Groupes, anneaux, corps

Semaine 12 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand
Loïc Devilliers
12 janvier 2015
Cours
• Montrer que dans un groupe l’élément neutre est unique
• Montrer que dans un groupe l’inverse est unique
• Montrer que l’ensemble des éléments inversibles dans un anneau est un groupe.
Exercices
Exercice 1. On pose G = R? × R et (x, y)T (x0 , y 0 ) = (xx0 , xy 0 + y) montrer que (G, T ) est un
groupe non commutatif, montrer que R+? × R est un sous groupe de (G, T )
Exercice 2. Soit H, K deux sous groupe d’un groupe G tel que H ∪ G est un sous groupe de G
montrer que H ⊂ K ou K ⊂ H
On raisonne par l’absurde en supposant qu’on a aucune des deux inclusions, ainsi on a x ∈ H \ K
et y ∈ K \H, alors t = xy ∈ H ∪K car H ∪K est un sous groupe donc si t ∈ H, alors y = x−1 t ∈ H
(car H est un sous groupe) contradiction, si t ∈ K alors x = ty −1 ∈ K contradiction aussi.
x+y
Exercice 3. On pose G =] − 1, 1[ et on note x ? y = 1+xy
montrer que c’est un groupe. (Bonus :
Montrer que (G, ?) est un groupe isomorphe à (R, +))
tha+thb
On pense à introduire th : R →]−1, 1[ qui est bijective, on sait de plus que th(a+b) = 1+thathb
=
tha ? thb on a ainsi que (G, ?) est un groupe isomorphe à (R, +) (par transfert de structure).
Sinon on vérifie à la main que c’est une LCI, qui possède un élément neutre 0, que tout élément
est inversible (prendre −x) que la loi est associative, on n’oubliera pas aussi de montrer que
x+y
x ? y ∈] − 1, 1[ pour x, y ∈ G, par exemple en fixant y et en étudiant la fonction x 7→ 1+xy
(tableau de variation)
Exercice 4. Soit G un groupe tel que pour tout x, x2 = 1 montrer que G est commutatif
Tout élément est donc son propre inverse, ainsi xy = (xy)−1 = y −1 x−1 = yx
Exercice 5. Soit (A, +, ×) un anneau on dit que x ∈ A est nilpotent s’il existe n ∈ N? tel que
xn = OA :
1. Montrer que si x est nilpotent alors xy est nilpotent si x, y commutent
2. Montrer que x + y est nilpotent si x, y le sont et commutent
3. Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible, que vaut (1 − x)−1
4. Montrer que si xy est nilpotent alors yx est nilpotent.
1
1. (xy)n = y n xn = y n × 0
2. xn = 0, y m = 0, alors par commutativité on peut écrire le binôme de Newton (x+y)n+m =
. . . et on vérifie que xk y n+m−k est nul pour tout k ∈ [0, n + m]
n−1
P i n−1
P i
3. xn = 0, alors 1 = 1 − xn = (1 − x)
x =
x (1 − x) donc 1 − x est inversible d’inverse
i=0
n−1
P
i=0
i
x
i=0
4. (yx)n+1 = y(xy)n x = 0
Exercice 6. Soit G un groupe, H, K deux sous groupes de G montrer que HK est un sous
groupe si et seulement si HK = KH, on définit HK par {hk, h ∈ H, k ∈ K}
Q
Exercice 7. Soit K un coprs fini (commutatif ), que vaut
x
x∈K?
−1
√
Exercice 8. Montrer que A =
b 2, a, b ∈ Q est un corps.
√ {a +√
Est-ce le cas pour B = {a + b 2 + c 3, a, b, c ∈ Q} ?
On
√ vérifiera
√
√le test du sous-corps de R pour le premier, pour le second on démontrera que
2× 3= 6∈
/B
Exercice 9. Quels sont les groupes qui n’ont qu’un nombre fini de sous-groupes ?
Exercice 10. * Montrer que tout anneau intègre (commutatif ) fini est un corps.
Exercice 11. * On pose A = {a + bi, a, b ∈ Z} montrer que A est un anneau intègre. Soit
a, q ∈ A × A? , montrer qu’il existe b, r ∈ A tel que a = bq + r et |r| < |b|
2