Espace vectoriel de dimensions finies

Espace vectoriel de dimensions finies
MPSI
22 juin 2008

Table des mati`eres
1 Partie libre - Partie li´ee - Partie g´en´eratrice 2
1.1 Partiefinieli´ee .......................... 2
1.1.1 Vecteurs colin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Partiefinilibre .......................... 2
1.3 Partie g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Base ................................ 3
1.4.1 Base de r´ef´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Dimension d’un espace de dimension finie 4
2.1 Caract´erisation des bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Sous-espace d’un espace de dimension finie 6
3.1 Rangd’unepartie......................... 7
3.2 Sous espace suppl´ementaire et base . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Application lin´eaire entre deux espaces de dimension finies 8
4.1 Caract´erisation par l’image d’une base de E . . . . . . . . . . 8
4.2 Image d’une partie libre, li´ee ou g´en´eratrice de E . . . . . . . 8
4.3 Rang d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.4 Th´eor`eme du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.5 Formelin´eaire........................... 9
5 Isomorphisme 10
5.1 Caract´erisation des isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Espaceisomorphe......................... 10
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Chapitre 1
Partie libre - Partie li´ee - Partie
g´en´eratrice
1.1 Partie finie li´ee
D´efinition 1 Soient u1, ..., upp vecteurs d’un K-espace vectoriels de E.
On dit que {u1, ..., un}est li´ee ou que les vecteurs u1, ..., unsont lin´eairement
d´ependants si ∃(λ1, ..., λp)∈Kpnon tous nuls telque :
λ1u1+... +λpup=OE
Propri´et´e 1 Toutes parties qui contient le vecteur nul est li´ee
Propri´et´e 2 Si L est li´ee, et L c L’, alors L’ est li´ee.
1.1.1 Vecteurs colin´eaires
Soit u,v deux vecteurs de E.
( u et v sont colin´eaire ⇔(∃λ∈K tq u =λv ou v = 0))
1.2 Partie fini libre
D´efinition 2 Soit L partie finie de E.
(L est libre)⇔(L n’est pas libre)
On la caract´erise par : Si ∃(λ1, ..., λp)∈Kptq λ1u1+... +λpup=OEalors
λ1=... =λp= 0
On dit que la partie est lin´eairemement ind´ependante.
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Propri´et´e 3 Si L est libre, et L’ c L, alors L’ est aussi libre.
1.3 Partie g´en´eratrice
Soit E un K espace vectoriel. Nous avons l’ensemble des propri´et´es sui-
vantes :
1- G est une partie g´en´eratrice de E si :
V ect(G)c E
2- Si A et B sont deux parties de E, si A c B, alors :
V ect(A)c V ect(B)
3- Si G est une partie g´en´eratrice de E, G’ une partie telque G c G’, alors
G’ est une partie g´en´eratrice de E
1.4 Base
D´efinition 3 Une base d’un espace E est une partie g´en´eratrice de E et libre.
Propri´et´e 4 Si B = e1, ..., enest une base fini de E, alors, ∀u∈E,∃!n
uplet de scalaire (x1, ..., xn) telque :
u=x1e1+... +xnen
Le n-uplet (x1, ..., xn) est appel´e le n-uplet de coordon´ees de u dans la base
B. On le note aussi :
matB(u) = 
x1
.
.
xn
1.4.1 Base de r´ef´erence
→ <n[X] : {1,X,X2,...,Xn}
→ <n:{(1,...,0),...,(0,...,1)}
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Chapitre 2
Dimension d’un espace de dimension
finie
D´efinition 4 Soit E un K-espace vectoriel.
Si E poss`ede une partie g´en´eratrice finie, on dit que E est un espace de
dimension finies.
Propri´et´e 5 Soit E un espace de dimension finies et G = {u1, ..., up}une
partie g´en´eratrice de E.
Si G est libre, alors G est une base de E.
Propri´et´e 6 De toute partie g´en´eratrice finie, on peut extraire une base.
Th´eor`eme 1 Th´eor`eme de la base incompl`ete :
Soit L = {u1, ..., un}.
Si L est une partie libre, on peut la completer en une base.
Propri´et´e 7 Lemme de Steiniz :
Si E poss`ede une partie g´en´eratrice de n vecteurs, alors toute partie de n+1
vecteurs est li´ee
Th´eor`eme 2 Si E est de dimension finie, toutes les bases de E ont le meme
nombre d’´elements et ce nombre commun est la dimension de l’espace.
Si B est une base de E :
dim(E) = card(B)
Propri´et´e 8 Soit E un espace de dimension n, soit A une partie de E
→Si A est une partie g´en´eratrice de E, alors card(A) ≥n
→Si card(A) <n, alors A n’est pas g´en´eratrice de E
→Si A est libre, alors card(A) ≤n
→Si card(A) >n, alors A est li´ee.
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