Corps finis, corps de fractions rationnelles (TD4)

Corps nis, corps de fractions rationnelles (TD4)
FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Mars 2013
Exercice 1
Déterminer le groupe additif de Fq .
Exercice 2 (Théorème de Chevalley-Warning)
Soient p un nombre premier, q une puissance de p et n ≥ d ≥ 1 des entiers. Soit f ∈ Fq [X0 , . . . , Xn ]
un polynôme homogène
de degré d.
P
a) Calculer f (x0 , . . . , xn )q−1 pour (x0 , . . . , xn ) parcourant Fn+1
.
q
b) En déduire que f possède un zéro autre que (0, . . . , 0).
Exercice 3 (Polynômes irréductibles sur Fq )
Soient p un nombre premier, q une puissance de p et d ≥ 1 un entier.
a) Montrer qu'un polynôme de degré d à coecients dans Fp est irréductible si et seulement si
d
il n'a pas de racine dans Fpr pour tout r ≤ .
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b) Calculer les éléments de F4 . En déduire tous les polynômes irréductibles de degré 5 de F2 [X].
c) En observant le degré sur Fq des éléments de Fqd , déterminer le nombre de polynômes unitaires
irréductibles de degré d dans Fq [X].
Exercice 4 (Théorie de Galois pour Fq )
Soient p un nombre premier et n ≥ 1 un entier.
a) Rappeler pourquoi l'extension Fp ⊆ Fpn est galoisienne.
b) Montrer que le groupe de Galois de l'extension Fp ⊆ Fpn est cyclique d'ordre n, engendré par
l'automorphisme de Frobenius Fr : x 7→ xp .
Soit m ≥ 1 un entier.
c) Montrer que Fpn est une extension de Fpm si et seulement si m divise n. Dans ce cas-là,
m
montrer que le seul sous-corps de Fpn à pm éléments est {x ∈ Fpn | xp = x}.
On suppose que m divise n.
n
d) Montrer que le groupe de Galois de l'extension Fpm ⊆ Fpn est cyclique d'ordre , engendré
m
par Frm .
e) Réécrire cela en termes de correspondance entre sous-groupes de Gal(Fpn /Fp ) et sous-corps
de Fpn .
Exercice 5 (Cyclotomie sur Fq )
Soient p un nombre premier, q une puissance de p et r ≥ 1 un entier.
a) Déterminer le groupe µpr (Fq ) des racines pr -èmes de l'unité dans Fq .
b) Montrer que toute extension nie de Fq est cyclotomique, c'est-à-dire engendrée par des
racines de l'unité.
(p)
Soient n ≥ 1 un entier et Φn ∈ Z[X] le n-ème polynôme cyclotomique sur C. On note Φn la
réduction de Φn modulo p, que l'on peut voir comme un polynôme sur Fq .
(p)
c) Montrer que les racines de Φn sont exactement les racines primitives n-èmes de l'unité dans
Fq .
Supposons n premier à p.
(p)
d) Montrer que si (Z/nZ)× n'est pas cyclique, alors Φn n'est pas irréductible sur Fp .
1
e) En déduire que la réduction de Φ8 modulo p est réductible pour tout p.
(p)
f) Montrer que Φn est irréductible sur Fq si et seulement si q est un générateur de (Z/nZ)× .
Exercice 6
Soit K un corps. Déterminer le corps
L = F ∈ K(X) F (X) = F (1/X) .
Exercice 7
Soient k un corps, n ≥ 1 un entier et K = k(X1 , . . . , Xn ).
On fait agir le groupe symétrique Sn sur K par permutation des Xi .
a) Montrer que le corps des invariants K Sn est isomorphe à K .
On suppose k = C. Soit G un sous-groupe cyclique de GLn (C), que l'on fait agir de manière naturelle
sur K .
b) Supposons G composé de matrices diagonales. En admettant que tout sous-groupe de Zn est
isomorphe à un Zr pour r ≤ n, montrer que K G est isomorphe à K .
c) En déduire que K G est isomorphe à K .
Exercice 8
Soient K un corps et F ∈ K(X) r K . On écrit F =
P
avec P, Q ∈ K[X] premiers entre eux.
Q
a) Montrer que F est transcendant sur K .
b) Montrer que le polynôme minimal de X sur K(F ) est P (T ) − F Q(T ) ∈ K(F )[T ].
En particulier, l'extension K(F ) ⊆ K(X) est nie, de degré δ(F ) = max(deg P, deg Q).
c) En déduire que le groupe des automorphismes de K(X) laissant xe K est isomorphe à
PGL2 (K).
Exercice 9 (Théorème de Lüroth)
Soient K un corps et L une extension intermédiaire entre K et K(X).
a) Montrer que le degré [K(X) : L] est ni.
On note n = [K(X) : L]. Soient F =
P
∈ L r K avec P, Q ∈ K[X] premiers entre eux et
Q
δ(F ) = max(deg P, deg Q).
b) Montrer l'inégalité δ(F ) ≥ n, avec égalité si et seulement si L = K(F ).
On suppose que l'on a choisi F ∈ L r K avec δ(F ) = m minimal. Dans l'écriture F =
P
précédente,
Q
on suppose que le degré de P est m.
c) Montrer que si le polynôme M (T ) = P (T ) − F Q(T ) ∈ L[T ] est irréductible, alors on a
L = K(F ).
On suppose à présent M (T ) non irréductible dans L[T ].
d) Montrer qu'il existe un élément Ψ ∈ L[T ] ∩ K[X, T ] non constant qui divise le polynôme
P (T )Q(X) − Q(T )P (X) dans l'anneau L[T ] ∩ K[X, T ].
e) En considérant les degrés en X , montrer que l'on peut supposer Ψ ∈ K[T ].
f) En considérant une racine de Ψ dans une extension convenable de K , obtenir une contradiction
et conclure quant à L = K(F ).
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