Les équations de Maxwell

PSI Brizeux Ch. E3 Les équations de Maxwell 40
CHAPITRE E3
CHAPITRE E3
LES ÉQUATIONS DE MAXWELL
1. LES EQUATIONS DE MAXWELL
1.1. Insuffisance des équations locales des régimes stationnaires
Dans le cadre des régimes stationnaires, précédemment étudiés, les champs
!
E
et
!
B
sont
totalement découplés .
!
E
est déterminé par la résolution des équations :
!
rot
!
E
=
!
0
et div
!
E
= ρ
ε0
!
B
est déterminé par la résolution des équations :
!
rot
!
B
=µ0
!
j
et div
!
B
= 0
Plusieurs phénomènes fondamentaux de l’électromagnétisme ne peuvent être décrits à l’aide de
ces équations, ce qui ne remet pas en cause leur validité, mais limite leur champ d’étude : tous ces
phénomènes correspondent en effet à des régimes variables pour lesquels ces équations sont
incomplètes. C’est pourquoi nous avons bien précisé que les équations locales écrites ci-dessus
s’appliquent aux régimes stationnaires.
Nous cherchons à présent des équations plus générales, valides dans un régime quelconque, et
dont les équations précédentes représentent un cas particulier quand la dépendance vis à vis de la
variable temps disparaît.
Remarquons par exemple qu’un champ électrique à circulation conservative ne peut expliquer
l’apparition d’une force électromotrice (c’est à dire d’une tension) dans un circuit fermé, phénomène
pourtant fondamental que l’on rencontre quand on déplace un circuit dans un champ magnétique ou
qu’on le soumet à un champ magnétique variable.
Le caractère ondulatoire du champ électromagnétique, associé en fait à des phénomènes de
propagation est également « absent » des équations ci-dessus.
Plus concrètement enfin, l’équation de conservation de la charge, directement établie au chapitre
1, n’est pas vérifiée par ces équations puisqu’elles n’impliquent que div
!
j
= 0. Nous avons d’ailleurs
précisé la compatibilité de toutes ces équations dans le cadre restreint des régimes stationnaires...
Historiquement enfin, il faut savoir que les 4 équations que nous allons en quelque sorte affirmer
comme les postulats de base de l’électromagnétisme ne se sont pas bâties en un jour, mais
progressivement construites et enrichies séparément par les études de nombreux physiciens. Il
revient en fait à Maxwell le mérite de les avoir définitivement regroupées pour en faire les
fondements de l’électromagnétisme.

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1.2. Les 4 équations de Maxwell
1.2.1. Expression et interprétation physique
Quatre équations, ajoutées à la loi d'interaction, forment les postulats de base de
l'électromagnétisme :
- Equation du flux magnétique M1 : div
!
B
= 0
Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale, obtenue en écrivant :
S
!!
!
B
.
!
dS
= 0
précise sa signification : Le flux de
!
B
à travers toute surface fermée est nul. C'est une propriété
intrinsèque de
!
B
qui montre que le champ magnétique ne peut diverger à partir de points de
l'espace, ou encore qu'il n'existe pas de charges magnétiques. Nous retrouvons là en fait la même
équation qu’en régime stationnaire...
- Equation de Maxwell-Faraday M2:
!
rot
!
E
= -
!
"B
"t
Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale est:
!
rotE.dS
S
""
=
C
!
!
E
.
!
dl
= -
!
"d
dt
B.dS
S
##
( )
= - dφ
dt
Cette équation décrit tous les phénomènes d'induction et montre qu'un champ magnétique
variable peut créer un champ électrique à circulation non nulle.
- Equation de Maxwell-Gauss M3 : div
!
E
= ρ
ε0
Cette équation relie le champ électrique à ses sources. Sa forme intégrale est :
∫∫∫τ div
!
E
dτ =
S
!!
!
E
.
!
dS
= ∫∫∫τ ρ
ε0 dτ = Qint ε0
Ce résultat qui exprime que le flux du champ électrique à travers toute surface fermée est égal à
la somme des charges intérieures sur ε0 est connu sous le nom de théorème de Gauss. Il montre que
le champ électrique peut lui diverger à partir de points où se trouvent des charges électriques. Le
« théorème de Gauss » est donc vrai en régime variable.

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- Equation de Maxwell-Ampère M4 :
!
rot
!
B
= µ0 (
!
j
+ ε0
!
"E
"t
)
Cette équation relie le champ magnétique à ses sources et au champ électrique. Sa forme
intégrale est :
∫∫s
!
rot
!
B
.
!
dS
=
C
!
!
B
.
!
dl
= µ0 ∫∫s
!
j
.
!
dS
+ µ0ε0 ∫∫s
!
"E
"t
.
!
dS
En régime stationnaire, nous retrouvons le théorème d’Ampère qui montre que le champ
!
B
tourne autour des courants. Le terme supplémentaire en
!
"E
"t
indique qu’un champ électrique
variable est source de champ magnétique.
Rq.1 Ces équations couplent bien
!
E
et
!
B
qui ne peuvent être, dans le cas général, calculés
indépendamment l'un de l'autre.
Rq.2 En prenant divM4, on obtient div
!
j
+ ε0 div(
!
"E
"t
) = 0 soit, en intervertissant les dérivations
par rapport au temps et à l'espace, et en utilisant M3 : div
!
j
+ ∂ρ
∂t = 0. L’équation de conservation
de la charge est bien satisfaite !
1.2.2. Linéarité des équations
La linéarité des équations de Maxwell est fondamentale : elle permet d’affirmer que si une
distribution de charges et de courants D1 crée le champ (
!
E
1,
!
B
1) et une distribution D2 le champ (
!
E
2,
!
B
2), la superposition des distributions D1 et D2 crée le champ (
!
E
1+
!
E
2,
!
B
1 +
!
B
2).
2. CONTINUITES ET DISCONTINUITES DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
Le modèle limite des distributions surfaciques de charges et de courants entraîne des
discontinuités des champs
!
E
et
!
B
à la traversée de telles distributions. Les équations de Maxwell
permettent de déterminer ces discontinuités :
!
E2"E1=#
$0
n12
B2"B1= µ0js%n12
&
'
(
)
(
€
n12

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Ces relations font apparaître la possibilité d'une discontinuité de la composante normale de
!
E
et la continuité de la composante tangentielle de
!
E
.
Elles font également apparaître la possible discontinuité des composantes tangentielles
de
!
B
et la continuité de la composante normale de
!
B
.
Il est important de bien comprendre que les discontinuités des champs disparaissent pour des
distributions volumiques de charges et de courants : c’est le modèle surfacique qui les provoque.
3. CHAMPS ET POTENTIELS
3.1. Existence de potentiels associés aux champs
M1 implique qu'il existe un vecteur
!
A
, appelé potentiel-vecteur, tel que
!
B
=
!
rot
!
A
, puisque tout
champ de vecteurs à divergence nulle dérive d'un rotationnel. En reprenant M2, on a alors :
!
rot
!
E
= -
!
"
"t
rot A
( )
= -
!
rot
!
"A
"t
D'où
!
rot
(
!
E
+
!
"A
"t
) =
!
0
Or, tout champ de vecteurs à rotationnel nul dérivant d'un gradient, il existe donc un scalaire V,
appelé potentiel, tel que la parenthèse puisse s'écrire :
!
E
+
!
"A
"t
= -
!
grad
V
le signe - étant ici purement conventionnel.
Au couple (
!
E
,
!
B
), on vient donc d'associer un couple (
!
A
,V) de potentiels reliés aux champs par :
!
E
= -
!
grad
V -
!
"A
"t
;
!
B
=
!
rot
!
A
Nous retrouvons évidemment les potentiels précédemment définis en régime stationnaire :
comme nous l’avions prévu, les expressions de
!
E
et
!
B
vis à vis des potentiels prennent alors la
forme simplifiée :
!
E
= -
!
grad
V
!
B
=
!
rot
!
A
Notons dès à présent que le lien entre
!
B
et
!
A
ne change pas en régime stationnaire et en régime
variable, ce qui n’est pas le cas de
!
E
. Nous exploiterons plus loin cette remarque.

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Remarque : Pour un couple (
!
E
,
!
B
) donné, on a en fait une infinité de couples (
!
A
,V) possibles.
Supposons en effet qu'on en ait trouvé un noté (
!
A
0,V0) et soit φ(M,t) une fonction scalaire
quelconque. Si l'on écrit
!
A
=
!
A
0 +
!
grad
φ, on a encore
!
B
=
!
rot
!
A
. Pour obtenir le même
!
E
, il suffit
de définir un nouveau potentiel V tel que :
-
!
grad
V -
!
"A
"t
= -
!
grad
V0 -
!
"A0
"t
ce qui donne V = V0 + ∂φ
∂t . On peut construire ainsi une infinité de couples de potentiels donnant
les mêmes champs.
Ceci n'est pas forcément ennuyeux : les potentiels ne sont qu'un intermédiaire de calcul et cette
indétermination peut être mise à profit en imposant une condition supplémentaire sur ces potentiels
qui simplifie les calculs intermédiaires. Cette condition est appelée choix de jauge.
Ainsi, l’équation : µ0ε0
∂V
∂t + div
!
A
= 0
qu'on appelle jauge de Lorentz et qui ne fait que restreindre le choix de tous les couples (
!
A
,V)
possibles permet d’obtenir, pour les potentiels, les équations appelées équations de Poisson :
ΔV - µ0ε0
∂2 V
∂t2 + ρ
ε0 = 0 et
!
"
!
A
- µ0ε0
!
"2A
"t2
+ µ0
!
j
=
!
0
Une fois encore, en régime stationnaire, nous retrouvons les équations de Poisson des potentiels
introduites au chapitre précédent. De même la forme particulière de la jauge de Lorentz en régime
stationnaire n’est autre que la jauge de Coulomb ! Il y a donc parfaite compatibilité entre les équations
des régimes variables et celles des régimes stationnaires.
La différence fondamentale entre les deux régimes est l’apparition de termes en ∂2
∂t2 qui, nous le
verrons, impliquent la notion de propagation du champ électromagnétique. Remarquons d’ailleurs
qu’une analyse dimensionnelle des équations de Poisson montre que le produit µ0ε0 a les dimensions
de l’inverse du carré d’une vitesse.
On peut donc écrire :
µ0ε0c2 = 1
La vitesse c, appelée célérité des ondes électromagnétiques dans le vide, a vu sa valeur fixée par la
définition du mètre comme la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant 1/299792458
seconde.
La valeur de c est donc exactement fixée. Nous retiendrons que cette valeur est proche de
3.108 m.s-1.
Les valeurs de ε0 et µ0 sont alors respectivement fixées à :
ε0 = 1
36π.109 F.m-1 et µ0 = 4π. 10-7 H.m-1