exemple
:
A=3(x2)
=3×x3×2
=3x6
b-
double distributivité
Propriété
: Soient a,b,cet dquatre nombres
quelconques :
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
Exemple
:
B=(5x+2)(3x)
=5x×35x×x+2×32×x
=15x5x2+62x
= −5x2+13x+6
Exercices
: n°21, 22 et 23 p 119 (entraînement : n° 24 et 25 p 119)
3)
Factoriser
Définition
: Factoriser c’est transformer une somme en un produit.
Il existe plusieurs méthodes pour développer un produit, suivant les cas de figure :
chercher un facteur commun
identité remarquable (voir à la fin du chapitre)
Exemples
:
C=3x+3y
=3
x+3
y
=3(x+y)
Il peut arriver que le facteur commun ne soit pas immé-
diatement visible :
D=7x2+2x
=7×x×x
+2×x
=x×(7x+2)
Il peut arriver que le facteur commun soit une expression plus ou moins compliquée :
2
E=(x1)(3x+7)+(x1)(x20)
=(x1)
(3x+7)+(x1)
(x20)
=(x1)[(x+7)+(x20)]
=(x1)[x+7+x20]
=(x1)(2x13)
Attention, quand vous factorisez il faut penser qu’il doit rester un terme pour mettre dans les paren-
thèses. On peut aussi penser à redévelopper pour vérifier que l’on retrouve l’expression de départ :
F=7x2x
=7×x×x
x
×1
=x(7x1)
Si on avait oublié le ×1 après le x, on aurait eu x×7=7xx, ce qui est bien évidemment faux.
Exercices
: n°31 et 32 p 120 + n°49 et 50 p 121
III)
Identités remarquables
Les identités remarquables sont des formules mathématiques, à connaître par cœur, qui permettent :
de gagner du temps pour certains développements
d’effectuer certaines factorisations que l’on ne sait pas faire sans
Propriété
:
Pour développer :
(a+b)2=a2+2ab +b2
(ab)2=a22ab +b2
(a+b)(ab)=a2b2
Il faut commencer par identifier à laquelle des trois identités remarquables on a affaire puis identifier les
termes aet bcorrespondant.
Exemples
:
Développer : A=(x+5)2
A=(x+5)2
=x2+2×x×5+52
=x2+10x+25
Développer : B=(2x5)2
B=(2x5)2
=(2x)22×2x×5+52
=4x220x+25
Développer : C=(2x5)(2x+5)
C=(2x5)(2x+5)
=(2x)252
=4x225
Exercices
: n°55, 56 et 62 p 122
3
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