Mathématiques Classe : 3 eme info Série : Etude des fonctions Sousse - Nabeul - Bardo Sfax-Menzah- Ezzahra Bizerte - Kairouan - Kebili Monastir - CUN- Gabes 73832000 www.takiacademy.com [email protected] Ridha Jabnouni Exercice N°1 : 30 mn 5 POINTS Soit f une fonction définie sur IR\{1} Le graphique donnée dans la page 4 représente une partie de Cf courbe représentative de f dans un o , i , j repère orthonormé La partie représentée par Cf admet une tangente horisontale au point P(2,5) et une asymptote d'équation x = 1 1) Dans cette partie, utiliser le graphique pour répondre aux questions . f (x ) f (2) x 2 x 2 a- Déterminer lim f (x ) et lim x 1 b- Dresser le tableau de variation de f sur ]1,4] (on ne cherchera pas à déterminer f(4)) 2) On suppose qu'il existe deux réels a et b tels que pour tout x IR\{1} on a : f(x)= ax+b + 1 x 1 a- Montrer que f est dérivable sur \{1} et déterminer f '(x). b- En déduire les valeurs de a et b 3) On suppose dans la suite que pour tout x IR\{1} , f(x) = x 2 x 1 x 1 a- Dresser le tableau de variation de f b- Montrer que la droite : y = x +2 est une asymptote à Cf au voisinage de + ∞ et - ∞ c- Montrer que le point I (1,3) est un centre de symétrie de (Cf) . d- Tracer est compléter le graphique donné par obtenir (Cf). Exercice N°2 : 30 mn 5 POINTS Soit f une fonction dont le tableau de variation est le suivant, on note φ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; i ; j ) −x ∞ +∞ f’(x) f(x) … −∞ 1 + …. … 2 0 … −− +∞ …. − +∞ 0 + … −∞ …. 1)a)Donner le domaine de définition de f. b) Donner une équation de l’asymptote verticale φ. www.TakiAcademy.com 73 832 000 1 2) On admet que f(x) x2 4x 5 x 2 a) Calculer f ’(x) pour x≠2 b) Recopier et compléter le tableau de variation de f. 3)a)Montrer que la droite ∆ : y=x-2 est une asymptote oblique à φ. b) Etudier la position de φ par rapport à ∆. 4) Montrer que ω(2,0) est un centre de symétrie de φ. 5) Tracer φ dans le repère (O; i ; j ) 6) Soit la fonction g définie sur ℝ par g(x) x2 6x 2x x 3 3 11 1 a) Montrer que la droite d'équation x=3 est un axe da symétrie de φg b) Montrer que pout tout x∈ [3, +∞ [, g(x) = f(x). c) En déduire la courbe de g. Exercice N°3 : 30 mn 5 POINTS La courbe φ ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur ℝ .on admet que φ admet deux branches paraboliques de direction l’axe de ordonnées au voisinage de l’infini 1) Déterminer graphiquement a)f(2) ,f’(2), f(3) et f’(3) b) lim f(x) x , lim f(x) , x lim x f(x) et x lim x f(x) x c)Dresser le tableau de variation de f www.TakiAcademy.com 73 832 000 2 d) Le singe de f sur ℝ 2) Soit g(x) = a)Déterminer le domaine de définition de g b) Etudier la dérivabilité de g à gauche en 1 et à droite en 3 (on pourra remarquer que f(x) x 3 1 f(x) ). Interpréter graphiquement les résultats f(x) (x 3) c) Dresser le tableau de variation de g sur ]∞,1]∪[3,+∞[. www.TakiAcademy.com 73 832 000 3
