Congruences dans Z - Anneaux Z/nZ - Applications

Congruences dans Z – Anneaux Z/nZ - Applications
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C
CO ON NG GR RU UE EN NC CE ES S D DA AN NS S Z Z – – A AN NN NE EA AU UX X Z Z/ /N
NZ
Z – – A AP PP PL LI IC CA AT TI IO ON NS S
1 Congruences dans Z
1.1 Définition
Soient n∈`, ,ab∈]. On dit que a est congru à b modulo n si abn
−
∈]. on note alors ( )abn
≡
.
1.2 Proposition
Pour n∈`, la relation ℜ définie par :
2
(,) , ()ab a b a bn∀∈ℜ⇔≡] est une relation d'équivalence.
Démonstration
Soit n∈`.
,
aaa∀∈ ℜ] car 0aa n−=∈]. ℜ est donc réflexive.
Soit 2
(,)ab∈] tels que abℜ. abn−∈] donc ban
−
∈]. Par conséquent, baℜ. ℜ est donc
symétrique.
Soit 3
(,,)abc∈] tel que abℜ et bcℜ.
abn−∈] et bcn−∈] donc ( ) ( )ab bc n−+−∈], c'est-à-dire acn
−
∈]. Par conséquent, ac
ℜ
.
ℜ est donc transitive.
Notation : Pour n∈`, on note /n]] l'ensemble quotient de ] par la relation d'équivalence
ℜ
.
Si x∈], on note
x
la classe d'équivalence de x :
{
}
/
x
yxy=∈ ℜ].
Remarque : Le cas 0n= n'a pas d'intérêt car /0
=
]]]. Le cas 1n
=
n'a pas d'intérêt non plus car
{
}
/1 1=]] .
1.3 Théorème
Soient ** ,( , )nxy∈∈×```. ( )
x
yn≡ si et seulement si x et y ont le même reste dans la division
euclidienne par n.
Démonstration
Soient ** ,( , )nxy∈∈×```.
Supposons que x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n.
3
12
!( , , )qqr∃∈` tel que : 1
2
0rn
x
nq r
ynq r
≤<
⎧
⎪=+
⎨
⎪=+
⎩

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12 12
()()()
x
ynqr nqrnqq−= + − + = −
donc
x
yn−∈], c'est-à-dire ( )
x
yn≡.
Supposons maintenant que ( )
x
yn≡.
2
11
!( , )qr∃∈`, 11
x
nq r=+ (avec 1 0rn≤<)
2
22
!( , )qr∃∈`, 22
ynq r=+ (avec 2 0rn≤<)
12 12
()()
x
ynqq rr−= − + −
12 1 2
()( )rr xy nqq−= − − −
x
yn−∈] car ( )
x
yn≡ et 12 ()nq q n−∈]
donc 12
rr n−∈] car ( , )n
+
] est un groupe.
1
0rn≤< et 20nr−<− ≤ donc 12 nrr n−< − < . Les conditions 12 nrr n
−
<−< et 12 rr n
−
∈]
impliquent 12
0rr−=.
x et y ont donc le même reste dans la division euclidienne par n.
1.4 Proposition
Soient *4 ,( , , , )nabcd∈∈`]. Alors () ()
() ()
abn acbdn
cdn acbdn
≡+≡+
⎧⎧
⇒
⎨⎨
≡≡
⎩⎩ .
Démonstration
Soient *4 ,( , , , )nabcd∈∈`].
Supposons ( )abn≡ et ( )cdn
≡
.
12 1 2
,, ,q q a b nq c d nq∃∈−= −=].
En additionnant membre à membre, on obtient : 12
()()( )ac bd nq q
+
−+ = + .
12
qq+∈] donc ( )acbdn+≡+ .
12
()( )ac b nq d nq=+ +
2
21 12
ac bd nbq nq d n q q=+ + +
21 12
()ac bd n bq q d nq q−= + +
21 12
bq q d nq q++ ∈] donc ( )ac bd n≡
Conséquence : *,() ()
kk
kabnabn∀∈ ≡ ⇒ ≡`.
2 Anneaux Z/nZ
Dans la suite, on prendra * n∈`.
2.1 Définition
On définit sur /n]] une multiplication et une addition en posant :

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..
,/:
x
yxy
xy n
x
yxy
⎧=
⎪
∀∈ ⎨+=+
⎪
⎩
]]
Ces opérations sont bien définies :
Soient , /n
ξ
β ∈]]. Il existe ,xy∈] tels que
x
ξ
=
et y β
=
. Choisissons maintenant un autre
représentant x' de
ξ
et un autre représentant y' de
β
: '
x
ξ
=
et 'y β
=
.
Alors '( )
x
xn≡ et '( )yyn≡ et donc ''()
x
yxyn
+
≡+ et .'.'()
x
yxyn
≡
2.2 Théorème
()
/,,.n+]] est un anneau commutatif
Démonstration
+ est une loi interne sur /n]] :
Soient ,, /n
β
ξγ ∈]]
,,,
x
yz βξγ
=
==
()
()
x
yz βξ γ ++=++
x
yz=++ (définition de + dans /n]])
()
x
yz=++ (idem)
()
x
yz=+ + (associativité de + dans ])
x
yz=++ (définition de + dans /n]])
()
x
yz=+ + (définition de + dans /n]])
donc + est associative
x
y βξ +=+
x
y=+ (définition de + dans /n]])
yx=+ (commutativité de + dans ])
yx=+ (définition de + dans /n]])
donc + est commutative.
00
x
β +=+
0x=+
x
=
β
=
donc 0 est l'élément neutre pour +
x
xx β +− = +−
()
x
x=+−
0=
donc tout élément de /n]] admet un opposé.
. est une loi interne dans /n]] :

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Soient , , /n
β
ξγ ∈]],,,
x
yz βξγ ===. c'est le même type de démonstration que pour
l'addition :
()
(.). . .
x
yz βξ γ =
..
x
yz=
(.).
x
yz=
.( . )
x
yz=
..
x
yz=
()
..
x
yz=
donc . est associative.
..
x
y βξ =
.
x
y=
.yx=
.yx=
.
ξ
β =
donc . est commutative dans /n]].
.1 .1
x
β =
.1
x
=
x
=
β
=
donc 1 est élément neutre pour .
()
.( ) .
x
yz βξ γ += +
.
x
yz=+
.( )
x
yz=+
..
x
yxz=+
..
x
yxz=+
..
x
yxz=+
. .
β
ξβγ =+
donc . est distributive sur + dans /n]].
2.3 Un exemple de tables
Pour simplifier les écritures, les nombres figurant dans les tableaux désignent des classes.
+ 0 1 2 3 × 0 1 2 3
0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
1 1 2 3 0 1 0 1 2 3
2 2 3 0 1 2 0 2 0 2
3 3 0 1 2 3 0 3 2 1

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2.4 Théorème
Soient 2, ,nn x≥∈ ∈``.
x
est inversible dans /n]] si et seulement si 1
x
n∧=
.
Démonstration
Soient 2, ,nn x≥∈ ∈``.
Supposons
x
inversible dans /n]]. Il existe /yn∈]] tel que .1
x
y
=
, ou encore . 1( )
x
yn
≡
. il
existe alors q∈] tel que . 1 .
x
ynq−= . On en déduit que . ( ). 1xy q n
+
−=. D'après le théorème de
Bézout, il en résulte que 1
x
n∧=.
Supposons maintenant que 1
x
n∧=. D'après le théorème de Bézout, il existe 2 (,)uv∈] tel que :
..1
x
unv+=
..1
x
unv+=
..1
x
unv+=
..1
x
unv+=
.1xu= car 0n=
donc
x
est inversible dans /n]].
2.5 Corollaire
Soit * p∈`. /
p
]] est un corps si et seulement si p est un nombre premier.
Démonstration
Soit * p∈`.
()
,1 1, 1kkpkpppremier∀∈ ≤ ≤ − ∧ = ⇔`
Si /
p
]]
est un corps alors tout élément non nul de /
p
]]
est inversible donc pour tout k
∈
`
vérifiant 11kp≤≤−
, 1kp
∧
=. p est donc premier.
Si p est un nombre premier alors pour tout k
∈
` vérifiant 11kp
≤
≤−
(c'est-à-dire tout élément
non nul de /
p
]]), 1kp∧=. Donc k est inversible.
3 Applications
3.1 Lemme Chinois
Soient 12 1 2 1 2 , , 2, 2, 1nn n n n n∈≥≥∧=`. Soient 12 ,uu
∈
] tels que 11 2 2 1un un+=. Soient
12
,aa∈] et a∈] tels que 122 211 1 ()aaun aunn≡+ . Alors pour tout x
∈
], on a :
11 12
22
() ()
()
xan
x
ann
xan
≡⎫⇔≡
⎬
≡⎭.