Congruences dans Z - Anneaux Z/nZ - Applications

Congruences dans Z – Anneaux Z/nZ - Applications
CONGRUENCES DANS Z – ANNEAUX Z/NZ – APPLICATIONS
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Congruences dans Z
1.1 Définition
Soient n ∈ ` , a, b ∈ ] . On dit que a est congru à b modulo n si a − b ∈ n] . on note alors a ≡ b (n) .
1.2 Proposition
Pour n ∈ ` , la relation ℜ définie par :
∀(a, b) ∈ ] 2 , a ℜ b ⇔ a ≡ b (n) est une relation d'équivalence.
Démonstration
Soit n ∈ ` .
∀a ∈ ], a ℜ a car a − a = 0 ∈ n] . ℜ est donc réflexive.
Soit (a, b) ∈ ] 2 tels que a ℜ b . a − b ∈ n] donc b − a ∈ n] . Par conséquent, b ℜ a . ℜ est donc
symétrique.
Soit (a, b, c) ∈ ]3 tel que a ℜ b et b ℜ c .
a − b ∈ n] et b − c ∈ n] donc (a − b) + (b − c) ∈ n] , c'est-à-dire a − c ∈ n] . Par conséquent, a ℜ c .
ℜ est donc transitive.
Notation : Pour n ∈ ` , on note ] / n] l'ensemble quotient de ] par la relation d'équivalence ℜ .
Si x ∈ ] , on note x la classe d'équivalence de x :
x = { y ∈ ] / x ℜ y} .
Remarque : Le cas n = 0 n'a pas d'intérêt car ] / 0] = ] . Le cas n = 1 n'a pas d'intérêt non plus car
] /1] = {1} .
1.3 Théorème
Soient n ∈ `* , ( x, y ) ∈ ` × `* . x ≡ y (n) si et seulement si x et y ont le même reste dans la division
euclidienne par n.
Démonstration
Soient n ∈ `* , ( x, y ) ∈ ` × `* .
Supposons que x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n.
⎧0 ≤ r < n
⎪
3
∃!(q1 , q2 , r ) ∈ ` tel que : ⎨ x = nq1 + r
⎪ y = nq + r
2
⎩
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x − y = (nq1 + r ) − (nq2 + r ) = n(q1 − q2 )
donc x − y ∈ n] , c'est-à-dire x ≡ y (n) .
Supposons maintenant que x ≡ y (n) .
∃!(q1 , r1 ) ∈ ` 2 , x = nq1 + r1 (avec 0 ≤ r1 < n )
∃!(q2 , r2 ) ∈ ` 2 , y = nq2 + r2 (avec 0 ≤ r2 < n )
x − y = n(q1 − q2 ) + (r1 − r2 )
r1 − r2 = ( x − y ) − n(q1 − q2 )
x − y ∈ n] car x ≡ y (n) et n (q1 − q2 ) ∈ n]
donc r1 − r2 ∈ n] car (n], +) est un groupe.
0 ≤ r1 < n et −n < −r2 ≤ 0 donc −n < r1 − r2 < n . Les conditions −n < r1 − r2 < n et r1 − r2 ∈ n]
impliquent r1 − r2 = 0 .
x et y ont donc le même reste dans la division euclidienne par n.
1.4 Proposition
⎧ a ≡ b ( n) ⎧ a + c ≡ b + d ( n)
Soient n ∈ `* , (a, b, c, d ) ∈ ] 4 . Alors ⎨
⇒⎨
.
⎩c ≡ d (n) ⎩ac ≡ bd (n)
Démonstration
Soient n ∈ `* , (a, b, c, d ) ∈ ] 4 .
Supposons a ≡ b (n) et c ≡ d (n) .
∃ q1 , q2 ∈ ], a − b = nq1 , c − d = nq2 .
En additionnant membre à membre, on obtient : (a + c) − (b + d ) = n (q1 + q2 ) .
q1 + q2 ∈ ] donc a + c ≡ b + d (n) .
ac = (b + nq1 )(d + nq2 )
ac = bd + nbq2 + nq1d + n 2 q1q2
ac − bd = n(bq2 + q1d + nq1q2 )
bq2 + q1d + nq1q2 ∈ ] donc ac ≡ bd (n)
Conséquence : ∀k ∈ `* , a ≡ b (n) ⇒ a k ≡ b k (n) .
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Anneaux Z/nZ
Dans la suite, on prendra n ∈ `* .
2.1 Définition
On définit sur ] / n] une multiplication et une addition en posant :
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⎧⎪ x . y = x . y
∀x , y ∈ ] / n] : ⎨
⎪⎩ x + y = x + y
Ces opérations sont bien définies :
Soient ξ , β ∈ ] / n] . Il existe x, y ∈ ] tels que ξ = x et β = y . Choisissons maintenant un autre
représentant x' de ξ et un autre représentant y' de β : ξ = x ' et β = y ' .
Alors x ≡ x ' (n) et y ≡ y ' (n) et donc x + y ≡ x '+ y ' (n) et x. y ≡ x '. y ' (n)
2.2 Théorème
( ] / n], +, .)
est un anneau commutatif
Démonstration
+ est une loi interne sur ] / n] :
Soient β , ξ , γ ∈ ] / n] , β = x, ξ = y, γ = z
(
)
(β + ξ ) + γ = x + y + z
= x + y + z (définition de + dans ] / n] )
= ( x + y ) + z (idem)
= x + ( y + z ) (associativité de + dans ] )
= x + y + z (définition de + dans ] / n] )
(
= x+ y+z
)
(définition de + dans ] / n] )
donc + est associative
β +ξ = x + y
= x + y (définition de + dans ] / n] )
= y + x (commutativité de + dans ] )
= y + x (définition de + dans ] / n] )
donc + est commutative.
β +0= x+0
= x+0
=x
=β
donc 0 est l'élément neutre pour +
β + −x = x + −x
= x + (− x)
=0
donc tout élément de ] / n] admet un opposé.
. est une loi interne dans ] / n] :
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Soient β , ξ , γ ∈ ] / n] , β = x, ξ = y, γ = z . c'est le même type de démonstration que pour
l'addition :
( β .ξ ).γ = x. y .z
( )
= x. y.z
= ( x. y ).z
= x.( y.z )
= x. y.z
( )
= x. y.z
donc . est associative.
β .ξ = x. y
= x. y
= y.x
= y.x
= ξ .β
donc . est commutative dans ] / n] .
β .1 = x.1
= x.1
=x
=β
donc 1 est élément neutre pour .
(
β .(ξ + γ ) = x. y + z
)
= x. y + z
= x.( y + z )
= x. y + x.z
= x. y + x.z
= x. y + x.z
= β .ξ + β .γ
donc . est distributive sur + dans ] / n] .
2.3 Un exemple de tables
Pour simplifier les écritures, les nombres figurant dans les tableaux désignent des classes.
+ 0 1 2 3
× 0 1 2 3
0 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 1 2 3 0
1 0 1 2 3
2 2 3 0 1
2 0 2 0 2
3 3 0 1 2
3 0 3 2 1
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2.4 Théorème
Soient n ≥ 2, n ∈ `, x ∈ ` . x est inversible dans ] / n] si et seulement si x ∧ n = 1 .
Démonstration
Soient n ≥ 2, n ∈ `, x ∈ ` .
Supposons x inversible dans ] / n] . Il existe y ∈ ] / n] tel que x. y = 1 , ou encore x. y ≡ 1 (n) . il
existe alors q ∈ ] tel que x. y − 1 = n.q . On en déduit que x. y + (−q).n = 1 . D'après le théorème de
Bézout, il en résulte que x ∧ n = 1 .
Supposons maintenant que x ∧ n = 1 . D'après le théorème de Bézout, il existe (u, v) ∈ ] 2 tel que :
x.u + n.v = 1
x.u + n.v = 1
x.u + n.v = 1
x.u + n.v = 1
x . u = 1 car n = 0
donc x est inversible dans ] / n] .
2.5 Corollaire
Soit p ∈ `* . ] / p] est un corps si et seulement si p est un nombre premier.
Démonstration
Soit p ∈ `* .
( ∀k ∈ `, 1 ≤ k ≤ p − 1, k ∧ p = 1) ⇔ p premier
Si ] / p] est un corps alors tout élément non nul de ] / p] est inversible donc pour tout k ∈ `
vérifiant 1 ≤ k ≤ p − 1 , k ∧ p = 1 . p est donc premier.
Si p est un nombre premier alors pour tout k ∈ ` vérifiant 1 ≤ k ≤ p − 1 (c'est-à-dire tout élément
non nul de ] / p] ), k ∧ p = 1 . Donc k est inversible.
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Applications
3.1 Lemme Chinois
Soient n1 , n2 ∈ `, n1 ≥ 2, n2 ≥ 2, n1 ∧ n2 = 1 . Soient u1 , u2 ∈ ] tels que u1n1 + u2 n2 = 1 . Soient
a1 , a2 ∈ ] et a ∈ ] tels que a ≡ a1u2 n2 + a2u1n1 (n1 ) . Alors pour tout x ∈ ] , on a :
x ≡ a1 (n1 ) ⎫
⎬ ⇔ x ≡ a (n1n2 ) .
x ≡ a2 (n2 ) ⎭
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Démonstration
Soient n1 , n2 , u1 , u2 , a1 , a2 , a vérifiant les hypothèses du lemme. Soit x ∈ ] .
Supposons x ≡ a (n1n2 ) .
∃k ∈ ], x = a + kn1n2
Alors x ≡ a (n1 ) et a ≡ a1u2 n2 (n1 )
a ≡ a1 (1 − u1n1 ) (n1 )
a ≡ a1 (n1 )
Donc x ≡ a1 (n1 )
On a de même x ≡ a2 (n2 )
Supposons maintenant que x ≡ a1 (n1 ) et x ≡ a2 (n2 ) .
x − a est divisible par n1 et par n2 . Puisque les deux entiers n1 et n2 sont premiers entre eux, il en
résulte que n1n2 divise x − a , c'est-à-dire x ≡ a (n1n2 ) .
Remarque : a est solution du système puisque a ≡ a1 (n1 ) et a ≡ a2 (n2 ) .
3.2 Théorème Chinois
Soient p, q ∈ `, p ≥ 2, q ≥ 2 et p ∧ q = 1 . Alors l'application définie par :
φ : ] / pq] → ] / p] × ] / q]
pq
x6
(
p
q
x; x
)
est un isomorphisme d'anneaux.
Démonstration
Soient x, y ∈ ] .
) ( x + y ) (définition de l'addition dans ] / pq] )
= ( x + y ; x + y ) (définition de φ )
= ( x + y ; x + y ) (définition de l'addition dans ] / p] et dans ] / q] )
= ( x ; x ) + ( y ; y ) (définition dans ] / p] × ] / q] )
= φ ( x) + φ ( y)
De même, on montre que φ ( xy ) = φ ( x ) × φ ( y ) .
φ
(
pq
x+
pq
y =φ
pq
p
q
p
p
p
q
q
pq
q
p
q
pq
pq
pq
pq
Montrons maintenant que φ est surjective :
Soient y1 , y2 ∈ ] et x ∈ ] .
φ
( x) = (
pq
p
q
)
p
p
q
q
y1 ; y2 signifie x = y1 et x = y2 .
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⎧ x ≡ y1 ( p )
x vérifie alors le système : ⎨
.
⎩ x ≡ y2 ( q )
p et q étant premiers entres eux, on sait qu'il existe une solution au système (d'après le lemme
chinois). φ est donc surjective.
Montrons que φ est injective :
Soient x, y ∈ ] .
( x ) = φ ( y ) signifie
p
q
q
⎧ x ≡ y ( p)
x = y et x = y , c'est-à-dire : ⎨
.
⎩ x ≡ y (q)
x − y est donc divisible par p et par q donc par pq (car p ∧ q = 1 ).
φ
pq
pq
p
Donc x ≡ y ( pq) , c'est-à-dire
Donc φ est injective.
pq
x=
pq
y
Conclusion : ] / pq] est bien isomorphe à ] / p] × ] / q] .
3.3 Indicateur d'Euler
Soit n ∈ `, n ≥ 2 . on note ϕ (n) le nombre d'éléments de l'ensemble {k ∈ `, k ≤ n, k ∧ n = 1} . la
fonction ϕ est appelée indicateur d'Euler.
(i) Si p est un nombre premier, alors ϕ ( p) = p − 1 ;
(ii) Si p est un nombre premier et si n ∈ `* , alors ϕ ( p n ) = ( p − 1) p n −1 ;
(iii) Si n, m ∈ `, n ∧ m = 1 , alors ϕ (mn) = ϕ (m)ϕ (n) .
Démonstration
(i) Soit p un nombre premier. Alors pour tout k ∈ ` , avec k ≤ p − 1 , k ∧ p = 1 . Donc ϕ ( p) = p − 1 .
(ii) Soit p un nombre premier et n un entier naturel non nul.
On s'intéresse à l'ensemble {k ∈ `, k ≤ p n , k ∧ p n = 1} . p étant premier, les seuls entiers k
concernés sont ceux qui ne divisent pas p n . Il y a p n −1 diviseurs de p n donc
ϕ ( p n ) = p n − p n −1 = ( p − 1) p n −1 .
(iii) Soient p, q ∈ ` tels que p ∧ q = 1 .
D'après le théorème Chinois, ] / pq] est isomorphe à ] / p] × ] / q] . Notons φ la fonction définie
au paragraphe 3.2.
Notons :
{ x ∈ ] / pq], x ∧ pq = 1}
E = { x ∈ ] / p], x ∧ p = 1}
E = { x ∈ ] / q], x ∧ q = 1}
pq
E pq =
p
p
p
q
Montrons que φ est une bijection de E pq dans E p × Eq .
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Soit
pq
x ∈ E pq . Alors x ∧ pq = 1 . D'après le théorème de Bézout, il existe (r ; s) ∈ ] 2 tel que
rx + spq = 1 .
De cette égalité, il résulte que x ∧ p = 1 et x ∧ q = 1 (toujours d'après le théorème de Bézout).
Donc f ( E pq ) ⊆ E p × Eq .
Soit
(
p
q
)
x ; y ∈ E p × Eq .
x ∧ p = 1 donc il existe (r1 ; s1 ) ∈ ] 2 tel que xr1 + ps1 = 1 .
y ∧ q = 1 donc il existe (r2 ; s2 ) ∈ ] 2 tel que yr2 + qs2 = 1 .
pq
Il existe
z ∈ ] / pq] tel que φ ( z ) = ( x ; y ) car φ est bijective.
⎧⎪ z = p x
Donc ⎨ q
q
⎪⎩ z = y
Donc z − x ∈ p] . Il existe k1 ∈ ] tel que x = z + k1 p .
De même, z − y ∈ q] . Il existe k2 ∈ ] tel que y = z + k2 q .
p
Des égalités xr1 + ps1 = 1 et x = z + k1 p , on déduit : ( z + k1 p)r1 + ps1 = 1 .
Des égalités yr2 + qs2 = 1 et y = z + k2 q , on déduit : ( z + k2 q )r2 + qs2 = 1 .
En multipliant membre à membre les deux dernières égalités obtenue, on obtient :
( zr1 + pu1 )( zr2 + qu2 ) = 1 , avec u1 = k1r1 + s1 et u2 = k2 r2 + s2 .
z ( zr1r2 + r1qu2 + pu1r2 ) + pqu1u2 = 1
Donc z ∧ pq = 1 .
Donc φ ( E pq ) = E p × Eq .
E pq est donc en bijection avec E p × Eq . Ces ensembles sont finis donc ils ont le même cardinal :
card ( E pq ) = card ( E p × Eq )
card ( E pq ) = card ( E p ) × card ( Eq ) , c'est-à-dire ϕ ( pq) = ϕ ( p)ϕ ( q ) .
3.4 Théorème de Wilson
Un entier p ≥ 2 est premier si et seulement si ( p − 1)! ≡ −1 ( p) .
Démonstration
Soit p ∈ `, p ≥ 2 .
Supposons p premier.
p −1
( p − 1)! = ∏ k .
k =1
Tous les entiers intervenant dans ce produit sont inversibles dans ] / p] car ] / p] est un corps
car p est premier.
p −1
Dans le produit
∏ k , on peut regrouper les termes deux à deux (chaque terme avec son inverse),
k =1
puis les termes qui sont leur propre inverse.
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p −1
Le produit
∏k
est alors égal au produit des termes qui sont leur propre inverse.
k =1
(
2
)(
)
x ∈ ] / p] est son propre inverse si x = 1 , c'est-à-dire x − 1 x + 1 = 0 . il y a deux termes : 1 et
−1 = p − 1 .
p −1
Donc
∏ k = 1× −1 = −1 et donc ( p − 1)! ≡ −1 ( p) .
k =1
Supposons ( p − 1)! ≡ −1 ( p) .
Soit d un diviseur de p, différent de 1. Soit q =
( p − 1)! ≡ −1 ( p) donc d ( p − 1)! ≡ −d ( p) .
p
.
d
p −1
d ( p − 1)! = dq × ∏ k ≡ 0 ( p ) car dq = p ≡ 0 ( p) .
k =1
k ≠q
d est alors un multiple de p.
d est à la fois un multiple de p et un diviseur de p différent de 1 donc d = p .
p n'a donc que deux diviseurs : 1 et p.
p est donc un nombre premier.
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