Corps finis

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
A NDRÉ WARUSFEL
Corps finis
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome
exp. no 9, p. 1-7
9, no 1 (1967-1968),
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Séminaire DELANGE-PIS OT-POITOU
(Théorie
nombres)
année, 1967/68, n°
9e
9-01
des
15 janvier 1968
9
y
CORPS FINIS
par André WARUSFEL
1. Préliminaires.
Tout corps fini
caractéristique
a une
Soit
G
groupe
tout
de
K
et
k.1
Si l’on avait
0 . La
=
bien
a
=
âZ-
ce
(c)
est son .corps
v)
sur
bien
premier. Etant
|K|
F , son cardinal
Polynômes cyclotomiques
Soit
(racines
un
nombre
premier.
un
y.a
on
=>
m.a
élément
=
p
0
on
nul. Il
déduit
k.a
engendre
=
un
0 ,y pour
existe donc.
pourrait écrire
m.(n.l)==m.a==0 ~
0 , c’est-à-dire
=
non
m.1
=
0
en
multipliant
par
est contradictoire.
p
(a)
qui est
p
contient donc le corps de Galois
K
qui
2.
qui
ou
a
caractéristique
p = mn , alors
0 ,
n.l ==
et
k . De
diviseur de
p.1 = 0
ou
K
le cardinal du corps
d’ordre y ,
a
a
(b)
k
nulle
pv .
Son cardinal est de la forme
(a)
non
Rn
espace vectoriel
est
dans le corps
de 1 ).
On
peut
de dimension finie
égal à
l’ensemble des racin.es
primitives
(nécessairement
C.
n-ièmes de l’unité telles que
alors écrire
et
(fonction
=
n~.~
avec
Soit
d
et
k’
diviseur de
un
Toute racine
d=-Sd’où
de
x
polynômes (p.
que l’on peut écrire
Soit
P
n
~x)
et
exp
~eX ~
d~n
p
1
car
2ik03C0 n . Si
et que
étant premiers entre
cp
1~~I ~od ~x)
=
type
x=exp-20142014L
voit que
on
= k 03B4 ,
divise ~ ~
est du
a)
Deux
~d)
premiers
n
divise
n
(c)
d’Euler : nombres d’entiers inférieurs à
eux
p. g.
(k y n)
d. (k’
d)
d.
c.
p. g. c.
si
=
y
d’ ~ d ~
P2 = i - ~ ).
-1 ,
03B4 ,
=
m
on
1y
voit donc
"
9
pour
cLn
tout
~e~
m
n
Si
(p ’m
est
unitaire,
divise strictement
il
en
est de même de
n ~ (o
d
..
déduit que
c~nn
tient
divise
---
d
qui est
2
un
entier, et
n >
1 ~t
étant alors premiers entre eux.
..
un
polynôme unitaire
est lui-même unitaire et à coefficients entiers.
(f) Soit ~ ~
et de
P
n
n
,
on en
d
et si
de
Le quo-
|03C6n(q)|
Donc
>
(l’inégalité
q - 1
est stricte
1~
puisque
03B8 ~ 0
R , d’où
1 ).
cos6
3. Théorème de Wedderburn.
(a)
h
Soit
)H)
=
~ ==
c~
un
sous-corps de
K. Sa
H -
(0)
est
un
sous-groupe de
(0 ~ p ~) ,
+ P
Si
de
K ,
De
plus,
(d)
a E K -
{0}
et
M
=
a
K
{x ‘
q
est
une
une
est
x E
puissance exacte de
d’équivalence
partition
P
de
sur
K -
c’est-à-dire le nombre d’éléments
a
~ e~
p , et
encore
K -
~0) , (h - 1)
une
racine exacte de
(k - 1). Si
divise
K ,
xa =
k =
ha .
est
un
ax ,
M
t
multiple
a
sous-corps
ainsi que le centre
La relation
définit
est
on a
Le cardinal d’un. sous-corps de
(b)
caractéristique
p~.
=
Comme
H
tincts (03B a = 1 =>
La relation
a E
K -
{0} .
b
0393 - {0}) .
qS,
et
est
de
s.
(0)
Soit
03BBa
a
le nombre
tels que les éléments
d’équivalents
ab
de
a ,
soient dis-
et
Il y
a
donc
n =
a
a
1
éléments
tels que
c
b ~ c ,y d’où
(f)
Dénombrant les cardinaux des classes de la partition P ,en comptant d’abord
les éléments de r - ~0~ pour lesquels À = 1 , on obtient
a
slt
où
et
divisant
s
t . Si
q - 1
n’est pas
K
commutatif,
et tous les termes de la forme
Ceci est contradictoire
avec
0393 ~ K
et
qt - 1 qs - 1 ,
t > 1 .Mais
doit alors diviser
q - 1 .
la relation
Tout corps fini est commutatif.
K - ~0~
4.
(a)
est
Pour tout
cyclique.
a E
K ,y il est clair que
k
a
(soit
des
a = 0 , soit que l’ordre de
racines simples dans K , on a donc
(b)
que
Il est bien
ments d’ordres
connu en
à
K -
a , ~ , ~ ... ,
~0~ ,
ce
a
divise
k-1 ).
théorie des groupes commutatifs
il existe
T -- p. p.
Appliqué
= a
c e m.
un
élément ~
eux.
qu’étant donnés
que
des élé-
d’ordre
~a , ~ , ~ , ... ~ .
théorème montre que les ordres de
diviseurs du plus grand d’entre
n’ayant
Pour tout
a ~ 0 ,
ses
on a
éléments sont des
donc
aT =
1
et
(c)
Donc
k
T +
Il existe donc w
E
1 . Mais
comme
K -
d’ordre
sont des puissances exactes de
totalement
de Q
D’autre
ce
décomposé. Dans 0,
de cardinal
part,
6.
polynôme
E
forment
F [X]
est
sous-corps K
un
sur
v
(tel
puis résulte
pV )
=
que
de la relation
entier ~ ~ il
de décomposition
FK
k
que
existe donc
X -
de
X
au
moins
dans
un
Fpy
porps de Galois.
ou
L’ensemble des
polynômes
idéal engendre par
contenant
(b)
Si
d’où
K
(d)
[X]
F
diviseur Q
engendre cycliquement
uo
et
H
Il existe donc
On sait que
(D y racine de
donc,
~
X -
=
un
Si
=
Il suffit
un
de
a y contenant évidemment
k
(c)
et
~0~
corps
appelé
Construction de F
(a)
un
le
et tout
p
le corps
de Galois
lequel
les racines de X - X
k = p ,
pour
premier
de cardinal
champ
K -
k -1 .
=
k. En effet,
connu
Pour tout nombre
K
dans
montre par récurrence
on
qui est bien
k - 1 , et tous les éléments de
T
p~ ,
F
de
sur-corps Q
un
il est clair que
k - 1 ,
oo .
5. Existence d’un corps de cardinal
Il existe
divise
T
K
F
=
s’annulant pour
X -
de
F
(a)
K -
=
(0) ,
X . Le
est donc
et si
==
a
de
K
est
plus petit sous-corps de
F
H
=
F
P
((jo) ,
F
(a)
K
lui-même.
03C9|H|
on a
==
03C9 ,
(cj) .
polynôme irréductible Q~
Q~ est de degré n , on a
X
élément
un
H
X
djk-1
Xy est donc
pour construire
(p.(x) .
F y
de
JKJ
et
décomposer
,d’où
=
=
(p.
tel que
F [x]
"
"
racine de
de
non
0 ,alors
d’un
(p (x)
e
(p-
=
0
n == ~ .
a~
=
avec
en
1 .
d
k - 1 .
polynômes
irréductibles dans
F
j~X~] :
on a vu
qu’il
existait
en
au
moins
un
degré
B;y
engendre
par
de
soit
°
(e) Exemple : p=2
y
d’où deux
polynômes
7. Unicité de
(a)
Soient
racine
une
Q..
possibles engendrant
K’
deux corps de même cardinal
et
d’un
polynôme
Cette
égalité, vraie dans
totalement décomposer il
(b)
K’
Tout élément de
est
un
même
au
K’
Soit alors
sous-corps de
F ,- ~
Fk .
K
c~
k= 16 .
~=4 ~
isomorphisme
polynôme Q0
champ de Galois
F
en
contenant
K
=
Fk .
a
de
racine de
fortiori dans
est
Q...
peut s’écrire
K
et
K’j~X~ . X -
X y étant
Q~ .
Elle
est de cardinal
(jo’
de corps entre
de
K
tel que
Q~
l’est
~X~j
~
est de même
une
k.
de
K’
engendre
p~
=
car
le
plus petit
k .
façon unique
puisque
Tout corps fini de cardinal
et
k
sous
c~t
la forme
sont racines du
est donc
isomorphe
9-07
Annexe
Polynômes engendrant
k=
Fk
pour
k ~ 121
4
p= 2
8
2
X~
+ X + 1
9
3
X2
+ X - 1
16
2
25
5
27
3
X4+X+ 1
X2+X+2
X3-X+ 1
32
2
49
7
64
2
81
3
121
11
0
X2 +X+ 3
x~ + X + 1
X2+~,-3