Algèbre 1ère année

Algèbre 1ère année 1
Collège Sainte-Croix
Brice Canvel
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Table des matières
I - Calcul littéral 2
a. Règles de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
b. Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
c. Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
d. Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
e. Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
f. Racine n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II -Expressions algébriques 7
a. Développement d’une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
b. Factorisation d’une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1. Basé sur le livre Algèbre, E.W. Swokowski, J.A. Cole, Edition 2006

2
I - Calcul littéral
a. Règles de base
Propriété 1 Ordre des opérations algébriques
Dans une expression algébrique, la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.
tEXEMPLE
2
5+−4 5÷3 35 =2 5+µ−4 5÷3 35 ¶
Propriétés 2 Règles de signes
1. (−a)·b=a·(−b)=−ab
2. −(−a)=a
3. (−a)·(−b)=ab
4. a
−b=−a b=−a b
b. Racines carrées
Propriétés 3 Règles d’opérations pour les racines carrées
1. pab =papb
2. ra
b=pa
pb
tEXEMPLE
1. p5×7=p5×p7
2. r3
5=p3
p5
Attention :
pa+b6=pa+pb
pa2+b26= a+b
Algèbre 1ère année,

c. Quotients 3
c. Quotients
Propriétés 4 Quotients
1. a
b=c dsi ad =bc
2. ad
bd =a b
3. a
−b=−a b=−a b
4. a
b+c b=a+c b
5. a
b+c d=ad +bc bd
6. a
b·c d=ac bd
7. a
b÷c d=a b·d c=ad bc
tEXEMPLE
1. 2
5=6 15 parce que 2 ·15 =5·6
2. 2·3
5·3=2 5
3. 2
−5=−2 5=−2 5
4. 2
5+9 5=2+9 5=11 5
5. 2
5+4 3=2·3+5·4 5·3=26 15
6. 2
5·7 3=2·7 5·3=14 15
7. 2
5÷7 3=2 5·3 7=6 35
d. Puissances
Définition 1 Puissances
Si nest un entier positif, la notation anreprésente le produit d’un nombre réel apar lui-même nfois.
an=a·a·a···a
|{z }
nfacteurs a
.
tEXEMPLE
1. 54=5·5·5·5=625
2. 1
2
5
=1
2·1 2·1 2·1 2·1 2=1 32
3. (−3)3=(−3) ·(−3) ·(−3) =−27
Définition 2 Exposants négatifs ou nuls
On définit les règles suivanes pour les exposants :
1. a0=1
2. a−n=1
an
Algèbre 1ère année,

e. Identités remarquables 4
Propriétés 5 Règles de calcul des puissances
Soit a,b∈Ret m,n∈Z. Alors :
1. aman=am+n
2. (am)n=amn
3. (ab)n=anbn
4. ³a
b´n
=an
bn
5. am
an=am−n=1 an−m
e. Identités remarquables
Propriétés 6 Identités remarquables
1. (a+b)2=a2+2ab +b2
2. (a−b)2=a2−2ab +b2
3. (a+b)(a−b)=a2−b2
4. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
5. (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
f. Racine n-ième
Définition 3 Définition de n
pa
Soit nest un entier positif plus grand que 1, et aun nombre réel.
1. Si a=0, alors n
pa=0
2. Si a>0, alors n
paest le nombre réel positif btel que bn=a
3. a) Si a<0 et nest impair, alors n
paest le nombre réel négatif b tel que bn=a
b) Si a<0 et nest pair, alors n
pan’est pas un nombre réel.
tEXEMPLE
1. p16 =4, puisque 42=16
2. 5
r1
32 =1 2, puisque µ1 2¶5
=1
32
3. 4
p−16 n’est pas un nombre réel.
n
pa est appelé la racine n-ième de a.
Définition 4 Exposants rationnels
Soit m
nun nombre rationnel, ou nest un entier positif plus grand que 1. Si aest un nombre réel tel que n
paexiste, alors :
1. a1
n=n
pa
2. am
n=n
pam
3. am
n=(a1 n)m=(am)1 n.
Algèbre 1ère année,

f. Racine n-ième 5
Preuve :
a1
n=x
⇔an
n=xn
⇔a=xn
⇔x=n
pa
tEXEMPLE
1. x1
3=3
px
2. x3
5=(5
px)3=5
px3
3. 125 2
3=(3
p125)2=(3
p53)2=52=25
4. µ32
243 ¶3
5
=µ5
r32
243 ¶3
=Ã5
sµ2
3¶5!3
=µ2
3¶3
=8
27 .
Propriétés 7 Propriétés de n
p
1. (n
pa)n=asi n
paest un nombre réel
2. n
pan=asi a≥0
3. n
pan=asi a<0 et nest impair
4. n
pan=|a|si a<0 et nest pair.
tEXEMPLE
1. (p5)2=5
(3
p−8)3=−8
2. p52=5
3
p23=2
3. 3
p(−2)3=−2
5
p(−2)5=−2
4. p(−3)2=|−3|= 3
4
p(−2)4=|−2|=2.
Propriétés 8 Règles d’opérations pour les racines n-ièmes
1. n
pab =n
pan
pb
2. n
ra
b=
n
pa
n
pb
3. m
pn
pa=mn pa.
tEXEMPLE
1. p50 =p2·25 =p25p2=5p2
3
p−108 =3
p−(27)(4) =3
p−27 3 p4=−33 p4
2. 3
r5
8=
3
p5
3
p8=
3
p5
2
3. p3
p64 =2(3)
p64 =6
p26=2.
Propriétés 9 Rendre un dénominateur rationnel (a>0)
n
pakn
pan−k=n pak+n−k=n
pan=a
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