Théorème de Wedderburn

Développement: Théorème de Wedderburn
Adrien Fontaine
6 septembre 2013
Référence : Daniel Perrin, Cours d’algèbre, p82
Théorème 1
Tout corps fini est commutatif.
Démonstration : 1. Soit kun corps fini, a priori non nécéssairement commutatif, et Zle centre
de k,i.e
Z={a∈k/∀x∈k, ax =xa}
Zest un sous-corps de k, commutatif, de cardinal q≥2(il contient au moins 0 et 1). De
plus, kest un Z-espace vectoriel, donc |k|=qn.
2. On suppose par l’absurde que kest non commutatif, i.e n≥2. Alors, k×opère de façon non
triviale sur lui même par automorphisme intérieur. Pour x∈k×, on note ω(x)son orbite,
i.e
ω(x) = {axa−1, a ∈k}
On pose kx={y∈k, yx =xy}, l’ensemble des éléments qui commutent avec x. Alors, kx
est un sous-corps de k, et le stabilisateur de xsous l’action de k×sur k×est k×
x.
De plus, kxest un Z-espace vectoriel, donc |kx|=qd. Et k×
xest un sous-groupe de k×, donc
qd−1|qn−1. Écrivons la division euclidienne de npar d. Il existe (q, r)∈N∗×Ntel que
n=dq +ret r < d ou r= 0
Alors,
qn−1=(qd−1)(qn−d+qn−2d+... +qn−qd)+(qr−1)
Comme n−qd =r < d, cela constitue la division euclidienne de qn−1par qd−1. Comme
qd−1|qn−1, on en déduit qr−1=0. D’où r= 0 et d|n.
On a alors
|ω(x) = |k×|
|k×
x|=qn−1
qd−1avec d|n
3. On a, dans Z, par une propriété classique des polynômes cyclotomiques :
qn−1 = Y
m|n
Φm(q)
Et de même,
qd−1 = Y
m|d
Φm(q)
Donc, qn−1
qd−1=Y
m|n,m-d
Φm(q)
Pour d6=n, on voit donc en particulier que Φn(q)|qn−1
qd−1.
1

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4. Écrivons désormais l’équation aux classes :
|k×|=|Z×|+X
x/∈Z
|ω(x)|
De plus, dire que x /∈Zsignifie que l’on a d6=n, de sorte que
qn−1 = q−1 + Xqn−1
qd−1
la somme portant sur un certain nombre de diviseurs stricts de n. Comme Φn(q)|qn−1et
Φn(q)|qn−1
qd−1pour un diviseur strict dde n, on en déduit que Φn(q)|q−1. En particulier,
|Φn(q)| ≤ q−1.
5. On a Φn(q)=(q−ξ1)...(q−ξl), où ξ1, ..., ξlsont les racines primitives n-ièmes de l’unité.
En particulier, |ξi|= 1 et ξi6= 1 car n6= 1. Mais alors, on a, pour tout i,|q−ξi|> q −1
(faire un dessin). Donc, |Φn(q)>(q−1)l≥q−1. Contradiction.