PCSI 2016/17 Nombres complexes et trigonométrie 1. Soit z et z 0 deux nombres complexes de module 1 et a un réel. On note : Z = z + z 0 + azz 0 + 1 Z 0 = z + z 0 + zz 0 + a et (a) Montrer que Z 0 = zz 0 Z̄ et que |Z| = |Z 0 |. z + z0 est réel. 1 + zz 0 2. Soit z et z 0 ∈ C. Montrer que : |z| + |z 0 | ≤ |z + z 0 | + |z − z 0 |. (b) On suppose que 1 + zz 0 6= 0. Montrer que le nombre 3. Soit D = {z ∈ C | |z| < 1} (disque ouvert de centre 0 et de rayon 1.) z+a (a) Montrer que pour a ∈ D, la fonction f : z 7→ laisse D globalement invariant, autrement dit : 1 + āz pour tout z ∈ D, f (z) existe et f (z) ∈ D. (b) Pour tout a ∈ D, on désigne par fa : D → D la fonction précédente. Soient a et b ∈ D ; montrer qu’il existe λ ∈ C c ∈ D tels que : fa ◦ fb = λfc et |λ| = 1. (c) En gardant les hypothèses et notationss de la question précédente, λ et c sont-ils uniques ? 4. A quelle condition les points d’affixes z, i et iz sont-ils alignés ? 5. Trouver les angles θ tels que 3θ soit un angle droit. 6. Soient deux angles α et β. Quand a-t-on sin α = cos β ? 7. En utilisant l’exercice précédent, résoudre les équations suivantes d’inconnues l’angle θ : sin θ = cos(2θ) (1) ; sin(2θ) + cos(3θ) = 0 (2) √ √ 8. Soient ~u et ~v les vecteurs de coordonnées respectives ( 2, 3) et (−2, −1). Montrer qu’il existe un angle θ tel que : rθ (~u) = ~v et déterminer cos θ et sin θ. En utilisant la touche cos−1 de votre calculatrice, donner une mesure approchée de θ. √ i− 3 √ ; de 1 + eiθ + e2iθ (θ ∈ [0, π].) 9. Calculer le module et l’argument de (i + 3)5 p p √ √ 2 2 + 2 + i 2 − 2 . En déduire cos(π/8), sin(π/8) et tan(π/8). 10. Donner l’écriture polaire de 11. On pose : j = e2iπ/3 . Montrer que a, b et c sont les affixes d’un triangle équilatéral si et seulement si a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0 si et seulement si (a + bj + cj 2 = 0 ou a + bj 2 + cj = 0.) 12. Soit n ∈ N. (a) On pose A = X 2p≤n (−1)p n et B = 2p X (−1)p 2p+1≤n n . Mettre sous forme trigonométrique le 2p + 1 nombre complexe A + iB et en déduire les valeurs de A et de B. (b) Par une méthode analogue, calculer Sn = n1 − 3 n3 + 9 n5 − 27 n7 + · · ·. Quand a-t-on S = 0 ? n n X X n 13. Soit n ∈ N et x ∈ R. Calculer cos(kx) et sin(kx). k k=0 k=0 14. Linéariser les expressions suivantes : cos3 (2x) sin x , cos2 (3x) sin2 (2x) , cos(px) cos(qx). sin(nx) eit − e−it en partant de : sin t = . sin(x) 2i p |z|(z + |z|) 16. Soit z un nombre complexe tel que z 6∈ R− . On pose : u = z + |z| . Montrer que u est une racine carrée de z. 15. Soit n ∈ N et x tel que sin(x) 6= 0 ; factoriser puis linéariser 17. Résoudre les équations suivantes d’inconnue z ∈ C : 2(z 2 + z + 1)2 = i(z + 1)2 z n = z̄ p (n et p ∈ N∗ ) z 6 + z 3 (z + 1)3 + (z + 1)6 = 0 , , z 10 + z 5 + 1 = 0 , , 4z 2 + 8|z|2 − 3 = 0 z 4 + 6z 3 + 9z 2 + 100 = 0