Groupes, anneaux, corps

Semaine 12 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand
Loïc Devilliers
12 janvier 2015
Cours
•Montrer que dans un groupe l’élément neutre est unique
•Montrer que dans un groupe l’inverse est unique
•Montrer que l’ensemble des éléments inversibles dans un anneau est un groupe.
Exercices
Exercice 1. On pose G=R?×Ret (x, y)T(x0, y0)=(xx0, xy0+y)montrer que (G, T )est un
groupe non commutatif, montrer que R+?×Rest un sous groupe de (G, T )
Exercice 2. Soit H, K deux sous groupe d’un groupe Gtel que H∪Gest un sous groupe de G
montrer que H⊂Kou K⊂H
On raisonne par l’absurde en supposant qu’on a aucune des deux inclusions, ainsi on a x∈H\K
et y∈K\H, alors t=xy ∈H∪Kcar H∪Kest un sous groupe donc si t∈H, alors y=x−1t∈H
(car Hest un sous groupe) contradiction, si t∈Kalors x=ty−1∈Kcontradiction aussi.
Exercice 3. On pose G=] −1,1[ et on note x ? y =x+y
1+xy montrer que c’est un groupe. (Bonus :
Montrer que (G, ?)est un groupe isomorphe à (R,+))
On pense à introduire th :R→]−1,1[ qui est bijective, on sait de plus que th(a+b) = tha+thb
1+thathb=
tha ? thbon a ainsi que (G, ?)est un groupe isomorphe à (R,+) (par transfert de structure).
Sinon on vérifie à la main que c’est une LCI, qui possède un élément neutre 0, que tout élément
est inversible (prendre −x) que la loi est associative, on n’oubliera pas aussi de montrer que
x ? y ∈]−1,1[ pour x, y ∈G, par exemple en fixant yet en étudiant la fonction x7→ x+y
1+xy
(tableau de variation)
Exercice 4. Soit Gun groupe tel que pour tout x,x2= 1 montrer que Gest commutatif
Tout élément est donc son propre inverse, ainsi xy = (xy)−1=y−1x−1=yx
Exercice 5. Soit (A, +,×)un anneau on dit que x∈Aest nilpotent s’il existe n∈N?tel que
xn=OA:
1. Montrer que si xest nilpotent alors xy est nilpotent si x, y commutent
2. Montrer que x+yest nilpotent si x, y le sont et commutent
3. Montrer que si xest nilpotent alors 1−xest inversible, que vaut (1 −x)−1
4. Montrer que si xy est nilpotent alors yx est nilpotent.
1

1. (xy)n=ynxn=yn×0
2. xn= 0,ym= 0, alors par commutativité on peut écrire le binôme de Newton (x+y)n+m=
. . . et on vérifie que xkyn+m−kest nul pour tout k∈[0, n +m]
3. xn= 0, alors 1=1−xn= (1 −x)
n−1
P
i=0
xi=
n−1
P
i=0
xi(1 −x)donc 1−xest inversible d’inverse
n−1
P
i=0
xi
4. (yx)n+1 =y(xy)nx= 0
Exercice 6. Soit Gun groupe, H, K deux sous groupes de Gmontrer que HK est un sous
groupe si et seulement si HK =KH, on définit HK par {hk, h ∈H, k ∈K}
Exercice 7. Soit Kun coprs fini (commutatif ), que vaut Q
x∈K?
x
−1
Exercice 8. Montrer que A={a+b√2, a, b ∈Qest un corps.
Est-ce le cas pour B={a+b√2 + c√3, a, b, c ∈Q}?
On vérifiera le test du sous-corps de Rpour le premier, pour le second on démontrera que
√2×√3 = √6/∈B
Exercice 9. Quels sont les groupes qui n’ont qu’un nombre fini de sous-groupes ?
Exercice 10. * Montrer que tout anneau intègre (commutatif) fini est un corps.
Exercice 11. * On pose A={a+bi, a, b ∈Z}montrer que Aest un anneau intègre. Soit
a, q ∈A×A?, montrer qu’il existe b, r ∈Atel que a=bq +ret |r|<|b|
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