Série Etude de fonctions

Mathématiques
Ridha Jabnouni
Série : Etude des
fonctions
Classe : 3 eme info
Sousse - Nabeul - Bardo
Sfax-Menzah- Ezzahra
Bizerte - Kairouan - Kebili
Monastir - CUN- Gabes
[email protected]
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Soit f une fonction définie sur IR\{1}
Le graphique donnée dans la page 4 représente une partie de Cf courbe représentative de f dans un
repère orthonormé
,,o i j
La partie représentée par Cf admet une tangente horisontale au point P(2,5) et une asymptote
d'équation x = 1
1) Dans cette partie, utiliser le graphique pour répondre aux questions .
a- Déterminer
1
lim ( )
xfx
et
2
( ) (2)
lim 2
x
f x f
x
b- Dresser le tableau de variation de f sur ]1,4] (on ne cherchera pas à déterminer f(4))
2) On suppose qu'il existe deux réels a et b tels que pour tout x IR\{1}
on a : f(x)= ax+b +
11x
a- Montrer que f est dérivable sur \{1} et déterminer f '(x).
b- En déduire les valeurs de a et b
3) On suppose dans la suite que pour tout x IR\{1} , f(x) =
21
1
xx
x
a- Dresser le tableau de variation de f
b- Montrer que la droite : y = x +2 est une asymptote à Cf au voisinage de + ∞ et - ∞
c- Montrer que le point I (1,3) est un centre de symétrie de (Cf) .
d- Tracer  est compléter le graphique donné par obtenir (Cf).
Soit f une fonction dont le tableau de variation est le suivant, on note φ sa courbe représentative dans le
plan muni d’un repère orthonormé (O;
ji ;
)
x
− ∞ −∞ 1 2 …
+∞
f’(x)
+ 0 −
 − 0 +
f(x)
…
… …. − ∞
+∞ +∞ …
….
….
1)a)Donner le domaine de définition de f.
b) Donner une équation de l’asymptote verticale φ.
Exercice N°1 :
5 POINTS
30 mn
Exercice N°2 :
5 POINTS
30 mn

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2) On admet que
2
x 4x 5
f(x) x2
a) Calculer f ’(x) pour x≠2
b) Recopier et compléter le tableau de variation de f.
3)a)Montrer que la droite ∆ : y=x-2 est une asymptote oblique à φ.
b) Etudier la position de φ par rapport à ∆.
4) Montrer que ω(2,0) est un centre de symétrie de φ.
5) Tracer φ dans le repère (O;
ji ;
)
6) Soit la fonction g définie sur  par
2
x 6x 2 x 3 11
g(x) x 3 1
a) Montrer que la droite d'équation x=3 est un axe da symétrie de φg
b) Montrer que pout tout x [3, +∞ [, g(x) = f(x).
c) En déduire la courbe de g.
La courbe  ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur  .on admet que  admet
deux branches paraboliques de direction l’axe de ordonnées au voisinage de l’infini
1) Déterminer graphiquement
a)f(2) ,f’(2), f(3) et f’(3)
b)
xlim f(x)
,
xlim f(x)
,
x
f(x)
lim x
et
x
f(x)
lim x
c)Dresser le tableau de variation de f
Exercice N°3 :
5 POINTS
30 mn

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d) Le singe de f sur 
2) Soit g(x) =
a)Déterminer le domaine de définition de g
b) Etudier la dérivabilité de g à gauche en 1 et à droite en 3
(on pourra remarquer que
f(x) 1 f(x)
x 3 (x 3)
f(x)
). Interpréter graphiquement les résultats
c) Dresser le tableau de variation de g sur ],1][3,[.