APF 20S Systèmes d`équations linéaires Pdel 3 7.4 Méthode II

APF 20S
Pdel 3
Systèmes d’équations linéaires
7.4 Méthode II – Résoudre un système d’équations par substitution
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Matériel
RAS
10I.R.9. Résoudre des problèmes comportant des systèmes d’équations linéaires à
deux variables, graphiquement et algébriquement.
Pré-activité
Quiz de jour
Correction  p. 409 # 2-9, 10, 11, 13, 15, 19.
Notes : Substitution
Rappel : Il existe trois méthodes de résoudre un système d’équation linéaires
1.) Graphiquement
2.) Par la substitution
3.) Par l’élimination
Aujourd’hui, on va apprendre comment résoudre un système d’équation par la
substitution.
Cette méthode consiste à transformer un système de deux équations linéaires en une
seule équation à une variable et à déterminer la valeur de la variable.
Ex. 1 Résous le système linéaire suivant :
1.) 2x – 4y = 7
2.) 4x + y = 5
Solution :
Étape 1 : Choisis une équation et une variable à isoler.
Dans l’équation 2.), on peut isoler le y.
4x + y = 5
y = 5 – 4x
Étape 2 : Remplace y par 5 – 4x dans l’équation 1.) et isole x.
2x – 4y = 7
2x – 4(5 – 4x) = 7
2x – 20 + 16x = 7
18x = 27
x = 1,5
Étape 3 : Remplace x par 1,5 dans l’équation 2.)
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4x + y = 5
4 (1,5) + y = 5
6+y=5
y = -1
La solution est (1,5; -1)
Étape 4 : Vérifie la solution.
Ex. 2. a.) Représente la situation suivante à l’aide d’un système linéaire : Nuri a
placé 2000 $, une partie à un taux d’intérêt annuel de 8 % et le reste à un taux
d’intérêt annuel de 10%. L’intérêt total au bout d’un an est de 190 $.
Solution :
Établis un tableau
Montant placé ($)
Intérêt reçu ($)
à 8%
à 10%
Total ($)
Équation
a
0,08a
b
0,10b
2000
190
a + b = 2000
0,08a + 0,10b = 190
b.) Quel montant d’argent Nuri a-t-il placé à chaque taux ?
Solution :
1.) a + b = 2000
2.) 0,08a + 0,10b = 190
Étape 1 : Choisis une équation et une variable à isoler.
Dans l’équation 1.), on peut isoler le a.
a + b = 2000
a = 2000 – b
Étape 2 : Remplace y par 2000 - b dans l’équation 2.) et isole b.
0,08a + 0,10b = 190
0,08 (2000 – b) + 0,10b = 190
160 – 0,08b + 0,10b = 190
0,02b = 30
b= 1500
Étape 3 : Remplace b par 1500 dans l’équation 1.)
a + b = 2000
a + 1500 = 2000
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a = 500
Nuri a placé 500 $ à 8% et 1500 à 10%.
Étape 4 : Vérifie la solution.
Exemple 3 : résous le système suivant
1
2
1.) 2 𝑥 + 3 𝑦 = −1
1
5
2.) 𝑦 = 4 𝑥 − 3
Étape 1 : Écris un système linéaire équivalent dont les coefficients sont des nombres
entiers. (En autres mots, élimine les fractions)
Équation 1 : multiplie chaque terme par «6»
1
2
1.) 6 (2 𝑥 + 3 𝑦 = −1)
3𝑥 + 4𝑦 = −6
Équation 2 : multiplie chaque terme par «12»
1
5
2.) 12 (𝑦 = 4 𝑥 − 3)
12𝑦 = 3𝑥 − 20
NB : dans les 2 équations tu as «3x», donc on peut isoler «3x» et substituer
pour toute l’expression! Ceci n’arrive pas souvent.
Étape 2 : isole «3x» dans la 2e équation
12𝑦 + 20 = 3𝑥
Étape 3 : substitute dans la 1ere équation
3𝑥 + 4𝑦 = −6
(12𝑦 + 20) + 4𝑦 = −6
Étape 4 : isole «y»
12𝑦 + 20 + 4𝑦 = −6
16𝑦 = −26
26
𝑦=−
16
13
𝑦=−
8
Étape 5 : remplace dans une des équations
13
3𝑥 + 4 (− ) = −6
8
13
3𝑥 −
= −6
2
13
3𝑥 = −6 +
2
12 13
3𝑥 = − +
2
2
1
3𝑥 = −
2
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𝑥=−
1
6
𝟏
La solution est (− 𝟐 , −
𝟏𝟑
𝟖
)
Exemple 4 : résous le système suivant
𝑥
5
1.) 2 + 𝑦 = 2
2.) 𝑥 + 2𝑦 = 5
Étape 1 : élimine les fractions
Équation 1 : multiplie chaque terme par «2»
𝑥
5
1.) 2 (2 + 𝑦 = 2)
𝑥 + 2𝑦 = 5
Étape 2 : isole x dans la 2e équation
𝑥 = 5 − 2𝑦
Étape 3 : remplace dans la première équation
(5 − 2𝑦) + 2𝑦 = 5
Étape 4 : isole
5 − 2𝑦 + 2𝑦 = 5
5=5
NB :
Définition : un système linéaire équivalent. Un système linéaire est équivalent
quand les deux variables s’éliminent et la réponse est équivalente.
Ceci veut dire que les deux équations sont la même ligne et n’importe quelle
valeur pour «x» va te donner la même valeur pour «y» dans les deux équations.
Activité
Avec un partenaire, décide ce qui arrive dans cette situation :
1) 4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
2) 2𝑦 = 8𝑥 − 4
Réponse : les deux lignes sont parallèles (elles ont la même pente) et donc les lignes
ne touchent jamais  il y a aucune solution.
Postactivité
Devoirs : p. 425 # 4-5 (ace), 6, 8, 11-17 (impaires), 19 (ac), 23
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