Corps

1.7 Corps
1.7.1 Définitions
Définition : On appelle corps tout anneau non nul (i.e. ≠ {0}) où tout élément non nul admet un inverse.
Si la loi . est commutative on dit qui le corps est commutatif.
Remarques :
on démontre que tout corps fini est commutatif (théorème de Wedderburn).
Un corps est intègre et donc n’a pas de diviseur de zéro.
Exercice 2
Montrer que tout anneau fini intègre est un corps.
(Pour a ≠ 0 considérer l’application x 6 a.x et montrer qu’elle est injective).
Exercice 3
Montrer que z/pz est un corps ssi p est premier.
1.7.2 Sous-corps
Définition : Si K est un corps et si K’ ⊂ K est stable pour les lois induites, on dit que K’ est un sous-corps de K ssi K’
est un corps pour les lois induites. On dit aussi que K est une extension de K’.
Exercice 4
Montrer que {a + b 2 / a et b ∈ q} est un corps.
Caractérisation pratique
K’ ⊂ K est est un sous-corps de K ssi :
(i) 1 ∈ K’;
(ii) ∀(a, b) ∈ K’×K’, a – b et a.b ∈ K’;
(iii) ∀a ∈ K’–{0}, a–1 ∈ K’.
(autrement dit K’ est un sous-anneau de K où tout élément non nul a un inverse dans K’).
1.7.3 Corps des fractions d’un anneau intègre
Théorème et définition : Soit A un anneau intègre et commutatif. Il existe un corps K unique (à un isomorphisme
près) vérifiant :
(i) K a un sous-anneau isomorphe à A;
(ii) K est minimal pour la condition (i) i.e. : si L est un corps vérifiant (i) alors L admet un sous-corps isomorphe à K.
K est appelé corps des fractions de A et se note Fr(A).
Exemples : q = Fr(z); A(X) = Fr(A[X]) (corps des fractions rationnelles à coefficients dans A).