8 Polynôme minimal d`une transformation linéaire - ANMC

Algèbre linéaire avancée
Prof. A. Abdulle
Automne 2015
EPFL
Résumé de la semaine du 07 décembre 2015
Esapces propres. Exemples d'espaces propres. Liens avec les matrices diagonales.
Algorithme (méthode) pour la diagonalisation. On calcule p (λ), on trouve
ses racines. On compare les multiplicités algébriques et géométriques.
Proposition. Soient A, B ∈ M
A
des matrices diagonalisables. Alors AB = BA
si et seulement si il existe P ∈ Mn×n (K) inversible telle que P −1 AP et P −1 BP soient
diagonales (on dit que A et B sont simultanément diagonalisables).
n×n (K)
Exemples et applications. Dénition de la puissance d'une matrice.
Matrices triangularisable. Dénition des matrices trigonalisables.
Théorème 3 (Théorème de triangularisation). Soit A ∈ M (K).
n×n
trigonalisable
si et seulement si pA (λ) est scindé, i.e., pA (λ) =
Pn
m
=
n
.
i
i=1
Πri=1 (λ
Alors A est
− λi )mi avec
Dans la preuve du Théorème 3, on trouve un algorithme pour triangulariser une matrice
dont le polynôme est scindé.
Corollaire. Toute matrice A ∈ M
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n×n (C)
est triangularisable.
Polynôme minimal d'une transformation linéaire, théorème
d'Hamilton-Cayley et matrices nilpotentes
On peut évaluer un polynôme p(t) ∈ K(t) en une matrice A ∈ Mn×n (K).
Lemme 1. Soient V
un K -espace vectoriel de dimension nie, B une base de V ,
p(t) ∈ K(t) et f ∈ L(V, V ). Alors
[p(f )]B,B = p([f ]B,B ).
Polynôme annulateur.
Lemme 2. Pour A ∈ M
Dénition d'un polynôme annulateur, p(A) = 0.
n×n (K),
il existe toujours des polynômes annulateurs non-nuls.
Dénition d'un polynôme minimal de A ∈ Mn×n (K), on le note mA (t).
Lemme 3. Soit p(t) un polynôme minimal de A ∈ M
n×n (K).
Alors
1. si g(t) est un polynôme annulateur de A alors g(t) est un multiple de p(t).
2. le polynôme minimal (correspondant à A) est unique.
Lemme 4. Si A, B ∈ M
n×n (K) sont semblables (i.e. ∃P inversible telle que B =
P −1 AP ) alors mA (t) = mB (t).
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Matrices à coecients dans un anneau et déterminants.
On considère maintenant des matrices A ∈ Mm×n (R), où R est un anneau commutatif.
1. det A = det A> , pour A ∈ Mn×n (K),
2. adjA · A = A · adjA = det A · In ,
3. det A 6= 0 si et seulement si A est inversible n'est plus vraie!
Théorème 1 (Hamilton-Cayley). Soit A ∈ M
n×n (K) et pA (λ) le polynôme caractéristique de A. Alors pA (A) = 0. (De même pour une application f ∈ L(V, V )).
Exemples.
Corollaire 1. Soit A
∈ Mn×n (K). Alors le polynôme caractéristique pA (λ) et le
polynôme minimal mA (λ) ont les mêmes racines.
Corollaire 2. Si p
Πri=1 (λ
− λi
)ki ,
= Πri=1 (λ−λi )mi est scindé avec mi = malg (λi ), alors mA (λ) =
avec 1 ≤ ki ≤ mi , pour tout i = 1, . . . , r
A (λ)
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
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