PCSI 2016/17 Nombres complexes et trigonométrie

PCSI 2016/17 Nombres complexes et trigonométrie
1. Soit zet z0deux nombres complexes de module 1 et aun réel. On note :
Z=z+z0+azz0+ 1 et Z0=z+z0+zz0+a
(a) Montrer que Z0=zz0¯ Zet que |Z|=|Z0|.
(b) On suppose que 1 + zz06= 0. Montrer que le nombre z+z0
1 + zz0est réel.
2. Soit zet z0∈C. Montrer que : |z|+|z0|≤|z+z0|+|z−z0|.
3. Soit D={z∈C| |z|<1}(disque ouvert de centre 0 et de rayon 1.)
(a) Montrer que pour a∈D, la fonction f:z7→ z+a
1 + ¯az laisse Dglobalement invariant, autrement dit :
pour tout z∈D,f(z)existe et f(z)∈D.
(b) Pour tout a∈D, on désigne par fa:D→Dla fonction précédente. Soient aet b∈D; montrer qu’il
existe λ∈Cc∈Dtels que : fa◦fb=λfcet |λ|= 1.
(c) En gardant les hypothèses et notationss de la question précédente, λet csont-ils uniques ?
4. A quelle condition les points d’affixes z,iet iz sont-ils alignés ?
5. Trouver les angles θtels que 3θsoit un angle droit.
6. Soient deux angles αet β. Quand a-t-on sin α= cos β?
7. En utilisant l’exercice précédent, résoudre les équations suivantes d’inconnues l’angle θ:
sin θ= cos(2θ) (1) ; sin(2θ) + cos(3θ) = 0 (2)
8. Soient ~u et ~v les vecteurs de coordonnées respectives (√2,√3) et (−2,−1). Montrer qu’il existe un angle
θtel que : rθ(~u) = ~v et déterminer cos θet sin θ. En utilisant la touche cos−1de votre calculatrice, donner
une mesure approchée de θ.
9. Calculer le module et l’argument de i−√3
(i+√3)5; de 1 + eiθ +e2iθ (θ∈[0, π].)
10. Donner l’écriture polaire de p2 + √2 + ip2−√22 . En déduire cos(π/8),sin(π/8) et tan(π/8).
11. On pose : j=e2iπ/3. Montrer que a, b et csont les affixes d’un triangle équilatéral si et seulement si
a2+b2+c2−ab −bc −ca = 0 si et seulement si (a+bj +cj2= 0 ou a+bj2+cj = 0.)
12. Soit n∈N.
(a) On pose A=X
2p≤n
(−1)pn
2pet B=X
2p+1≤n
(−1)pn
2p+ 1. Mettre sous forme trigonométrique le
nombre complexe A+iB et en déduire les valeurs de Aet de B.
(b) Par une méthode analogue, calculer Sn=n
1−3n 3+ 9n 5−27n 7+···. Quand a-t-on S= 0 ?
13. Soit n∈Net x∈R. Calculer
n
X
k=0 n
kcos(kx)et
n
X
k=0
sin(kx).
14. Linéariser les expressions suivantes : cos3(2x) sin x , cos2(3x) sin2(2x),cos(px) cos(qx).
15. Soit n∈Net xtel que sin(x)6= 0 ; factoriser puis linéariser sin(nx)
sin(x)en partant de : sin t=eit −e−it 2i.
16. Soit zun nombre complexe tel que z6∈ R−. On pose : u=p|z|(z+|z|)
z+|z|
. Montrer que uest une racine
carrée de z.
17. Résoudre les équations suivantes d’inconnue z∈C:
2(z2+z+ 1)2=i(z+ 1)2, z6+z3(z+ 1)3+ (z+ 1)6= 0 ,4z2+ 8|z|2−3=0
zn= ¯zp(net p∈N∗), z10 +z5+ 1 = 0 , z4+ 6z3+ 9z2+ 100 = 0