Espace vectoriel de dimensions finies

Espace vectoriel de dimensions finies
MPSI
22 juin 2008
Table des matières
1 Partie libre - Partie liée - Partie génératrice
1.1 Partie finie liée . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Vecteurs colinéaires . . . . . . . . . . .
1.2 Partie fini libre . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Partie génératrice . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Base de référence . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
2 Dimension d’un espace de dimension finie
2.1 Caractérisation des bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
3 Sous-espace d’un espace de dimension finie
3.1 Rang d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Sous espace supplémentaire et base . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
7
4 Application linéaire entre deux espaces de dimension
4.1 Caractérisation par l’image d’une base de E . . . . . .
4.2 Image d’une partie libre, liée ou génératrice de E . . .
4.3 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . .
4.4 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Forme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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finies
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5 Isomorphisme
10
5.1 Caractérisation des isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Espace isomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
Chapitre
1
Partie libre - Partie liée - Partie
génératrice
1.1
Partie finie liée
Définition 1 Soient u1 , ..., up p vecteurs d’un K-espace vectoriels de E.
On dit que {u1 , ..., un } est liée ou que les vecteurs u1 , ..., un sont linéairement
dépendants si ∃(λ1 , ..., λp ) ∈ K p non tous nuls telque :
λ1 u1 + ... + λp up = OE
Propriété 1 Toutes parties qui contient le vecteur nul est liée
Propriété 2 Si L est liée, et L c L’, alors L’ est liée.
1.1.1
Vecteurs colinéaires
Soit u,v deux vecteurs de E.
( u et v sont colinéaire ⇔ (∃λ ∈ K tq u = λv ou v = 0))
1.2
Partie fini libre
Définition 2 Soit L partie finie de E.
(L est libre) ⇔ (L n’est pas libre)
On la caractérise par : Si ∃(λ1 , ..., λp ) ∈ K p tq λ1 u1 + ... + λp up = OE alors
λ1 = ... = λp = 0
On dit que la partie est linéairemement indépendante.
2
Propriété 3 Si L est libre, et L’ c L, alors L’ est aussi libre.
1.3
Partie génératrice
Soit E un K espace vectoriel. Nous avons l’ensemble des propriétés suivantes :
1- G est une partie génératrice de E si :
V ect(G) c E
2- Si A et B sont deux parties de E, si A c B, alors :
V ect(A) c V ect(B)
3- Si G est une partie génératrice de E, G’ une partie telque G c G’, alors
G’ est une partie génératrice de E
1.4
Base
Définition 3 Une base d’un espace E est une partie génératrice de E et libre.
Propriété 4 Si B = e1 , ..., en est une base fini de E, alors, ∀u ∈ E, ∃! n
uplet de scalaire (x1 , ..., xn ) telque :
u = x1 e1 + ... + xn en
Le n-uplet (x1 , ..., xn ) est appelé le n-uplet de coordonées de u dans la base
B. On le note aussi :
 
x1
.

matB (u) = 
.
xn
1.4.1
Base de référence
→ <n [X] : {1,X,X 2 ,...,X n }
→ <n : {(1,...,0),...,(0,...,1)}
3
Chapitre
2
Dimension d’un espace de dimension
finie
Définition 4 Soit E un K-espace vectoriel.
Si E possède une partie génératrice finie, on dit que E est un espace de
dimension finies.
Propriété 5 Soit E un espace de dimension finies et G = {u1 , ..., up } une
partie génératrice de E.
Si G est libre, alors G est une base de E.
Propriété 6 De toute partie génératrice finie, on peut extraire une base.
Théorème 1 Théorème de la base incomplète :
Soit L = {u1 , ..., un }.
Si L est une partie libre, on peut la completer en une base.
Propriété 7 Lemme de Steiniz :
Si E possède une partie génératrice de n vecteurs, alors toute partie de n+1
vecteurs est liée
Théorème 2 Si E est de dimension finie, toutes les bases de E ont le meme
nombre d’élements et ce nombre commun est la dimension de l’espace.
Si B est une base de E :
dim(E) = card(B)
Propriété 8 Soit E un espace de dimension n, soit A une partie de E
→ Si A est une partie génératrice de E, alors card(A) ≥ n
→ Si card(A) < n, alors A n’est pas génératrice de E
→ Si A est libre, alors card(A) ≤ n
→ Si card(A) > n, alors A est liée.
4
2.1
Caractérisation des bases
Soit E un espace vectoriel de dimension n et A une partie de E.
Si A est une base, alors A est libre, A est génératrice de E et card(A) =
dim(E).
→ A est une base ⇔ A est libre et card(A) = dim(E)
→ A est une base ⇔ A est génératrice de E et card(A) = dim(E)
5
Chapitre
3
Sous-espace d’un espace de dimension
finie
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie :
Propriété 9 Soit F sous espace de E.
F est de dimension finie et dim(F) ≤ dim(E).
Propriété 10 Soient F et G deux sous-espace de E :
F cG
(F = G) ⇔
dim(F ) = dim(G)
Propriété 11 Formule de Grassman :
Soit F et G deux sous-espace de E :
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G)
Propriété 12 Soit E espace de dimension finie.
Soient F et G deux sous espaces de E. F et G sont supplémentaire si :
F +G=E
dim(E) = dim(F ) + dim(G)
Propriété 13 Tous sous-espace possède au moins un supplémentaire
Propriété 14
→ dim(∅) = 0
→ Si D est un sous espace de dimension 1, c’est une droite vectorielle
→ Si P est un sous espace de dimension 2, c’est un plan vectoriel
→ Si H est un sous espace de dimension n-1, c’est un hyperplan
→ Tout supplémentaires d’un hyperplan est une droite vectoriel
6
3.1
Rang d’une partie
Définition 5 Soit A une partie d’un espace E.
Le rang de A est la dimension du sous espace engendré par A :
rang(A) = dim(V ectA)
Propriété 15 Soit A c E :
→ (rang(A) = dim(E)) ⇔ (A est une partie génératrice de E)
→ (A est libre) ⇔ (rang(A) = card(A))
3.2
Sous espace supplémentaire et base
Soient F,G deux sous espaces de E, de base BF , BG :
BF ∪ BG = BE
( F et G sont supplémentaire ) ⇔
BF ∩ BG = ∅
7
Chapitre
4
Application linéaire entre deux espaces
de dimension finies
Soient E et F deux K-espaces vectoriel de dimension finies
4.1
Caractérisation par l’image d’une base de
E
Soit BE = e1 , ..., ep une base de E.
Soit u un vecteur de E telque :
 
x1
.

matB (u) = 
.
xp
Si f ∈ L(E,F), alors :
f (u) = x1 f (e1 ) + ... + xp f (ep )
4.2
Image d’une partie libre, liée ou génératrice de E
Soit f ∈ L(E,F).
→ Si L1 = u1 , ..., up est une partie liée, alors f (u1 ), ..., f (up )
8
→ Si L1 = u1 , ..., up est une partie libre, alors ? ? ? ? ? ?
→ L’image d’une partie génératrice de E est une partie génératrice de
Im(f)
→ Si B est une base de E, alors f(B) est génératrice de Im(f)
4.3
Rang d’une application linéaire
Définition 6 Soit f ∈ L(E,F).
Le rang de f est la dimension de l’image de f :
rang(f ) = dim(Im(f ))
Propriété 16 (f est surjective) ⇔ (rang(f ) = dim(F))
4.4
Théorème du rang
Soit f ∈ L(E,F) :
dim(Ker(f )) + rang(f ) = dim(E)
Propriété 17 (f est injective) ⇔ (rang(f ) = dim(E))
4.5
Forme linéaire
Définition 7 Une forme linéaire d’un espace est une application linéaire de
E dans son corps K.
Propriété 18 Si ϕ est une forme linéaire : rang(ϕ) ≤ 1
Propriété 19 Le noyau d’une forme linéaire non nuls est un hyperplan
9
Chapitre
5
Isomorphisme
Définition 8 On considère E,F deux espaces de dimension finie.
On dit que E et F sont isomorphe si il existe un isomorphisme de E dans F.
Dans cette situation, on obtient :
→ Ker(f ) = OE
→ Im(f ) = F
→ rang(f ) = dim(F) = dim(E)
→ Deux espaces isomorphe ont meme dimension
→ Soit BE une base de E, f un isomorphisme, alors f(BE ) est une base.
5.1
Caractérisation des isomorphismes
Soit ϕ une application linéaire de E dans F :
Propriété 20
Ker(ϕ) = {OE }
dim(E) = dim(F )
rang(ϕ) = dim(F )
dim(E) = dim(F )
(ϕ est bijective) ⇔
(ϕ est bijective) ⇔
(ϕ est bijective) ⇔ (ϕ(BE ) est une base de F)
5.2
Espace isomorphe
Théorème 3 Si F est un espace de dimension finie, si E et F sont isomorphe, alors E est aussi de dimension finie, et dim(E) = dim(F)
10