nombres parfaits - Colegio Francia

QUELQUES THÉORÈMES FAMEUX
FICHE 20
Le postulat de Bertrand
Si n  2 , il y a au moins un nombre premier p dans l'intervalle n ; 2n .
Le mathématicien Joseph Bertrand a formulé cet énoncé en 1845. Ce résultat a été démontré en
1850 par le mathématicien russe P.L.Tchebycheff.
Ex 20.1 Vérifier le postulat de Bertrand pour les entiers n  5 ; 10 ; 20 ; 40 ; 80 ; 160.
Le théorème de Dirichlet
Si a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers de
la forme an  b . (n désignant un entier naturel)
Ex 20.2 Montrer en utilisant le théorème de Dirichlet qu'il y a une infinité de nombres premiers
dont le chiffre des unités est un 7 (dans le système décimal).
Montrer aussi qu'il y a une infinité de nombres premiers dont l'écriture décimale nécessite au
moins 100 zéros consécutifs.
Ex 20.3 Dans ce problème, on démontre le théorème de Dirichlet dans le cas particulier où a  4
et b  3 .
a) Montrer que tout nombre premier p, p  2 , est de la forme 4n  1 ou 4n  3 .
b) Prouver que si un nombre non premier est de la forme 4n  3 alors il admet au moins un
diviseur premier de la forme 4n  3 .
c) On se donne un nombre premier p de la forme 4n  3 , et on note N le produit de tous les
nombres premiers inférieurs ou égaux à p augmenté de 1 : N  2  3  5    p  1 .
Démontrer que N est un nombre de la forme 4n  3 .
Déduire de ce qui précède qu'il y a une infinité de nombre premiers de la forme 4n  3 .
Le petit théorème de Fermat
Si p est un nombre premier et a un entier quelconque alors a p  a est divisible par p.
Symboliquement : a p  a  p .
Ex 20.4 Effectuer la preuve du petit théorème de Fermat, pour cela, on procédera comme suit :
a) Montrer que, si a est divisible par p, alors a p  a est divisible par p.
b) Si a n'est pas divisible par p, on considère les p  1 entiers suivants : a, 2a, 3a,, ( p  1)a
ainsi que leurs restes dans la division euclidienne par p, notés : r1, r2 , r3 ,, rp 1 .
Montrer qu'aucun de ces restes n'est nul. (Ce sont donc des entiers compris entre 1 et p  1 .)
Montrer qu'il n'y a pas deux restes égaux.
En multipliant membre à membre les congruences : a  r1  p, 2a  r2  p, 3a  r3  p , ...,
( p  1)a  rp 1  p, montrer que ( p  1) !  a p 1  ( p  1) !  p, puis à l'aide du théorème de
Gauss que a p 1  1  p , et donc que a p  a  p .
c) Conclure.
Le théorème de Wilson
Soit p un entier supérieur ou égal à 2.
p est un nombre premier si et seulement si ( p  1) ! 1 est un multiple de p.
Esquisse de la démonstration
Si p n'est pas premier, il admet un diviseur d avec 1  d  p . ( p  1) ! est donc un multiple de d.
Si ( p  1) ! 1 était un multiple de p, et donc de d, la différence ( p  1)!1  ( p  1)! serait un
multiple de d. Or cette différence vaut 1. Cela est donc impossible.
Nous venons de montrer que, si p n'est pas un nombre premier, ( p  1) ! 1 n'est pas un multiple
de p.
La réciproque est plus difficile. On va se contenter d'indiquer l'idée principale de la preuve et
d'en vérifier le fonctionnement sur un ou deux exemples.
Supposons que p soit premier.
Il s'agit de montrer (à l'aide du théorème de Bézout) que les nombres de 2 à p  2 peuvent être
groupés en paires a ; b de façon à ce que : ab  1  p . Ensuite, il reste à multiplier membre à
membre toutes les congruences obtenues ainsi que les deux congruences évidentes : 1  1  p et
p  1  1  p .
On obtient alors : ( p  1)! 1  p ce qui donne bien : ( p  1)!1  0  p , c'est-à-dire que
( p  1) ! 1 est un multiple de p.
Prenons par exemple p  11 .
On vérifie facilement les congruences suivantes :
1 1 11
2  6  1 11
3  4  1 11
5  9  1 11
7  8  1 11
10  1 11
En les multipliant entre elles membre à membre, on obtient bien 10! 1 11.
Ex 20.5 Vérifier directement le théorème pour p = 2, 3, 5, 7.
Trouver les congruences à utiliser dans la preuve du théorème de Wilson pour p  13 et pour
p  17 .
Le théorème des quatre carrés (Lagrange)
Tout entier naturel peut être écrit comme somme de quatre carrés parfaits.
Ex 20.6 Trouver quelques entiers qui ne peuvent être écrits comme somme de trois carrés
parfaits.
Ex 20.7 Vérifier le théorème de Lagrange pour les entiers naturels inférieurs à 50.
Conjecture de Goldbach
Tout entier naturel pair différent de 2 peut être écrit comme somme de deux nombres premiers.
Cette conjecture n'a pas encore été prouvée.
Ex 20.8 Vérifier la conjecture de Goldbach pour tous les nombres pair compris entre 4 et 50.