Compléments d`arithmétique sur Z

Compléments d’arithmétique sur Z
Dans ce chapitre nous alons exposer des résultats classiques mais plus spécialisés qui seront utiles
dans les applications cryptographiques que nous étudierons par la suite.
Théorème 1 Petit théorème de Fermat. Soit pun nombre premier alors tout entier nvéri…e
npn[p]
Démonstration. Vue en exercice. C’est un raisonnement par récurrence sur n(p…xé) en
utilisant la formule (a+b)pap+bp[p].
Proposition 2 Soit nun entier et soit _x2(Z=nZ)on a
_x'(n)=_ 1
Démonstration. Considérons l’ensemble des puissances de _x:X=_ 1;_x; _x2; : : :comme Xest
…ni (car inclus dans Z=nZ) il existe deux entiers pet qtels que _xp= _xqet donc il existe un entier
mtel que _xm=_ 1(si p>qon peut prendre m=pq) car _xest inversible. Soit dl’entier minimal
pour lequel on a _xd=_ 1. (ds’appelle l’ordre de x). alors Xs’écrit _ 1;_x; _x2;:::; _xd1et Xcontient
déléments distincts.
Si X= (Z=nZ)alors ils ont le même nombre d’éléments et d='(n)ce qui donne le résultat.
Sinon il existe _y =2X, on note _yX =_y; _y_x; _y_x2;:::; _y_xd1. Tout d’abord notons que _yX
contient déléments distincts, en e¤et si _y_xr= _y_xsalors _xr= _xs(car _yest inversible) ce qui est faux
par dé…nition de X. D’autre part _yX \X=?, en e¤et si il existait ret stels que _y_xr= _xsalors
on aurait _y= _xsret donc _yappartiendrait à X.
Si (Z=nZ)=X[_yX alors '(n) = 2det donc _x'(n)= _x2d=_xd2=_ 12=_ 1.
Sinon on prend un élément _zde ceux qui restent et on montre de même que X[_yX [_zX contient
3déléments distincts et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on ait pris tous les élément de (Z=nZ)et donc
il existe un entier mtel que '(n) = md et donc _x'(n)= _xmd =_xdm=_ 1m=_ 1.
Remarque 3 Cette proposition est un cas particulier du résultat suivant :
Si (G; )est un groupe …ni de cardinal égal à nalors pour tout gde Gon a
gn= 1
La preuve de ce résultat peut s’obtenir de façon similaire à la preuve ci-dessus.
En fait, on même démontré un résultat plus fort. On appelle l’ordre de gle plus petit entier ktel
que gk= 1. On vient de voir que l’ordre de gdivise le cardinal du groupe.
Remarque 4 L’hypothèse que _xsoit inversible est importante, si on prend _ 3dans Z=9Zpar exemple.
On a _ 32=_ 0donc _ 3'(9) =_ 0.
1

Théorème 5 Théorème des restes chinois. Soit n=n1n2  nkavec les nombres (ni)1ik
deux à deux premiers entre eux. Alors le système d’équation
8
>
>
>
<
>
>
>
:
xa1[n1]
xa2[n2]
.
.
.
xak[nk]
admet une unique solution dans Z=nZet celle ci se calcule par la formule
xa1q1q0
1+a2q2q0 2+   +akqkq0 k[n]
où qi=n
n1et q0
iest l’inverse de qidans Z=niZ.
Démonstration. Tout d’abord notons que qi^ni= 1 (car les nombres (ni)1iksont premiers
entre eux) et donc qiest inversible dans Z=niZ.
On va montrer que xest une solution du système, donc que pour tout ion a xai[ni].
Si i6=jalors qjest un multiple de nidonc qj0 [ni]donc xaiqiq0
i[ni]or par dé…nition de q0 i
on a qiq0
i1 [ni]donc xai[ni].
Montrons maintenant l’unicité de la solution. Si xet ysont deux solutions du système alors pour
tout ion a
xy0 [ni]
donc xyest multiple de tous les entiers nidonc xyest multiple du produit des nicar ceux-ci
sont premiers entre eux donc
xy0 [n]
xy[n]
Ce qui conclut la preuve.
Exemple 6 Considérons le problême suivant :
Une bande de 17 pirates s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or d’égale valeur. Ils
décident de se les partager également et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait
trois pièces. Mais les pirates se querellent et six d’entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors 4
pièces. Survient alors un naufrage et seuls 6 pirates, le cuisinier et le trésor sont sauvés et le partage
laisserait 5 pièces d’or à ce dernier. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer ce dernier
s’il décide d’empoisonner le reste des pirates ?
Pour trouver la solution il faut résoudre le système :
8
<
:
x3 [17]
x4 [11]
x5 [6]
Alors n= 1122,q1= 66,q2= 102 et q3= 187.
Donc q115 [17]  2 [17] donc q0
1=9 [17] = 8 [17],
q23 [11] donc q0
2= 4 [11]
q31 [6] donc q0
3= 1 [6]
et x= 3 66 8 + 4 102 4 + 5 187 1 [1122] = 1584 + 1632 + 935 = 4151 [1122] = 785 [1122].

Remarque 7 Soit met ndeux entiers positifs premiers entre eux. Soit l’application de Z=mnZ
dans Z=mZZ=nZdé…nie par
(x) = (a; b)où xa[p]
xb[q]
Le théorème précédent nous dit que pour tout couple (a; b)il existe un unique antécédent par ,
et donc que est bijective.
Notons que l’on peut dé…nir une addition et une multiplication sur Z=mZZ=nZ, en faisant les
opérations termes à termes. On obtient une structure d’anneau sur Z=mZZ=nZet est alors
compatible avec cette structure, c’est à dire
(x+y) = (x) + (y)
(xy) = (x) (y)
On dit est un isomorphisme d’anneaux entre Z=mnZet Z=mZZ=nZ
Exemple 8 Si pet qsont deux nombres premiers
'(pq) = (p1) (q1)
Corollaire 9 'désignant la fonction indicatrice d’Euler, si m^n= 1 alors on a
'(mn) = '(m)'(n)
Démonstration. Un élément inversible de Z=mnZcorrespond par à un couple (a; b)d’éléments
inversibles comme '(m)est le nombre d’éléments inversibles dans Z=mZet '(n)est le nombre
d’éléments inversibles de Z=nZle nombre de ces couples est '(m)'(n)d’où le résultat.
Proposition 10 Soit n2Nnotons sa décomposition en facteurs irréductibles :
n=p1
1p2 2   pk
k
Alors on a
'(n) = np11
p1p21 p2   pk1 pk
Démonstration. D’après la propriété de multiplicativité de 'il su¢ t de montrer la formule
pour n=poù pest premier.
Or dans ce cas le calcul est très simple, en e¤et un nombre est premier avec psi et seulement si
il n’est pas divisible par p. Entre 1et pil y a p1multiples de p(on les obtient en multipliant par
ptous les nombres de 1àp1) et donc
'(p) = pp1=p11
p=pp1 p
ce qui conclut la démonstration.