énoncé - MPSI-3

Lyc ´ee Thiers
DEVOIR EN TEMPS LIBRE N° 3
– Relations Transitives –
Soit Eun ensemble à deux éléments. Combien existe-t-il de relations binaires sur E? Enumérer, en les
dessinant, toutes ces relations binaires, en repérant celles d’entre-elles qui sont transitives.
– Anneaux ordonn ´es –
Soit (A,+,×)un anneau commutatif, muni d’une relation d’ordre notée 6telle que :
∀x,y,z∈A3,x6y⇒x+z6y+z
∀x,y,z∈A3,x6yet 0 6z⇒xz 6yz
On dit que (A,+,×,6)est un “anneau commutatif ordonné”.
1) Soit x,y∈A2.
a) Montrer que si x6yalors −y6−x.
b) Montrer que si x6yet z60,alors yz 6xz.
2) Montrer que si l’ordre est total, alors ∀a∈A,06a2.
– Ideaux d’un anneau commutatif –
Soit (A,+,×)un anneau commutatif et soit I⊂A.On dit que Iest un « idéal » de Alorsque :
Iest un sous-groupe de (A,+)et ∀(i,a)∈I×A,ia ∈I
1) Soit Iun idéal de A.Que peut-on dire de Isi I∩A?,∅? Quels sont les idéaux d’un corps ?
2) Quels sont les idéaux de l’anneau (Z,+,×)?
3) Soient A,Bdeux anneaux commutatifs et f:A→Bun morphisme d’anneaux.
a) Montrer que l’image directe d’un idéal de An’est pas – en général – un idéal de B; mais que
c’est le cas si fest surjectif.
b) Montrer que l’image réciproque d’un idéal de Best un idéal de Acontenant ker f.
4) Soit Iun idéal d’un anneau commutatif (A,+,×).On appelle « radical » de Il’ensemble :
√I=nx∈A;∃k∈N?,xk∈Io
a) Montrer que √Iest un idéal de A.
b) Expliciter √Idans le cas où A=Zet I=nZ.
c) A quelle condition sur na-t-on √nZ=nZ?
d) Montrer que q√I=√I.

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e) Montrer que √I∩J=√I∩√J.
f) Montrer que √I+√J⊂√I+J.
5) Etant donnés un anneau (A,+,×)et Iun idéal de A,on définit sur Aune relation binaire notée ∼
comme suit :
∀x,y∈A2,x∼y⇔x−y∈I
a) Vérifier qu’il s’agit d’une relation d’équivalence. On note A/Il’ensemble des classes d’équi-
valence.
b) Vérifier que, pour tout x∈A,la classe d’équivalence de xest x+I(ensemble des éléments de
Ade la forme x+i,avec i∈Iarbitraire).
c) Justifier que l’on peut définir une structure d’anneau commutatif sur A/Ien posant :
(x+I)+y+I=
def x+y+I
et
(x+I)y+I=
def xy +I
6) On conserve les notations de la question précédente. Un idéal Ide Aest dit :
— “premier” lorsque ∀x,y∈A2,xy ∈I⇒x∈Iou y∈I.
— “maximal” lorsque pour tout idéal Jde A:I⊂J⇒J=Iou J=A
a) Montrer que Iest premier si, et seulement si, A/Iest intègre.
b) Montrer que Iest maximal si, et seulement si, A/Iest un corps.