E.S.I. 1CP Contrôle Intermédiaire ALG 2 19-04-2022 Durée : 1H30
N.B :
Le barême est approximatif.
Il sera tenu compte de la présentation de la copie.
Les réponses doivent être justi…ées.
L’usage de la calculatrice et du mobile est interdit.
Exercice 1 :(5 pt)
On considère l’anneau unitaire commutatif Z=8Z=0;1;2;3;4;5;6;7.
a/ Dresser la table de multiplication de Z=8Z.
b/ Déterminer les éléments nilpotents de Z=8Z.
c/ L’anneau Z=8Zest-il intègre ?
d/ Soit a2Z=8Z. Pour quelles valeurs de al’équation 4x+ 2 = aadmet-elle au
moins une solution dans Z=8Z? Résoudre l’équation dans ce(s) cas.
Exercice 2 :(6 pt)
Soit la fraction rationnelle :
F(X) = 1
(X1)3(X2+ 1)22R(X):
Décomposer la fraction rationnelle Fen éléments simples de R(X)et de C(X).
Exercice 3 :(4 pt)
Dans l’espace vectoriel des applications E=A(R;R), on considère le s.e.v. Fde Edé…ni
par :
F=ff2E:f(1) = 0g
et soit le sous-ensemble Gde Edé…ni par :
G=ff2E:f(x) = ax; a 2Rg.
1- Montrer que Gest un s.e.v. de E.
2- Déterminer F\G:
3- A-t-on F+G=E?
4- En déduire.
Bon courage
1
1
/
1
100%
