E.S.I. 1CP Contrôle Intermédiaire ALG 2 19-04-2022 Durée : 1H30 N.B : Le barême est approximatif. Il sera tenu compte de la présentation de la copie. Les réponses doivent être justi…ées. L’usage de la calculatrice et du mobile est interdit. Exercice 1 : (5 pt) On considère l’anneau unitaire commutatif Z=8Z = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 . a/ Dresser la table de multiplication de Z=8Z. b/ Déterminer les éléments nilpotents de Z=8Z. c/ L’anneau Z=8Z est-il intègre ? d/ Soit a 2 Z=8Z. Pour quelles valeurs de a l’équation 4x+ 2 = a admet-elle au moins une solution dans Z=8Z ? Résoudre l’équation dans ce(s) cas. Exercice 2 : (6 pt) Soit la fraction rationnelle : F (X) = (X 1 2 R (X) : 1) (X 2 + 1)2 3 Décomposer la fraction rationnelle F en éléments simples de R (X) et de C (X). Exercice 3 : (4 pt) Dans l’espace vectoriel des applications E = A(R; R), on considère le s.e.v. F de E dé…ni par : F = ff 2 E : f (1) = 0g et soit le sous-ensemble G de E dé…ni par : G = ff 2 E : f (x) = ax; a 2 R g . 1234- Montrer que G est un s.e.v. de E. Déterminer F \ G: A-t-on F + G = E ? En déduire. Bon courage 1
