Existence, unicité et construction des corps finis

Existence, unicité et construction des corps finis
Riffaut Antonin
2013-2014
Existence et unicité des corps finis Soit kun corps. Le noyau du morphisme d’anneaux ϕ:n∈
Z7−→ n.1k∈kest un idéal de Z, donc de la forme nZ, avec n∈Z. Comme Z/nZ'Im ϕest intègre,
alors n= 0 ou nest un nombre premier. Si n= 0,ϕest injectif, et le sous-corps premier de kest
isomorphe à Q. Sinon, le sous-corps premier isomorphe à Z/nZ.ns’appelle la caractéristique de k.
Désormais, kdésigne un corps fini de caractéristique p, avec pun nombre premier.
Proposition 1. (i) Le cardinal de kest une puissance de p.
(ii) Réciproquement, pour tout n∈N∗, il existe un corps kde cardinal pn. De plus, kest unique à
isomorphisme près.
Démonstration. (i) Le sous-corps premier de kétant isomorphe à Z/pZ,kpossède une structure
naturelle de Z/pZ-espace vectoriel. En notant n= [k:Z/pZ], alors |k|=|Z/pZ|n=pn.
(ii) Soit n∈N∗. Si kest un corps fini de cardinal pn, alors kest le corps de décomposition de
Xpn−Xsur Z/pZ: en effet, pour tout x∈k,xest racine de Xpn−X, donc Xpn−Xpossède
ses pnracines dans k.
Réciproquement, soit Kle corps de décomposition de Xpn−Xsur Z/pZ. Soit kl’ensemble des
éléments de Kqui sont racines de Xpn−X. Vérifions que kest un sous-corps de K: d’une part,
1K∈k; d’autre part, si x, y ∈k, alors xpn=xet ypn=y, donc (x+y)pn=xpn+ypn=x+y
et (xy−1)pn=xy−1, si bien que x+y, xy−1∈k. Par ailleurs, (Xpn−X)0=−1est premier avec
Xpn−X, donc les racines de Xpn−Xsont simples, de sorte que |k|=pn: par conséquent,
k=Kest un corps à pnéléments, et il est unique à isomorphisme près, par unicité du corps de
décomposition de Xpn−Xsur Z/pZ.
On notera Fqle corps fini à q=pnéléments.
Construction des corps finis Soit P∈Fp[X]un polynôme irréductible sur Fp. En notant n=
deg(P), alors Fp[X]/(P)est le corps de rupture de Psur Fp, de cardinal pn. Nous allons démontrer
que pour tout n∈N∗, il existe un polynôme irréductible sur Fpde degré n.
Proposition 2. Pour tout n∈N∗, posons I(n, p)l’ensemble des polynômes de Fp[X]unitaires,
irréductibles, de degré n. Alors pour tout n∈N∗, dans Fp[X],
Xpn−X=Y
d|n
Y
P∈I(d,p)
P. (1)
Démonstration. •Soit Pun facteur irréductible de Xpn−Xsur Fp, de degré d. Le corps de
rupture de Psur Fpest un sous-corps de cardinal pddu corps de décomposition de Xpn−X
sur Fp, c’est-à-dire Fpn, donc d|n.
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•Réciproquement, soient d|n, et P∈I(d, p). Soit αune racine de Pdans le corps de rupture
de Psur Fp; alors Fp(α)'Fpd. On en déduit que αest racine de Xpn−X. Or comme Pest
irréductible, alors Pest le polynôme minimal de αsur Fp, donc P|Xpn−X.
Pour conclure, il suffit de remarquer que les facteurs irréductibles de Xpn−Xsur Fpsont
simples (par le même argument que précédemment), d’où la formule annoncée. 
Corollaire 3. Pour tout n∈N∗, il existe un polynôme irréductible sur Fpde degré n.
Démonstration. Il s’agit de montrer que card I(n, p)>0. Pour ce faire, en passant au degré dans la
formule (1), on obtient
pn=X
d|n
dcard I(d, p).
Il s’ensuit que pour tout d∈N∗,pd≥dcard I(d, p), puis que
ncard I(n, p) = pn−X
d|n, d6=n
dcard I(d, p)
≥pn−X
d|n, d6=n
pd
≥pn−
n−1
X
d=1
pd
≥pn−ppn−1−1
p−1>0.
Références
[Per] Daniel Perrin,Cours d’algèbre, Ellipses.
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